直线平面垂直的判定与性质考点与题型归纳

直线、平面垂直的判定与性质考点与题型归纳、基础知识1.直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义：直线I与平面a内的任意一条直线都垂直， 就说直线I与平面a互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:文字语言图形语言付号语言判定定理一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直？，则该直线与 此平面垂直a, b? aaA b = O? 1丄aI丄aI丄b性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行a丄a? all bb丄a?如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直, 但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言付号语言判定定理一个平面过另一个平 面的垂线?，则这两 个平面垂直I? 3? a丄3 I丄a性质定理两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面 垂直a丄31? 3? 1丄aaA 3= al丄a?要求一平面只需过另一平面的垂线.、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.(5) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.考点一直线与平面垂直的判定与性质典例如图，在四棱锥 P-ABCD中，60° PA=AB = BC, E是PC的中点.求证:(1) CD 丄 AE;(2) PD丄平面ABE.证明在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面 ABCD , AB 丄 AD , AC 丄 CD，/ ABC =PA丄底面 ABCD , CD?底面 ABCD ,PA 丄 CD,又TAC 丄 CD，且 PAA AC= A,CD 丄平面 FAC.vAE?平面 FAC,CD 丄 AE.由 PA= AB= BC,/ABC = 60° 可得 AC = PA.E是PC的中点， AE丄PC.由(1)知 AE丄 CD，且 PC n CD = C,AE丄平面PCD.PD?平面 PCD ,.AE丄 PD.PA丄底面 ABCD , AB?底面 ABCD ,.PA丄 AB.又TAB丄 AD，且 PAn AD = A,AB丄平面RAD ,PD?平面 PAD ,AB 丄 PD.又TABn AE= A,.PD 丄平面 ABE.解题技法证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判疋疋理：1丄a,l 丄 b, a?a, b?a, a n b = P? 1 _L面面垂直的性质疋理：a丄an 1,a? a,a丄1? a丄性质：a/ b, b丄a?a丄a, a / Ba丄B?a丄久a丄y肚y an 3= l?1 丄 Y(:客观题可用)口诀归纳线面垂直的关键，定义来证最常见, 判定定理也常用，它的意义要记清 平面之内两直线，两线相交于一点, 面外还有一直线，垂直两线是条件题组训练1. (2019安徽知名示范高中联考 )如图，在直三棱柱 ABC-A1B1 Ci中,AB = BC= BB1, AB1n A1B= E, D 为 AC 上的点，BQ /平面 A1BD.(1) 求证：BD丄平面 A1ACC1;(2) 若AB = 1,且AC AD = 1,求三棱锥 A-BCB1的体积.解：证明：如图，连接 ED ,平面 ABiC 门平面 AiBD = ED , BiC /平面 AiBD ,BC /ED ,E为ABi的中点，D为AC的中点，AB = BC,.BD 丄 AC.AiA丄平面 ABC, BD?平面 ABC,.AiA丄BD.又TAiA, AC是平面 AiACCi内的两条相交直线，BD 丄平面 AiACCi.由 AB = i,得 BC = BBi= i,由(i)知 AD = 2aC,又 AC AD = i , aAC2= 2,AC2 = 2 = AB2+ BC2,.AB 丄 BC,sbc = Iab BC = 2,Va-bcBi = Vbi-ABCii i i=3S"ABC BBi=3X 2x i = 6.2如图，S是Rt ABC所在平面外一点，且 SA= SB= SC,(i)求证：SD丄平面ABC ;若AB = BC,求证：BD丄平面SAC.证明：(i)如图所示，取 AB的中点E,连接SE, DE ,在RtKBC中，D, E分别为AC, AB的中点.DE /BC,.DE 丄AB,SA= SB,.SE 丄 AB.又 SEA DE = E,.AB丄平面 SDE.又 SD?平面 SDE,.AB 丄 SD.在ASAC 中， SA= SC, D 为 AC 的中点， SD丄AC.D为斜边AC的中点.又 AC A AB= A,.SD丄平面 ABC. TAB= BC , ABD 丄 AC,由可知，SD丄平面ABC，又BD?平面ABC,SD丄 BD,又 SDA AC= D ,.BD 丄平面 SAC.典例(2018江苏高考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，AAi =考点二面面垂直的判定与性质AB，ABi 丄 BiCi.求证：（1）AB /平面 AiBiC;平面ABBiAi丄平面AiBC.证明(1)在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi 中,AB/AiBi.因为 AB?平面 AiBiC, AiBi?平面 AiBiC,所以AB /平面AiBiC.在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，四边形ABBiAi为平行四边形.又因为AAi = AB，所以四边形 ABBiAi为菱形，因此ABi丄AiB.因为 ABi丄 BiCi, BC /BiCi,所以ABi丄BC.因为 AiB n BC = B, AiB?平面 AiBC, BC?平面 AiBC,所以ABi丄平面AiBC.因为ABi?平面 ABBiAi,所以平面 ABBiAi丄平面 AiBC.解题技法 证明面面垂直的2种方法定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直冋题转化为证明平面角为直角的冋题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决题组训练1. （2019武汉调研）如图，三棱锥 P-ABC中，底面 ABC是边长为2的正三角形，PA丄PC, PB = 2.求证：平面PAC丄平面ABC.证明：取AC的中点O,连接BO, PO.因为ABC是边长为2的正三角形,所以 BO 丄AC, BO = .31因为PA丄PC,所以PO = 2AC = 1.因为 PB = 2,所以 OP2+ OB2= PB2,所以 PO丄 OB.因为 ac n op= o, 所以BO丄平面PAC.又OB?平面ABC,所以平面PAC丄平面ABC.2. （2018安徽淮北一中模拟）如图，四棱锥 P-ABCD的底面是矩形，PA丄平面 ABCD, E, F分别是 AB, PD的中点，且 PA=AD.求证：（1）AF /平面PEC ;（2）平面PEC丄平面PCD.证明：（1）取PC的中点G,连接FG, EG,F为PD的中点，G为PC的中点,FG为CDP的中位线，1 FG /CD, FG = qCD.四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，1AE /CD , AE = 2CD.FG = AE, FG /AE,四边形AEGF是平行四边形，AF /EG, 又 EG?平面 PEC, AF?平面 PEC,AF /平面 PEC. VPA = AD , F 为 PD 中点， AF 丄 PD,PA丄平面 ABCD , CD?平面 ABCD ,A 丄CD,又 VCD 丄 AD , AD A FA= A,CD丄平面PAD ,AF?平面 PAD ,CD 丄 AF.又 PD A CD = D ,AF丄平面PCD.由(1)知 EG/AF,EG丄平面PCD,又EG?平面PEC ,平面PEC丄平面PCD.课时跟踪检测A级1.设a , b是两条不同的直线, a B是两个不同的平面，则能得出a丄b的是（）2. （2019湘东五校联考）已知直线m ,l ,平面 a,3,且m丄a , l? 3给出下列命题：若al 3贝U m± l；若a丄3,则m Ill；若mil ,贝y a丄3若ml l ,则a丄3其中正确的命题是（)A .B .C.D .解析：选A对于,若al 3, m±a ,l? 3则m丄1 ,故正确，排除 B.对于，若m/l , m丄a,贝y I丄a,又I? 3,所以a丄3故正确.故选 A.A. a 丄 a, b II B, a丄 3C. a? a, b 丄 3, a I 3 解析：选C对于C项，由B . a 丄 a, b 丄 3 ,D. a? a, b II 3 a I 3 , a? a 可得 a II 3 ,又a I 3a丄3b± 3,得a丄b,故选C.3. 已知FA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于 A , B两点的任一点，则下列关系不正确的是（）A . FA丄 BCB . BC 丄平面 FACC. AC丄 PBD . PC丄 BC解析：选C 由PA丄平面 ACB? FA丄BC ,故 A不符合题意；由 BC丄PA , BC丄AC ,FA n AC = A,可得BC丄平面FAC ,所以BC丄PC ,故B、D不符合题意；AC丄PB显然不成 立，故C符合题意.4如图，在四面体 ABCD中，已知 AB丄AC , BD丄AC,那么点D在平面 ABC内的射影 H必在（）A .直线AB上B .直线BC上C.直线AC上D . ABC内部解析：选A 因为AB丄AC , BD丄AC , AB n BD = B,所以AC丄平央 ABD ,又AC?平 面ABC ,所以平面 ABC丄平面ABD ,所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB 上.5如图，在正四面体P-ABC中，D , E , F分别是AB , BC , CA的中点，则下面四个结论不成立的是（）A . BC/ 平面 PDFB. DF丄平面FAEC. 平面 PDF丄平面 FAED .平面PDE丄平面ABC解析：选D 因为BC /DF, DF?平面PDF , BC?平面PDF ,所以BC I平面PDF,故选项A正确.在正四面体中， AE丄BC, PE丄BC, AEQ PE = E,所以BC丄平面PAE,又DF /BC,贝U DF丄平面 PAE,从而平面 PDF丄平面PAE.因此选项B、C均正确.6如图，已知/ BAC = 90° PC丄平面ABC，则在 ABC, PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有 个；与AP垂直的直线有 个.解析：/PC丄平面 ABC,PC垂直于直线 AB, BC, AC.AB 丄 AC, AB丄 PC, ACQ PC = C,AB丄平面PAC,又TAP?平面FAC,AB丄AP,与AP垂直的直线是 AB.答案：317 .设a和B为不重合的两个平面，给出下列命题： 若a内的两条相交直线分别平行于B内的两条直线，则 a/ B 若a外的一条直线I与a内的一条直线平行，则I / a； 设aQ A I，若a内有一条直线垂直于 I，则a丄B 直线I丄a的充要条件是I与a内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是 .解析：正确；正确；满足的a与B不一定垂直，所以错误；直线 I丄a的充要条件是I与a内的两条相交直线垂直，所以错误.故所有的真命题的序号是答案：&在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，平面 a与棱 AB, AC , A1C1, A1B1分别交于点 E, F ,G, H，且直线AA1/平面a有下列三个命题：四边形 EFGH是平行四边形；平面all平面BCC1B1;平面a丄平面BCFE.其中正确命题的序号是 .解析：如图所示，因为AAi /平面a,平面aQ平面AAiBiB= EH ,所以 AAi/EH.同理 AAi/GF，所以 EH /GF，又 ABC-A1B1C1 是直三棱柱， 易知EH = GF = AAi,所以四边形EFGH是平行四边形，故正确；若平 面a/平面BBiCiC，由平面 aQ平面 AiBiCi= GH，平面 BCC1B1 Q平面 AiBiCi= B1C1，知 GH /BiCi，而 GH /BiCi不一定成立，故错误；由AAi丄平面 BCFE，结合 AAi/EH知EH丄平面 BCFE，又EH?平面 a,所以平面 a丄平面BCFE，故正确.答案：9. (20i9太原模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是 菱形，/ BAD = 60° PA = PD = AD = 2,点 M 在线段 PC 上，且 PM =2MC , N为AD的中点.(1) 求证：AD丄平面PNB ;(2) 若平面PAD丄平面ABCD，求三棱锥 P-NBM的体积.解：证明：连接BD.PA= PD, N为AD的中点, PN 丄 AD.又底面ABCD是菱形，/ BAD = 60 °念BD为等边三角形，BN 丄 AD ,又 PNQ BN= N ,.AD 丄平面 PNB. VPA = PD = AD = 2,.PN= NB= 一；3.又平面PAD丄平面 ABCD，平面PAD Q平面 ABCD = AD , PN丄AD ,.PN丄平面 ABCD , 'PN _L NB,.°.Szpnb = 2 X ；3X '3 = AD 丄平面 PNB , AD /BC, BC丄平面 PNB.又 PM = 2MC , 'Vp-NBM = Vm-PNB = fVc-PNB= 2 X 1 X2= 3.< 110. 如图，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，D , E分别为AB, BC的中点，点 F在侧棱BiB上，且 BiD丄AiF, A1C1 丄AiBi.求证：直线DE /平面AiCiF ;(2)平面BiDE丄平面 AiCiF.证明：在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AC/AiCi, 在KBC中，因为 D, E分别为AB, BC的中点.所以 DE /AC，于是 DE /AiCi,又因为DE?平面AiCiF, AiCi?平面AiCiF , 所以直线DE /平面AiCiF.在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AAi丄平面 AiBiCi,因为AiCi?平面AiBiCi，所以 AAi丄AiCi,又因为 AiCi 丄 AiBi , AiBin AAi = Ai, AAi?平面 ABBiAi, AiBi?平面 ABBiAi, 所以AiCi丄平面ABBiAi, 因为BiD?平面 ABBiAi,所以AiCi丄BiD,又因为 BiD 丄AiF , AiCi n AiF = Ai, AiCi?平面 AiCiF , AiF?平面 AiCiF, 所以BiD丄平面AiCiF,因为直线BiD?平面BiDE ,所以平面 BiDE丄平面 AiCiF.i. （20i8 全国卷n ）如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB= BC = 2 2, FA = PB = PC= AC = 4 ,O为AC的中点.(i)证明：PO丄平面ABC;若点M在棱BC上，且MC = 2MB，求点C到平面POM的距离.解：证明：因为 PA = PC = AC = 4, O为AC的中点， 所以 PO 丄AC, 且 PO= 2.3.连接OB ,因为AB = BC =1所以ABC为等腰直角三角形，且 0B丄AC, OB = qAC = 2.所以 PO2+ OB2= PB2，所以 PO丄 OB.又因为AC n OB= O,所以PO丄平面ABC.作CH丄OM，垂足为H ,又由（1）可得OP丄CH ,所以CH丄平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.124f2由题设可知 OC = 2AC = 2, CM = §BC=T, ZACB = 45°OC MC sinTKCB所以OM =CH =OM4；55所以点C到平面POM的距离为4.552. （2019河南中原名校质量考评）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD , AB丄 AD , CD = 2AB，平面 PAD 丄底面 ABCD , PA丄 AD, E, F 分另U 是CD, PC的中点.求证：（1）BE /平面PAD ;（2）平面BEF丄平面PCD.证明：(1)VAB /CD , CD = 2AB, E 是 CD 的中点,AB /DE 且 AB = DE ,四边形ABED为平行四边形，AD /BE,又 BE?平面 PAD, AD?平面 FAD ,BE /平面 PAD.TAB丄AD，四边形ABED为矩形，BE 丄 CD , AD 丄 CD ,平面PAD丄底面 ABCD，平面PAD n底面 ABCD = AD, PA丄AD,PA丄底面ABCD ,PA丄CD，又 PAA AD = A,CD 丄平面 FAD , .'.CD 丄 PD ,E, F分别是CD , PC的中点，'PD /EF, .CD 丄EF，又 EF A BE = E, CD 丄平面 BEF ，CD?平面PCD，平面BEF丄平面PCD.