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2014年湖北省七市（州）高三年级联合考试数学试题(理工类) A卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知全集，集合，则 A . B. C. D.2下列说法错误的是A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.若，则“”是“”的充要条件C.已知命题和，若为假命题，则命题与中必一真一假D.若命题，则， 3为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相同），用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是A.线性相关关系较强，的值为 B.线性相关关系较强，的值为开始s=1,n=1n4？否n=n+1s=s×输出S结束C.线性相关关系较强，的值为 D.线性相关关系太弱，无研究价值 第5题图4某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为A. B. C. D.5阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为 A. B. C. D.6 已知函数与的图像在上不间断，由下表知方程有实数解的区间是 101230.6773.0115.4325.9807.6510.5303.4514.8905.2416.892A. B. C. D.7已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为，则的最大值为 A. B. C. D.8设两条直线的方程分别为，已知是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A. B. C. D.9如果对定义在上的函数，对任意，都有 则称函数为“函数”.给出下列函数: ；.其中函数是“函数”的个数为A. B. C. D.10已知双曲线的两个焦点为、，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足（其中为坐标原点），若、成等比数列，则双曲线的方程为A. B. C. D.第卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题：（1114题）11若为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是，复平面内点表示复数，则复数的共轭复数是_ 12设，则_ _ 13物体以速度（的单位：，的单位：）在一直线上运动，在此直线上 与物体出发的同时，物体在物体的正前方处以（的单位：，的单位： ）的速度与同向运动，则两物体相遇时物体运动的距离为_ 14将长度为的线段分成段，每段长度均为正整数，并要求这段中的任意三段都不能构成三角形例如，当时，只可以分为长度分别为1,1,2的三段，此时的最大值为3；当时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段，此时的最大值为4则：（1）当时，的最大值为_；（2）当时，的最大值为_（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.15（几何证明选讲）如图，已知是的切线，是切点，直线交于两点，是的中点，连接并延长交于点，若，则 16（坐标系与参数方程）在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为 三、解答题本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知向量，设函数（）求函数的单调递增区间；（）在中，角、的对边分别为、，且满足， ，求的值18（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列， 其中， 且为、的等差中项，为、的等差中项（）求数列与的通项公式；（）记，求数列的前项和19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，为的中点（）设与平面所成的角为，二面角的大小为，求证：；（）在线段上是否存在一点（与两点不重合），使得平面? 若存在，求的长；若不存在，请说明理由20（本小题满分12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示（）根据图中的数据信息，写出众数；（）小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率；求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数的数学期望21（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由22（本小题满分14分）已知，（）设，求函数的图像在处的切线方程；（）求证：对任意的恒成立；（）若，且，求证：2014年湖北省七市（州）高三年级联合考试数学试题(理工类)参考答案A卷：15：ACBAD 610 ：BCDBA11、 12、240 13、130 14、（1）；（2）（注：第一问2分，第二问3分）15、 16、17、解：（1） 4分令 6分 所以所求增区间为 7分（2）由， 8分 ，即 10分 又， 11分 12分18.解：（1）设公比及公差分别为 由得或， 3分 又由，故 4分 从而 6分（2） 8分 9分 令 由得 11分 12分19.解法一：(1)证明： 又 1分 又平面，,面 2分 3分 , 5分 6分(2) 取的中点，连交于,由与相似得，, 7分 在上取点,使,则, 8分 在上取点使,由于平行且等于, 故有平行且等于， 9分四边形为平行四边形，所以, 10分而, 故有平面, 11分所以在线段上存在一点使得平面，的长为. 12分解法二：（1）同解法一；（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则,为的中点,则 7分假设存在符合条件的点，则共面，故存在实数，使得 即，故有即 11分即存在符合条件的点，的长为. 12分20.解：（1） 2分（2） 设报纸送达时间为，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，如图可知，所求概率为 8分服从二项分布，故（天） 12分21.解（1），故 4分（2）设，若直线与纵轴垂直， 则中有一点与重合，与题意不符， 故可设直线. 5分将其与椭圆方程联立，消去得： 6分 7分 由三点共线可知， 8分 同理可得 9分 10分 而 11分 所以 故直线、的斜率为定值. 13分22解：（1），则 ，图像在处的切线方程为即 3分（2）令， 4分则与同号 在单调递增 6分又，当时，；当时，在单调递减，在单调递增 即对任意的恒成立 8分（3）由（2）知 9分 则 11分 由柯西不等式得 13分 同理 三个不等式相加即得证。 14分第 9 页 共 9 页
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