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2.2.2平行四边形的判定第2课时【知识再现知识再现】平行四边形的对角线平行四边形的对角线_._.互相平分互相平分【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P46-P47P46-P47，归纳结论：，归纳结论：已知，四边形已知，四边形ABDCABDC中，中，AO=DOAO=DO，BO=CO.BO=CO.求证：四边形求证：四边形ABDCABDC是平行四边形是平行四边形. .证明：证明：在在OABOAB和和ODCODC中，中， OABOAB_，ABO=_ABO=_，ODCODCDCODCOABCD.ABCD.同理：同理：ACBDACBD，四边形四边形ABDCABDC是平行四边形是平行四边形. .你发现的规律：对角线你发现的规律：对角线_的四边形是平行的四边形是平行四边形四边形. . 互相平分互相平分【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！请自我检测一下预习的效果吧！如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，下，下列判断正确的是列判断正确的是 ( ( ) )D DA.A.若若AO=OCAO=OC，则四边形，则四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形B.B.若若AC=BDAC=BD，则四边形，则四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形C.C.若若AO=BOAO=BO，CO=DOCO=DO，则四边形，则四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形D.D.若若AO=OCAO=OC，BO=ODBO=OD，则四边形，则四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形知识点知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形(P47(P47例例7 7拓展拓展) )【典例典例】(2019(2019唐山路北区月考唐山路北区月考)(1)(1)如图如图1 1所示，在所示，在ABCABC中，中，D D为为BCBC的中点，求证：的中点，求证：AB+AC2AD.AB+AC2AD.甲说：不可能出现甲说：不可能出现ABDABDACDACD，所以此题无法解，所以此题无法解决；决；乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长的性质和判定，我们可延长ADAD至点至点E E，使得，使得DE=ADDE=AD，连，连接接BEBE，CECE，由于，由于BD=DCBD=DC，所以可得四边形，所以可得四边形ABECABEC是平行四是平行四边形，请写出此处的依据：边形，请写出此处的依据：_( (平行四边形判定的文字描述平行四边形判定的文字描述)所以所以AC=BEAC=BE，ABEABE中，中，AB+BEAEAB+BEAE，即即AB+AC2ADAB+AC2AD请根据乙提供的思路解决下列问题：请根据乙提供的思路解决下列问题：(2)(2)如图如图2 2，在，在ABCABC中，中，D D为为BCBC的中点，的中点，AB=5AB=5，AC=3AC=3，AD=2AD=2，求，求ABCABC的面积的面积. .(3)(3)如图如图3 3，在，在ABCABC中，中，D D为为BCBC的中点，的中点，M M为为ACAC的中点，的中点，连接连接BMBM交交ADAD于于F F，若，若AM=MF.AM=MF.求证：求证：BF=AC.BF=AC.【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为AEAE，BCBC都是对角线，且都是对角线，且AD=DEAD=DE，BD=DCBD=DC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，四边形四边形ABECABEC是平行四边形是平行四边形. .答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)(2)略略(3)(3)略略【学霸提醒学霸提醒】 判定平行四边形的方法选择判定平行四边形的方法选择已知条件已知条件证明思路证明思路一组对边相等一组对边相等1.1.另一组对边也相等另一组对边也相等2.2.相等的边也平行相等的边也平行一组对边平行一组对边平行1.1.另一组对边也平行另一组对边也平行2.2.平行的边也相等平行的边也相等对角线相交对角线相交对角线互相平分对角线互相平分【题组训练题组训练】 1.1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，不能判断四边形不能判断四边形ABCDABCD是平行四边形的是是平行四边形的是( ( ) )世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.ABDCA.ABDC，AO=COAO=COB.ABDCB.ABDC，ABC=ADCABC=ADCD DC.AB=DCC.AB=DC，AD=BCAD=BCD.AB=DCD.AB=DC，ABC=ADCABC=ADC2.2.如图，已知：在如图，已知：在 ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ADAD，BCBC边的边的中点，中点，G G，H H是对角线是对角线BDBD上的两点，且上的两点，且BG=DHBG=DH，则下列结，则下列结论中不正确的是论中不正确的是 ( ( ) )A AA.GFFHA.GFFHB.GF=EHB.GF=EHC.EFC.EF与与ACAC互相平分互相平分D.EG=FHD.EG=FH3.3.已知：如图，在平行四边形已知：如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E，F F在在对角线对角线ACAC上，且上，且AF=CE.AF=CE. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)线段线段BEBE与与DFDF之间有什么关系？请证明你的结论之间有什么关系？请证明你的结论. .(2)(2)若去掉题设中的若去掉题设中的AF=CEAF=CE，请添加一个条件使，请添加一个条件使BEBE与与DFDF有以上同样的性质有以上同样的性质. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用SASSAS证明证明ADFADFCBECBE，从而得，从而得出出DFDF与与BEBE平行且相等平行且相等. .(2)(2)只要添加一个条件，能使得只要添加一个条件，能使得ADFADFCBECBE即可即可. .解：解：(1)DF(1)DF与与BEBE平行且相等平行且相等. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBCADBC，DAF=BCEDAF=BCE，在在ADFADF和和CBECBE中，中， ADCBDAFBCE,AFCE, ，ADFADFCBE(SAS)CBE(SAS)，DF=BEDF=BE，AFD=CEBAFD=CEB，DFC=BEADFC=BEA，DFBEDFBE，综上可得综上可得DFDF与与BEBE平行且相等平行且相等. .(2)(2)添加添加CBE=ADF.(CBE=ADF.(答案不唯一答案不唯一) )【火眼金睛火眼金睛】如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，ADBCADBC，E E，F F是对角线是对角线ACAC上的两点，上的两点，AF=CE.AF=CE.请你猜想：请你猜想：BEBE与与DFDF有怎样的有怎样的关系？并对你的猜想加以证明关系？并对你的猜想加以证明. .【正解正解】BEDFBEDF，BE=DF.BE=DF.连接连接BDBD，交，交ACAC于点于点O O，连接，连接DEDE，BF.BF.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，BO=ODBO=OD，AO=COAO=CO，又又AF=CEAF=CE，AE=CFAE=CF，EO=FOEO=FO，四边形四边形BEDFBEDF是平行是平行四边形，四边形，BEDFBEDF，BE=DF.BE=DF.【一题多变一题多变】如图，已知：如图，已知：ABCDABCD，BEADBEAD，垂足为点，垂足为点E E，CFADCFAD，垂足为点垂足为点F F，并且，并且AE=DF.AE=DF.求证：四边形求证：四边形BECFBECF是平行四边是平行四边形形. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号证明：证明：BEADBEAD，CFADCFAD，AEB=DFC=90AEB=DFC=90，ABCDABCD，A=DA=D，在在AEBAEB与与DFCDFC中，中， ，AEBDFCAEDFAD ，AEBAEBDFC(ASA)DFC(ASA)，BE=CF.BE=CF.BEADBEAD，CFADCFAD，BECF.BECF.四边形四边形BECFBECF是平行四边形是平行四边形. .【母题变式母题变式】【变式一变式一】如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，E E，F F是对角线是对角线BDBD上的上的两点，两点，BE=DFBE=DF，点，点G G，H H分别在分别在BABA和和DCDC的延长线上，且的延长线上，且AG=CHAG=CH，连接，连接GEGE，EHEH，HFHF，FG.FG.求证：求证：(1)(1)BEGBEGDFH.DFH.(2)(2)四边形四边形GEHFGEHF是平行四边形是平行四边形. .解：解：(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AB=CDAB=CD，ABDCABDC，ABE=CDFABE=CDF，AG=CHAG=CH，BG=DHBG=DH，在在BEGBEG和和DFHDFH中，中， BEGBEGDFH(SAS).DFH(SAS).BGDH,GBEHDF,BEDF, (2)(2)BEGBEGDFH(SAS)DFH(SAS)，BEG=DFHBEG=DFH，EG=FHEG=FH，GEF=HFBGEF=HFB，GEFHGEFH，四边形四边形GEHFGEHF是平行四边形是平行四边形. .【变式二变式二】已知：已知：ACAC是平行四边形是平行四边形ABCDABCD的对角线，且的对角线，且BEACBEAC，DFACDFAC，连接，连接DEDE，BF.BF.求证：四边形求证：四边形BFDEBFDE是平是平行四边形行四边形. .证明：证明：BEACBEAC，DFACDFAC，BEDFBEDF，AEB=DFC=90AEB=DFC=90，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AB=CDAB=CD，ABCDABCD，BAE=DCFBAE=DCF，在在BAEBAE和和DCFDCF中中 AEBCFDBAEDCFABCD ，BAEBAEDCF(AAS)DCF(AAS)，BE=DFBE=DF，BEDFBEDF，四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形. .
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