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1 设A = ,B = (1,0,3),求 AB,BA。(6分)解:AB=111013010003313033 =103000309 BA=11+00+33=(10)2. 设,求3AB-2A及AB-BA。(8分)解:解:ABBA3AB2A ABBA3. 计算下列表达式(6分);解:原式a11x+a21y+b1a12x+a22y+b2b1x+b2y+cxy1 = (a11x+a21y+b1)x+a12x+a22y+b2y+(a12x+a22y+b2) = (a11x2+a12+a21xy+a22y2+2b1x+2b2y+c. 4. 求下列行列式的值(1)(3分); (2)(5分);解: (1) 原式 = -11+1-1356+ -13+1 4 32-13 = -6-15- 49+2= -65 (2) 原式 5. 若AB = BA,矩阵B就称为与A可交换,设A = ,求所有与A可交换的矩阵。(6分)解: 由AB = BA可设 B =,则,解方程可得,a=d, c=0, bR, 所以Bab0a, a, bR.6. 利用求的逆矩阵(3分);解:A,则A11=5, A12=-2, A21=-3, A22=1, 所以A*=5-3-21, A=5-6=-1, A-1=-532-1. 7. 求矩阵的逆矩阵(3分);解:由2-2311113-1 100010001 23-4356-1356-16-1343-23 所以 A-1= 23-4356-1356-16-1343-238. 设,求。(3分)解: 原式=3-33+2-42=0129. 求矩阵的秩。(6分)解:化简得:1-10400 2-16500 ,所以秩=210. 求向量在基,下的坐标。(6分)解:设向量在向量1,2 ,3下的坐标分别是x, y, z,则有371x135+y632+z310, 解此方程可得相应的坐标。11. 解下列矩阵方程:X21-12101-11 1-13432. (6分)解:设A21-12101-11, 易得A-1131-11-22-2-330, 所以X1-13432A-113-663-88-2.12. 用Gauss消元法或逆矩阵法求解下列线性方程组(1)(6分); (2)(6分);解:原一式解得,x1= x3,x2= x3-2 即x1x2x3 = K110 + 0-20(K为非0常数);原二式化简为,100100 010312 ,x1=1 , x2=3 , x3 =213. 设, 证明等式 . (7分)解:因为E-AE+A+A1+A2+Ak-2+Ak-1= E成立;所以:原等式(E-A)-1=E+A+A2+Ak-2成立14. 证明等式。(10分)解:左边: = b1c1+a1a1+b1b2c2+a2a2+b2b3c3+a3a3+b3 + c1c1+a1a1+b1c2c2+a2a2+b2c3c3+a3a3+b3因此,利用第三种初等变换得,左边=右边15. (1). 试论述向量组线性无关的一个等价条件;(2). 已知,, ,线性相关,试判断的相关性,并求出t的值. (10分)解:(1)等价条件一:由这些向量组成的矩阵是满秩的;(2)由题意知,存在一组不全为零的实数k1, k2, k3, 满足k121+t2+k222+t3+k323+t1=0, 即(2k1+tk3)1+2k2+tk12+2k3+tk23=0.若t=0, 则由题意知向量必然线性相关;反之,则(2k1+tk3),2k2+tk1, 2k3+tk2必不全为零, 所以它们依然线性相关。此时t不能取-2k1k3, -2k2k1, -2k3k2 .
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