资源描述
精选优质文档-倾情为你奉上第九章习题A组1 是（ ）（A）；（B）1；（C）0；（D）振荡地不存在2，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）3设，其中均为可微函数，则=（ ）（A）；（B）；（C）；（D）4设，其中是可微函数，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）5设，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）06若，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）7曲线在相应于的点处一个切线向量与轴正方向成锐角，则此向量与轴正向的夹角余弦为（ ）（A）；（B）；（C）；（D）8曲面在点处的切平面方程为（）（A）；（B）；（C）；（D）9函数在原点沿的方向导数为（ ）（A）；（B）；（C）；（D）10设，则在点处的方向导数的最大值为（ ）（A）；（B）4；（C）；（D）2411若，则= 12函数的定义域为 13设，则 14.设，其中可导，则 15设，而是可导的正值函数，则 16设，而，,则= 17设，可导，则= 18.设，则 19.已知,则20.设函数，则 21.设，则 22.已知是由所确定，则 23.设由方程确定，则 24.由方程所确定的函数在点处的全微分25设确定了，则= 26.曲线在处切线的方程为27曲线 在相应于t0点处的切线方程为 28.曲线上点处的法平面方程是 29.曲线由方程组所确定，则此曲线在点处的切线方程为_30.曲面在点处的切平面方程为 31.曲面在点处的切平面方程为32.曲面，在点处的法线方程为 33曲面在点处的切平面与平面的相互关系为 34.已知曲面上的点处的切平面平行于平面，则点的坐标是35设是曲面上一点，若，在任一点有，则曲面在这一点的切平面方程是_ 36.曲面在点处的法向量是_37.在点处沿点指向点方向的方向导数为_38.函数在点处沿点到点的方向的方向导数为_39.设，则_ 40在点处的梯度是_41若函数在点（,）取得极值，则常数 42.判断点是否函数的极值点_B组1设，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）2若曲线，在上的对应点处的切线向量与三个坐标轴正向的夹角相等，则点对应的值为( )（A）0； （B）； （C）2； （D）3曲线，在对应于那点处的切线与面的夹角是( )（A）；（B）；（C）；（D）4函数的极小值点是（） （A）；（B）；（C）；（D）5.设若，则6.由曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量为 7.设，其中可导，求.8.设二阶偏导数连续，求.9.设，具有二阶连续的偏导数，求.10.设，有二阶连续偏导，求， 11.已知，有二阶连续偏导，求. 12.有连续二阶导数, ,证明:.13设，其中二阶连续可导，求.14设可微，确定了，求. 15设方程确定，其中可微，求.16设确定，其中可微，求.17 18设由确定，求，.19.设是由确定的隐函数，可微，求 20设函数是由所确定，求.21设是由方程所确定，求.22设函数由所确定，可导，求.23由确定，具有连续偏导数，求.24.设其中是由方程所确定的隐函数，求.25.求曲线 平行于平面的切线方程.26.求曲线在点处的切线与法平面方程. 27在第一卦限内求曲面上一点，使过该点的切平面垂直于平面，且与三个坐标面所围立体的体积为.28.平面是曲面在点处的切平面，求.29.设平面与曲面在点处的切平面垂直，求.30设方程确定了，求曲面在点处的法线方程.31.过直线作曲面的切平面，求此切平面的方程 32证明：曲面上任一点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体体积为常数.33证明：锥面的所有切平面都通过锥面的顶点.34.证明:曲面的切平面总通过一定点(其中可微分,均为常数).35.设是曲面上任一点，试证明在这点处曲面的法线垂直于向径，其中是可导函数. 36设曲面方程为、都是常数），可微.证明该曲面的任一切平面都与一常向量平行.37设曲面方程为，（为正常数）。具有一阶连续偏导数，且。试证通过此曲面上任一点处的法线恒垂直于一常向量.38求函数在点处沿向量方向的方向导数，并说明它是否为该函数在该点处的方向导数的最大值.39.设，其中可微，求.40.在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值. 41求函数的极值.42.求的值，使积分的值最小. 43分解已知正数为个正数之和，使它们的平方和最小.44设，求在单位圆内的最大值和最小值.45求函数在柱面上的最大值和最小值.46.求函数在闭区域上的最大最小值.47在过点的所有平面中，哪一个与三坐标面在第一卦限内围成的立体体积最小？48求椭圆上一点，使之到直线的距离最短.49求内接于椭圆且底边平行于长轴，并且有最大面积的等腰三角形，求出它的最大面积.50求内接于半径为的半球且有最大体积的长方体.51在平面与曲面的交线上，求竖坐标取最大值和最小值的点.52. 求曲面+=1的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大，并写出切平面方程.C组1函数有，且.则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）2设函数，则在点处（ ）（A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在.3设函数在点附近有定义，且，则（）.（A）； （B）曲面在点的法向量为； （C）曲线在点的切向量为； （D）曲线在点的切向量为.4.已知函数在点的某个邻域内连续,且, 则（ ）(A)点不是的极值点； (B)点是的极大值点；(C)点是的极小值点；(D)根据所给条件无法判断点是否为的极值点.5.设函数在点处可微，且，又，求.6.设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.7.已知函数由方程确定，求的极值.8.已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数.9设，试证：当时，函数Z 有一个且仅有一个极值；又若，则该极值必为极大值.10.若函数对任意正实数满足，则称为次齐次函数.设是可微函数，证明为次齐次函数的充分必要条件为.D组1. 已知函数满足，求的极值.2.用多种方法证明：时成立.第九章习题解答A组1.C，2.C，3.D，4.B，5.A，6.C，7.A，8.B，9.B，10.A，11.1，12. ，13. ，14. ，15. ，16. ，17. ，18. ，19. ，20. ，21. ，22. ，23. ，24. ，25.，26. ，27. ，28. ，29.或 ，30. ，31. ，32. ，33. 垂直，34. ，35. ，36. ，37. ，38. ，39. ，40. ，41. ，42. 是.B组1.（C），由代入.2.（D），由解.3.（B），切向量，与夹角，互余角为.4.（B），代入分别检验.5.令得，.6.曲面为，单位化并取“朝上（第三个分量为正）”的那个.7. ，.8. ，.9. ，.10. ，.11.先求出,再得.12. ，；，代入得证.13. ，.14. ， ， （其中 ，）15.，.16. 令,， .17.，.18. 将代入等式得， ，.19.令，.20.（注意本题和题21、22分别用了三种不同解法）.设， ， ，.21.，.22. 两边微分得即， .23.解法一：令， ，.解法二：两边对偏导得，解出，两边对偏导得，解出，代入.解法三：，解出.24. ，由得，点处的边故.25. 切向量，切点为和，切线方程为和.26.切线：，法平面.可用和题23类似的三种方法求解（求三个行列式、二式对求导、二式求全微分）.27. 设为所求点，切平面的法向量为， 但，得，切平面方程为 ，切平面在三坐标轴上的截距为：，切平面与三坐标面所围立体的体积 ，解，得第一卦限中曲面上的点为和.28. 解：，故法向量为，于是，切平面为，即，因，故.29.，.30. 记，所求法线方程为.31.设切平面为，从得，从而切点或，切平面为或.32.任取切点，切平面截距为，四面体体积为.33.，锥面上任一点的切平面方程为，即 ， 顶点适合上面方程，故得证. 34.切平面的法向量，切平面，点适合方程，故得证.35.法向量为，即 （注意本题是题34的特例，都是空间锥面）.36.令，任一点处的法向量是，即，所以曲面上任一点处的切平面与常向量平行.37.设，则，.曲面法向量，所以.（注：本题和题36实为同一类型，一般地有“曲面上任一点处的切平面都与某常向量平行，其中为常数，有一阶连续的偏导数.”这是柱面的特征.）38. ，该点处方向导数的最大值为.39.， ，.40.设点为，当射线方向与梯度方向一致时方向导数能取最大值，故，得，此时，最大方向导数.41.，得驻点为，故有极小值.42.，唯一驻点为所求.43.即求在下的最小值.令，解，得.44.令，则，得，令，得，所求最大值为，最小值为.45.令，.解得和，.所求最大值为16，最小值为0.46.，圆柱内驻点，.令，求出圆柱边界驻点，所以，.47.解法一：设平面为，满足，.即求在的最小值.令，解，得，所求平面为.解法二：设所求平面方程为，则求出三个截距得，记，.原问题即求的最大值.因，等号当且仅当时成立.从而，所求平面为，即.48. ，令， ，解得，故所求最短距离为.49. 等腰三角形关于轴对称，设其顶点为，其中，则面积，且，令，由得，（舍去），由实际问题知当，时，取最大值.50.以球心为坐标原点，半球的底面为面建立空间直角坐标系.令内接长方体的长为，宽，高，则体积为：，其中 （）.令，解方程组得唯一驻点（）由实际意义知当长方体的长为，宽为，高为时体积最大. 51.令,解方程组 得驻点和.故点是竖坐标取最大值的点，为最小值点.52.令 ，设切点为，则切平面方程为，即 .切平面在三坐标轴上的截距为：，设，其中，令 ，解方程组 得 ，驻点唯一，且实际上确存在最大值，故所求点为最大值点.切平面方程为： .C组1.（A）.由知，故.2.（C）.极限不存在，而存在.3.（C）.偏导存在未必可微，故（A）（B）不对；空间曲线是三个一元函数的参数方程，它的切向量为即.4.（A）.由连续函数的保号性，在的某邻域上，在的任何更小的邻域上，都是可正可负.例如取，可以验证.5.，.6. ，.化为，从而，这是一个线性非齐次微分方程，对应齐次方程的通解为，一个特解为，故原方程解为，由，解得.7.对方程两边对分别求导得，令得解得（舍）或代入原方程得，.对（2）（3）分别再求导得，代入，得，所以为极大值点，极大值为.8.因为沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.而，模为.令构造函数，由得到，因，所以方向导数最大值为.9. ，令 ，消去得，解得： 或，当时，当时，.在的条件下，以上二式中必有且仅有一式大于零，这说明函数Z有且仅有一个极值.因为，当时，此极值必为极大值.10.必要性.的两端对求导，有，令即为.充分性.即要证，记，则有.从而，即.D组1.由得，由得，即，再由得，得，故.由解得，再由，得.，所以点为极小值点，极小值为.2. 证法一：（条件极值）令，则问题转化为求函数在条件下的极值.由拉格朗日函数， 解得为唯一驻点.由于所求最小值一定存在，因此，这个驻点必是最小值点.于是.证法二 ：（用函数的单调性）令 ，问题成为：证明对任何，.事实上，易知 ，因此，是单调递增，从而.证法三：（用曲线的凸性）设，则显然是上的凸函数，从而满足，即.证法四：（数学归纳法）显然当时不等式成立.假设当时不等式已证，则当时，注意到，就有.从而不等式对一切自然数成立.专心-专注-专业
展开阅读全文