第十二节函数模型与应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十二节函数模型与应用,基础梳理,常用的几种函数模型,函数模型,函数解析式,一次函数模型,f,(,x,)=_,二次函数模型,f,(,x,)=_,指数函数模型,f,(,x,)=_,对数函数模型,f,(,x,)=_,幂函数模型,f,(,x,)=,x,n,(,n,为常数,),b,log,a,x,+,c,(,a,0,且,a,1),ax,+,b,，,(,a,0),ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),ba,x,+,c,(,a,0,且,a,1,),基础达标,1.,在函数,y,=e,x,；,y,=100ln,x,；,y,=,x,100,；,y,=1002,x,中，随,x,增大而增长速度最快的是,_,2.,据调查，某自行车寄存处在某星期天的存车量为,4 000,辆次，其中变速车存车费是每辆一次,0.3,元，,普通车存车费是每辆一次,0.2,元，若普通车存车数,为,x,辆次，存车费总收入为,y,元，则,y,关于,x,的函数关系,式为,_,解析,:,y,=0.2,x,+0.3(4 000-,x,)=-0.1,x,+1 200,，,x,0,4 000,且,x,N,.,y,=-0.1,x,+1 200,，,x,0,4 000,且,x,N,3.,某种商品降价,10%,后，欲恢复原价，则应提,价,_,解析：,设原价为,a,，应提价,x,，,a,(1-10%)(1+,x,)=,a,x,11.11%.,11.11%,4.,设甲、乙两地的距离为,a,(,a,0),，小王骑自行车,以匀速从甲地到乙地用了,20,分钟，在乙地休息,10,分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了,30,分钟，,则小王从出发到返回原地所经过的路程,y,和其所用,的时间,x,的函数图象为,_,解析：,y,表示全路程，故全路程,y,最后为,2,a,，排除,；在乙地休息,10,分钟，说明该时间段内,y,不变,(,停止于乙地,),因此选,，看图象时一定要关注每,时刻的实际含义,5.,某商店将原价每台,2 640,元的彩电以,9,折出售后仍获利,20%,，,则彩电每台进价为,_,解析：,设进价为,a,，则,2 640,90%-,a,=20%,a,，解得,a,=1 980.,1 980,元,经典例题,题型一一次函数与分段函数模型,【,例,1】,电信局为了配合客户不同需要，设有,A,、,B,两种,优惠方案，这两种方案应付话费,(,元,),与通话时间,(,分钟,),之,间的关系如图所示,(,实线部分,)(,注：图中,MN,CD,),试问：,(1),若通话时间为,2,小时，按方案,A,、,B,各付话费多少元？,(2),方案,B,从,500,分钟以后，每分钟收费多少元？,(3),通话时间在什么范围内，方案,B,才会比方案,A,优惠？,分析：由图可知，两种方案都因时间段的不同导致收费,不同，因此，需分段列式,解：由图可知，两种方案都是由线性函数组成的分段,函数，不妨用待定系数法，结合图形，先求出函数解,析式，再根据题意解题由图知,M,(60,98),，,N,(500,230),，,C,(500,168),，,MN,CD,.,设这两种方案的应付话费与通话,时间的函数关系分别为,f,A,(,x,),、,f,B,(,x,),，,则,(1),通话,2,小时两种方案的话费分别为,116,元、,168,元,(2),当,x,500,时，,f,B,(,x,+1)-,f,B,(,x,)=(,元,),所以方案,B,从,500,分钟以后，每分钟收费,0.3,元,(3),由图知，当,0,x,60,时，,f,A,(,x,),f,B,(,x,),；,当,60293,分钟，即通话时间为,293,分钟以上,时，方案,B,才会比方案,A,优惠,f,B,(,x,)=168,，联立得,x,=293,因此当,60,x,293,时，,f,A,(,x,),f,B,(,x,),当,293,x,500,时，,f,B,(,x,)500,时，显然,f,B,(,x,),f,A,(,x,),变式,1-1,南京市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都,很好，但收费方式不同甲俱乐部每张球台每小时,5,元；,乙俱乐部按月计费，一个月中,30,小时以内,(,含,30,小时,),收费,90,元，超过,30,小时的部分每张球台每小时,2,元小张准备,下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动，其,活动时间不少于,15,小时，也不超过,40,小时,(1),设在甲俱乐部租一张球台开展活动,x,小时的收费为,f,(,x,),元,(15,x,40),，在乙俱乐部租一张球台开展活动,x,小时的收费,为,g,(,x,),元,(15,x,40),，试求,f,(,x,),和,g,(,x,),；,(2),你认为小张选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由,解析：,(1),f,(,x,)=5,x,15,x,40,，,(2),若,15,x,30,，令,5,x,=90,，解得,x,=18,，,即当,15,x,18,时，,f,(,x,),g,(,x,),；当,x,=18,时，,f,(,x,)=,g,(,x,),；,当,18,g,(,x,),若,3030+2,x,恒成立，,即,f,(,x,),g,(,x,),恒成立,综上所述，当,15,x,18,时，小张选甲俱乐部比较合算；,当,x,=18,时，两家一样合算；,当,18,x,40,时，小张选乙俱乐部比较合算,题型二二次函数模型,【,例,2】,2008,年北京奥运会中国跳水队取得了辉煌的,成绩据科学测算，跳水运动员进行,10 m,跳台跳水训练时，身体,(,看成一点,),在空中的运动轨迹,(,如图所示,),是一经过坐标原点的抛物线,(,图中标出数字为已知条件,),，且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面,m,，入水处距池边,4 m,，同时运动员在距水面,5 m,或,5 m,以上时，必须完成规定的翻腾运动，并调整好入水姿势，否则就会出现失误,(1),求抛物线的解析式；,(2),在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为,(1),中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为,m,，问此时跳水会不会失误？请通过计算说明理由；,(3),某运动员按,(1),中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势，距池边的水平距离至多应为多大？,分析：,设出函数表达式，代入点的坐标计算，,求出距离，进行判断,解：,(1),由已知可设抛物线方程为,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,(,其中,a,0),又抛物线过点,(0,0),和,(2,，,-10),，,代入解得,a,=-,，,h,=,，所以解析式为,(2),当运动员在空中距池边的水平距离为,3 m,时，,即当,x,=3 -2=,时，,所以此时运动员距水面距离为,10-=5,，故此次,跳水会出现失误,(3),要使得某次跳水成功，必须,10+,y,5,，即,y,-5,，,亦即 ，解不等式得 ，,所以运动员此时距池边的水平距离最大为,m.,变式,2-1,(2011,启东中学期中考试,),为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策已知某种酒每瓶,60,元，在不加收附加税时，每年大约销售,90,万瓶；若政府征收附加税，每销售,100,元要征收,R,元,(,叫做税率,R,%),，则每年的销售量将减少,mR,(,m,0),万瓶据测算税率为,6%,时，征收的附加税为,108,万元设此项经营中所收取的附加税为,y,.,(1),求,y,=,f,(,R,),的表达式；,(2),当,y,120(,万元,),时，试问税率,R,%,应控制在什么范围内？,解析：,(1),若征收附加税，则每年的销售量为,90-,mR,万瓶，,此时征收的附加税总额为：,(90-,mR,)60,R,%,万元，,当,R,=6,时，,(90-,mR,)60,R,%=108,，解得,m,=10,，,y,=-6,R,2,+54,R,(,R,0),(2),由题意得,-6,R,2,+54,R,120,，,R,2,-9,R,+200,，,4,R,5.,税率,R,%,应控制在,4%,5%,内,题型三指数函数模型,【,例,3,】,某城市现有人口总数为,100,万人，如果年自然增长率为,1.2%,，试解答下面的问题：,(1),写出该城市人口总数,y,(,万人,),与年份,x,(,年,),的函数关系式；,(2),计算,10,年以后该城市的人口总数,(,精确,0.1,万人,),；,(3),计算大约多少年以后该城市人口将达到,120,万人,(,精确到,1,年,),？,(1.012,10,1.127,1.012,15,1.196,1.012,16,1.210),分析：,先列出前几年该城市人口总数,y,与年份,x,的函数关系，,观察其规律，总结出,y,与,x,的函数关系,解：,(1)1,年后该城市人口总数为,y,=100+100,1.2%,=100,(1+1.2%),，,2,年后该城市人口总数为,y,=100,(1+1.2%)+100,(1+1.2%),2,1.2%=100,(1+1.2%),2,，,3,年后该城市人口总数为,y,=100,(1+1.2%),2,+100,(1+1.2%),1.2%,=100,(1+1.2%),2,(1+1.2%)=100,(1+1.2%),3,，,x,年后该城市人口总数为,y,=100,(1+1.2%),x,(,x,N,*,),(2)10,年后人口总数为,y,=100,(1+1.2%),10,112.7(,万,),(3),设,x,年后该城市人口将达到,120,万人，,即,100(1+1.2%),x,=120,，,x,=log,1.012,1.2015.28(,年,),因此，大约,16,年以后该城市人口将达到,120,万人,变式,3-1,一种放射性元素，最初的质量为,500 g,，按每年,10%,衰减,(1),求,t,年后，这种放射性元素质量的表达式；,(2),求这种放射性元素的半衰期,(,精确到,0.1,年,),解析：,(1),最初的质量为,500 g,，,经过,1,年，,y,=500(1-10%)=500,0.9,1,，,经过,2,年，,y,=500(1-10%),2,=500,0.9,2,，,经过,t,年，,y,=500,0.9,t,.,(2),由题意,5000.9,t,=250,，即,0.9,t,=0.5,，,两边取对数，有：,t,lg,0.9=,lg,0.5,，,t,=6.6(,年,),，,即这种放射性元素的半衰期约为,6.6,年,题型四函数模型的综合应用,【,例,4】,(2010,江苏苏北四市联考,),某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了,20,天的测试，人为地调控每天产品的单价,P,(,元,/,件,),：前,10,天每天单价呈直线下降趋势,(,第,10,天免费赠送品尝,),，后,10,天呈直线上升，其中,4,天的单价记录如下表：,而这,20,天相应的销售量,Q,(,百件,/,天,),与,x,对应的点,(,x,，,Q,),在如图所示的半圆上,(1),写出每天销售收入,y,(,元,),与时间,x,(,天,),的函数关系式,y,=,f,(,x,),；,时间,(,将第,x,天记为,x,),x,1,10,11,18,单价,(,元,/,件,),P,9,0,1,8,(2),在这,20,天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价,P,定为多少元为好？,(,结果精确到,1,元,),解：,(1),由表中数据可知,x,N,*,，,，,x,1,20,，,x,N,*,，,y,=100,QP,=100,x,1,20,，,x,N,*,.,(2)(,x,-10),2,100-(,x,-10),2,当且仅当,(,x,-10),2,=100-(,x,-10),2,，,即,x,=10+5,时，,y,有最大值,x,N,*,，,取,x,=3,或,17,时，,y,max,=700 4 999(,元,),