含数学分析和高等代数两门课

含数学分析和高等代数两门课数 学 分 析（I）（1）集合与函数实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。（2）数列极限 数列。数列极限的定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。、STOLZ定理。（3）函数极限 函数极限概念（。瞬时函数的极限。定义、定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。两个重要极限：无穷小量与无穷大量及其阶的比较。（4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。（5）极限与连续性（续）实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。（6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似计算中的应用。高阶导数与高阶微分。由参量方程所表示的曲线的斜率。（7）中值定理与导数的应用 费马(Fermat)定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西中值定理。泰勒（Taylor）定理 （Taylor公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺余项）、泰勒公式的某些应用。函数的单调性的判别法。极值。最大值与最小值。函数的凸性。拐点。渐近点。函数图象的讨论。数 学 分 析（II）（8）不定积分 原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。有理函数的积分。三角函数有理式的积分。若干初等可积函数。（9）定积分 引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义。可积的必要条件。上下和及其性质。可积主要条件。几乎处处连续函数。可积函数类：在闭区间上连续函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数。定积分性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理、第二积分中值定理。微积分基本定理。牛顿莱布尼兹公式。换元积分法。分部积分法。近似求积。用活动上限定积分定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质。（10）定积分的应用 简单平面图形面积。曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面面积函数的立体体积。旋转体体积与侧面积。平均值。物理应用（压力、功、静力矩与重心等）。（11）反常积分 无穷限反常积分的概念。柯西准则。线性运算法则。绝对收敛。反常积分与数项级数的关系。无穷限反常积分收敛性判别法。无界函数反常积分概念。两种反常积分的联系。无界函数反常积分收敛性的判别法。（12）数项级数级数收敛与和的定义。柯西准则。收敛级数的基本性质。正项级数。比较原则。比式判别法与根式判别法。拉贝判别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛。交错级数。莱布尼兹判别法。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。阿贝尔求和。绝对收敛级数的性质（重排定理。级数的乘积）。Mertens定理。（13）函数列与函数项级数 函数列与函数列级数的收敛与一致收敛的概念。一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。函数列极限函数与函数项级数的和函数的连续性。逐项积分与逐项微分。（14）幂级数阿贝尔第一定理。收敛半径与收敛区间。一致收敛性。和函数的连续性。逐项积分与逐项微分。幂级数的四则运算。泰勒级数。泰勒展开的条件。初等函数的泰勒展开。近似计算。用多项式逼近连续函数（可放在下章中讲）。（15）傅里叶级数 三角级数。三角级数的正交性。傅里叶级数。贝塞尔不等式。黎曼勒贝格定理。傅里叶级数的部分和公式。按段光滑且以2为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理。奇函数与偶函数的傅里叶级数。以2L为周期的函数的傅里叶级数。一致收敛定理。傅里叶级数的逐项积分。局部性定理。Dini判别法与Jordan判别法。数 学 分 析（III）(1) N 维Euclid空间中点集的有关性质点列的极限，内点、外点和孤立点；开集和闭集；列紧集和紧致集；连通集；点集的基本定理 (2) 多元函数的连续性1多元函数的极限2多元连续函数和连续映射(3) 函数微分学1方向导数、偏导数2多元函数及映射的微分，链式法则3隐函数定理、隐映射定理，逆映射定理4Taylor公式，极值与条件极值5曲面的显式方程、隐式方程和参数方程(4) 多元函数积分学1多重积分，包括：可积条件，可积函数类，重积分的计算2重积分的应用3第一型曲线积分4第二型曲线积分，Green公式及其各种形式5曲面的面积和第一型曲面积分6第二型曲面积分，Gauss公式和Stokes公式及其各种形式7场论，包括：积分与路径无关的条件，数量场的梯度，向量场的散度和旋度，有势场和势函数(5) 含参变量积分1含参量常义积分2含参量广义积分，包括：含参量广义积分的一致收敛性及其性质3函数和B函数高等代数一、 线性方程组1 线性方程组的基本概念与问题2 线性方程组的求解行列式Cramer法则3 排列4 n-级行列式5 n-级行列式的性质6 行列式按行列展开7 行列式Cramer法则8 n-级行列式的计算常用方法二、 线性方程组的求解消元法1 消元法与矩阵2 n-维向量空间3线性相关性4矩阵的秩5矩阵的秩与行列式的关系6矩阵的秩的计算7线性方程组有解的判定定理8线性方程组界的结构三、 矩阵理论1 矩阵的基本运算2 矩阵行列式的乘积公式与秩3 矩阵的逆4 初等变换与初等矩阵5 分块矩阵于广义初等变换6 矩阵的其他技巧例题与习题四、 二次型理论1 利用配方法化二次型为标准型2 利用初等变换法化二次型为标准型3 二次型的规范性4 惯性定理 5 二次型的分类问题-正定二次型五、 线性空间理论1 线性空间的定义2 线性空间的数量特征基、维数、坐标3 线性子空间4 线性子空间的运算-交空间和和空间5 线性子空间的直和6 线性子空间的同构7 典型例题讲解六、 多项式1数域重因式 2一元多项式 3整除的概念 4公因式与最大公因子 5因式分解定理 6重因式7多项式函数 8复系数与实系数多项式的因式分解 9有理系数多项式 10本节典型问题与例题七、线性变换理论 1线性变换的定义 2线性变换的运算 3线性变换的矩阵 4特征值与特征向量 5相似矩阵 6线性变换的值域与核 7不变子空间 8Jordan标准型 9最小多项式八、-矩阵 1-矩阵的初等变换和标准型 2-矩阵的行列式因子，不变因子，初等因子 3Jordan-矩阵理论的进一步推导九、欧氏空间 1内积与欧氏空间 2标准正交积 3同构 4正交变换与正交矩阵 5对称矩阵的对角化 6酉空间上与酉变换5 / 5文档可自由编辑打印