高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题五 2 第2讲　椭圆、双曲线、抛物线 学案 Word版含解析

第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 直线与抛物线的位置关系 T8 双曲线的几何性质 T11 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查， 常出现在第 411 题或 1516 题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等 2 圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20 题的位置，一般难度较大. 卷 双曲线的几何性质 T5 椭圆的几何性质 T12 卷 双曲线的几何性质 T11 直线与抛物线的位置关系 T16 2017 卷 直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用 T10 双曲线的几何性质 T15 卷 双曲线的几何性质 T9 卷 双曲线的渐近线及标准方程 T5 2016 卷 双曲线的几何性质与标准方程 T5 抛物线与圆的综合问题 T10 卷 双曲线的定义、离心率问题 T11 卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率 T11 圆锥曲线的定义与标准方程(综合型) 圆锥曲线的定义、标准方程 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定 义 |PF1|PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF1|PF2| 2a(2ab0) x2a2y2b21 (a0，b0) y22px (p0) 典型例题 (1)椭圆x25y241 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 M，N，当FMN 的周长最大时，FMN 的面积是( ) A.55 B.6 55 C.8 55 D.4 55 (2)设 F1，F2分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程是( ) A. 2xy0 Bx 2y0 Cx 2y0 D2x y0 【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为 F，连接 MF，NF. 因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|， 所以当直线xm 过椭圆的右焦点时，FMN 的周长最大 此时|MN|2b2a8 55，又 c a2b2 541，所以此时FMN 的面积 S1228 558 55.故选 C. (2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a. 又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，则|PF2|2a 最小，所以PF1F230 . 在PF1F2中， 由余弦定理， 可得 cos 30 |PF1|2|F1F2|2|PF2|22|PF1|F1F2|16a24c24a224a2c32，整理得 c23a22 3ac，解得 c 3a，所以 b c2a2 2a. 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x.故选 A. 【答案】 (1)C (2)A (1)椭圆的焦点三角形的几个性质 已知椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，左、右焦点分别为 F1，F2，设焦点三角形 PF1F2中F1PF2，则 SF1PF2b2tan 2. 已知椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，左、右焦点分别为 F1，F2，设焦点三角形 PF1F2，若F1PF2最大，则点 P 为椭圆短轴的端点 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为2b2a. (2)双曲线的焦点三角形的几个性质 若双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，F1，F2分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任 意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质： 设F1PF2，则 SF1PF2b2tan2.特别地，当F1PF290 时，有 SF1PF2b2. 双曲线的焦点三角形的内切圆与 F1F2相切于实轴顶点当点 P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点 P 在双曲线右支上时，切点为右顶点 对点训练 1 (2018 辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 5，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A，若AFO 的面积为 1，则双曲线 C 的方程为( ) A.x22y281 B.x24y21 C.x24y2161 Dx2y241 解析：选 D.因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以 ab2，又双曲线 C 的离心率为 5，所以 1b2a2 5，即 b24a2，解得 a21，b24，所以双曲线 C 的方程为 x2y241，故选 D. 2(2018 福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l.过 F 的直线交 C 于 A， B 两点， 交 l 于点 E， 直线 AO 交 l 于点 D.若|BE|2|BF|， 且|AF|3，则|BD|( ) A1 B3 C3 或 9 D1 或 9 解析：选 D.分别过点 A，B 作 AA1，BB1垂直于 l， 且垂足分别为 A1，B1， 依题意，易证 BDx 轴， 所以 D 与 B1重合 由已知条件|BE|2|BF|得，|BE|2|BB1|， 所以BEB130 .又|AA1|AF|3， 如图 1，|BD|AA1|BE|AE|， 所以|BD|32|BD|3|BD|3， 解得|BD|1， 如图 2，|BD|AA1|BE|AE|， 所以|BD|32|BD|BD|3， 解得|BD|9. 综上，|BD|为 1 或 9，故选 D. 圆锥曲线的几何性质(综合型) 椭圆、双曲线中，a，b，c 及 e 之间的关系 (1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为 eca 1ba2. (2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为 eca 1ba2. 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系 典型例题 (1)(2018 石家庄质量检测(二)倾斜角为4的直线经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F，与椭圆交于 A、B 两点，且AF2FB，则该椭圆的离心率为( ) A.32 B.23 C.22 D.33 (2)(2018 高考全国卷)已知双曲线 C：x23y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若OMN 为直角三角形， 则|MN|( ) A.32 B3 C2 3 D4 【解析】 (1)由题可知，直线的方程为 yxc，与椭圆方程联立得x2a2y2b21yxc，所以(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22b2ca2b2y1y2b4a2b2，又AF2FB，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得y22b2ca2b22y22b4a2b2，所以124c2a2b2，所以 e23，故选 B. (2)因为双曲线x23y21 的渐近线方程为 y33x， 所以MON60.不妨设过点 F 的直线与直线 y33x 交于点 M，由OMN 为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线 MN 过点 F(2，0)，所以直线 MN 的方程为 y 3(x2)， 由y 3（x2），y33x，得x32，y32， 所以 M32，32，所以|OM|322322 3，所以|MN| 3|OM|3，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B (1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ca的值 (2)双曲线的渐近线的求法及用法 求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得 用法：(i)可得ba或ab的值 (ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程 对点训练 1(2018 福州四校联考)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线的渐近线方程为( ) Ay x By 2x Cy 3x Dy 2x 解析：选 A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱形的边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 4b2c2 3b2a2，又 4 条直线分别与两条渐近线平行，所以ba3b2a2a2b2，解得 ab，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为 y x，故选 A. 2(2018 广州综合测试(一)如图，在梯形 ABCD 中，已知|AB|2|CD|，AE25AC，双曲线过 C，D，E 三点，且以 A，B 为焦点，则双曲线的离心率为( ) A. 7 B2 2 C3 D. 10 解析：选 A.取 AB 的中点 O 为坐标原点，AB的方向为 x 轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，|AB|2|CD|2c，E(xE，yE)，则 A(c，0)，B(c， 0)， Cc2，yC， Dc2，yC， 由c24a2y2Cb21， 得 yCb2a b23a2， 故 Cc2，b2a b23a2.因为AE(xEc，yE)，25AC253c2，b2a b23a23c5，b5a b23a2，AE25AC， 所以xE25c，yEb5a b23a2. 又 E 在双曲线上，故4c225a2b225a2（b23a2）b21，化简整理得 4c2b23a225a2，即 c27a2，故ca 7.选 A. 3(2018 高考全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120 ，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 解析： 选 D.由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上， 如图所示， 设|F1F2|2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2c， 所以|OF2|c， 所以点P坐标为(c2ccos 60， 2csin 60)，即点 P(2c， 3c) 因为点 P 在过点 A， 且斜率为36的直线上， 所以3c2ca36，解得ca14，所以 e14，故选 D. 直线与圆锥曲线的位置关系(综合型) 求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解 典型例题 命题角度一 位置关系的判断及应用 已知抛物线 C1：y22px(p0)的焦点为椭圆 C2：x2a2y2b21(ab0)的右焦点，且两曲线有公共点23，2 63. (1)求抛物线 C1与椭圆 C2的方程； (2)若椭圆 C2的一条切线 l 与抛物线 C1交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且 OAOB，求直线 l 的方程 【解】 (1)将23，2 63代入抛物线方程，得2 632232p，解得 2p4，则抛物线 C1的方程为 y24x，则焦点为 F(1，0)，即 c1， 所以 a2b21. 将23，2 63代入x2b21y2b21，得49（b21）83b21，解得 b23(增根舍去)，则 a24， 所以椭圆 C2的方程为x24y231. (2)当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线 l 的斜率存在设直线 AB 的方程为 ykxb，显然 k0，b0，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由ykxb，y24x整理得 k2x2(2kb4)xb20， 所以 x1x22kb4k2，x1x2b2k2， 所以 y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b24bk， 由 OAOB，得OAOB0，即 x1x2y1y20，即b2k24bk0，整理得 b4k0. 由ykxb，x24y231整理得(34k2)x28kbx4b2120， (8kb)24(34k2)(4b212)0，即 b234k2. 由解得 k12， 则k12，b2或k12，b2， 所以直线 l 的方程为 x2y40 或 x2y40. 直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时， 只要把直线方程、 圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可 命题角度二 弦长问题 (2018 唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，长为 21 的线段的两端点 C，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP 2PD.记点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)经过点(0，1)作直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，OMOAOB，当点 M 在曲线 E上时，求四边形 AOBM 的面积 【解】 (1)设 C(m，0)，D(0，n)，P(x，y) 由CP 2PD，得(xm，y) 2(x，ny) 所以xm 2x，y 2（ny）， 得m（ 21）x，n212y， 由|CD| 21，得 m2n2( 21)2， 所以( 21)2x2（ 21）22y2( 21)2， 整理，得曲线 E 的方程为 x2y221. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由OMOAOB， 知点 M 坐标为(x1x2，y1y2) 由题意知，直线 AB 的斜率存在 设直线 AB 的方程为 ykx1，代入曲线 E 的方程，得 (k22)x22kx10， 则 x1x22kk22，x1x21k22. y1y2k(x1x2)24k22. 由点 M 在曲线 E 上，知(x1x2)2（y1y2）221， 即4k2（k22）28（k22）21，解得 k22. 这时|AB| 1k2|x1x2|3（x1x2）24x1x23 22， 原点到直线 AB 的距离 d11k233， 所以平行四边形 OAMB 的面积 S|AB| d62. 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 (2)弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|1k2 （x1x2）24x1x2，其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率 命题角度三 定比、分点问题 (1)(2018 南宁模拟)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy 50，弦的中点坐标是 M(4，1)，则椭圆的离心率是( ) A.12 B.22 C.32 D.55 (2)(2018 长春质量检测(一)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，且经过点E3，32. 求椭圆 C 的方程； 过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点(点 A 位于 x 轴上方)， 若AF1F1B， 且 23，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 【解】 (1)选 C.设直线 xy50 与椭圆x2a2y2b21 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为 AB 的中点 M(4，1)，所以 x1x28，y1y22.易知直线 AB 的斜率 ky2y1x2x11.由x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得，（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b20， 所以y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2，所以b2a214，于是椭圆的离心率 eca1b2a232，故选 C. (2)由2a|EF1|EF2|4，a2b2c2，c1，解得a2，c1，b 3， 所以椭圆 C 的方程为x24y231. 由题意得直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)， 联立方程，得yk（x1），x24y231，整理得3k24 y26ky90，144k21440， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y26k34k2，y1y29k234k2， 又AF1F1B，所以 y1y2，所以 y1y2（1）2(y1y2)2， 则（1）2434k2，12434k2， 因为 23，所以121243， 即12434k243，且 k0，解得 0k52. 故直线 l 的斜率 k 的取值范围是0，52. (1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件 0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交 (2)圆锥曲线以 P(x0， y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是： kb2x0a2y0(椭圆x2a2y2b21)，kb2x0a2y0(双曲线x2a2y2b21)，kpy0(抛物线 y22px)，其中 ky2y1x2x1(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标 对点训练 1已知 F 是抛物线 x24y 的焦点，直线 ykx1 与该抛物线交于第一象限内的点 A，B，若|AF|3|FB|，则 k 的值是( ) A. 3 B.32 C.33 D.2 33 解析：选 D.显然 k0.抛物线的准线 l：y1，设其与 y 轴交于点 F，则直线 ykx1 过点 F.分别过点 A，B 作 l 的垂线，垂足分别为 A，B，根据抛物线定义，得|AF|AA|，|BF|BB|，根据已知，得|AF|BF|AA|BB|3.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|x1x2|AA|BB|3，即 x13x2.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得 x24kx40，则 x1x24k，由得 x13k，x2k，又 x1x24，所以 3k k4，即 k243，解得 k2 33(负值舍去) 2(2018 惠州第二次调研)已知 C 为圆(x1)2y28 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP 上，且有点 A(1，0)和 AP 上的点 M，满足MQAP0，AP2AM. (1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程； (2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x2y21 相切， 与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 F，H，O 是坐标原点，且34OFOH45时，求 k 的取值范围 解：(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线， 所以|CP|QC|QP|QC|QA|2 2|CA|2， 所以点 Q 的轨迹是以点 C，A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 2的椭圆， 所以 a 2，c1，b a2c21， 故点 Q 的轨迹方程是x22y21. (2)设直线 l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)， 直线 l 与圆 x2y21 相切|t|k211t2k21. 联立x22y21，ykxt得(12k2)x24ktx2t220， 16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0， x1x24kt12k2，x1x22t2212k2， 所以OFOH x1x2y1y2 (1k2)x1x2kt(x1x2)t2 （1k2）（2t22）12k2kt4kt12k2t2 （1k2）2k212k24k2（k21）12k2k21 1k212k2， 所以341k212k24513k21233|k|22， 所以22k33或33k22. 故 k 的取值范围是22，3333，22. 一、选择题 1已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( ) A(1，3) B(1， 3) C(0，3) D(0， 3) 解析：选 A.由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为 4，得 m2n3m2n4，即 m21，所以1n3. 2(2018 潍坊模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为 3，且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( ) A1 B. 3 C2 D2 3 解析： 选 C.由题意知双曲线的焦点(c， 0)到渐近线 bxay0 的距离为bca2b2b 3，即 c2a23，又 eca2，所以 a1，该双曲线的实轴的长为 2a2. 3(2018 石家庄质量检测(一)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜角为 60的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B 两点，若点 A 平分线段 F1B，则该双曲线的离心率是( ) A. 3 B2 3 C2 D. 21 解析：选 B.由题意可知 A 是 F1B 的中点，O 是 F1F2的中点(O 为坐标原点)，连接 BF2，则 OA 是F1BF2的中位线，故 OABF2，故 F1F2BF2，又BF1F260，|F1F2|2c，所以|BF1|4c，|BF2|2 3c，所以 2a4c2 3c，所以 eca2 3，故选 B. 4(2018 武汉模拟)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为3的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若|AB|8，则抛物线的方程为( ) Ay23x By24x Cy26x Dy28x 解析：选 C.因为抛物线 y22px(p0)的焦点为 Fp2，0 ，所以过点 F 且倾斜角为3的直线方程为 y 3(xp2)，联立直线与抛物线的方程，得y 3（xp2），y22px3x25px34p20， 设A(xA， yA)， B(xB， yB)， 则xAxB53p，xAxB14p2，所以|AB| （xAxB）2（yAyB）2 1k2|xAxB|1353p2414p283p8p3，所以抛物线的方程为 y26x，故选 C. 5(2018 高考全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FMFN( ) A5 B6 C7 D8 解析： 选D.法一： 过点(2， 0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)， 由y23（x2），y24x，得 x25x40，解得 x1 或 x4，所以x1，y2或x4，y4，不妨设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)，所以FM(0，2)，FN(3，4)，所以FMFN8.故选 D. 法二：过点(2，0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)，由y23（x2），y24x，得 x25x40，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y10，y20，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x24.易知 F(1，0)，所以FM(x11，y1)，FN(x21，y2)，所以FMFN(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 6(2018 贵阳模拟)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 作圆 x2y2a2的切线FM，切点为 M，交 y 轴于点 P，若PMMF，且双曲线的离心率 e62，则 ( ) A1 B2 C3 D4 解析： 选 B.如图， |OF|c， |OM|a， OMPF， 所以|MF|b， 根据射影定理得|PF|c2b，所以|PM|c2bb，所以|PM|MF|c2bbbc2b2b2a2b2. 因为 e2c2a2a2b2a21b2a262232，所以b2a212.所以 2.故选 B. 二、填空题 7(2018 合肥第一次质量检测)抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点 A，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ， 垂足为 Q.若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为_ 解析： 设 P(x， y)， 其中 x0， y0， 由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2，|QA|y， 则2（x1）2y16，y24xx4，y4或x9，y6(舍去)所以点 P 的坐标为(4，4) 答案：(4，4) 8(2018 贵阳模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 P，Q 两点，若 cosPAQ35，则椭圆 C 的离心率 e 为_ 解析：根据题意可取 Pc，b2a，Qc，b2a，所以 tanPAFb2aacb2a2aca2c2a2acaca1e，cosPAQcos 2PAFcos2PAFsin2PAFcos2PAFsin2PAFcos2PAFsin2PAF1tan2PAF1tan2PAF1（1e）21（1e）235，故 55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)214.又椭圆的离心率 e 的取值范围为(0，1)，所以 1e12，e12. 答案：12 9已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2，4，则PF1PF2的最小值的取值范围是_ 解析：设 P(m，n)，则m2a2n2b21， 即 m2a21n2b2. 又 F1(1，0)，F2(1，0)， 则PF1(1m，n)， PF2(1m，n)， PF1PF2n2m21 n2a21n2b21 n21a2b2a21a21， 当且仅当 n0 时取等号， 所以PF1PF2的最小值为 a21. 由 21a4，得14a12， 故1516a2134， 即PF1PF2的最小值的取值范围是1516，34. 答案：1516，34 三、解答题 10(2018 南昌调研)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，短轴长为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOMkON54，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围 解：(1)由题知 eca32，2b2，又 a2b2c2，所以 b1，a2， 所以椭圆 C 的标准方程为x24y21. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立ykxm，x24y21，得(4k21)x28kmx4m240， 依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得 m24k21， x1x28km4k21，x1x24m244k21， y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2， 若 kOMkON54，则y1y2x1x254，即 4y1y25x1x2， 所以 4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，所以(4k25)4（m21）4k214km (8km4k21)4m20， 即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得 m2k254， 由得 0m265，120k254， 因为原点 O 到直线 l 的距离 d|m|1k2， 所以 d2m21k254k21k2194（1k2）， 又120k254， 所以 0d287，所以原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是0，2 147. 11(2018 贵阳模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点M 为短轴的上端点，MF1MF20，过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB| 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过点(2，1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G，H 两点若 k1，k2分别为直线 MH，MG 的斜率，求 k1k2的值 解：(1)由MF1MF20，得 bc. 因为过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB| 2， 所以b2a22， bcb2a22a2b2c2a22b21. 故椭圆 C 的方程为x22y21. (2)设直线 l 的方程为 y1k(x2)，即 ykx2k1， 将 ykx2k1 代入x22y21 得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0， 由题设可知 16k(k2)0，设 G(x1，y1)，H(x2，y2)， 则 x1x24k（2k1）12k2，x1x28k28k12k2， k1k2y11x1y21x2kx12k2x1kx22k2x22k（2k2）4k（2k1）12k28k28k12k22k(2k1)1， 所以 k1k21. 12(2018 石家庄质量检测(二)已知圆 C：(xa)2(yb)294的圆心 C 在抛物线 x22py(p0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切 (1)求该抛物线的方程； (2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别在点 A，B 处作抛物线的两条切线交于 P 点，求三角形 PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程 解：(1)由已知可得圆心 C(a，b)，半径 r32， 焦点 F0，p2，准线 yp2. 因为圆 C 与抛物线的准线相切，所以 b32p2，且圆 C 过焦点 F， 又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上， 即 bp4， 所以 b32p2p4，即 p2，故抛物线的方程为 x24y. (2)易得焦点 F(0，1)，直线 l 的斜率必存在，设为 k，即直线方程为 ykx1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由ykx1x24y得 x24kx40，0，x1x24k，x1x24， 对 yx24求导得 yx2，即 kAPx12， 直线 AP 的方程为 yy1x12(xx1)，即 yx12x14x21， 同理直线 BP 的方程为 yx22x14x22. 设 P(x0，y0) 联立直线 AP 与 BP 的方程，得x0 x1x222ky0 x1x241， 即 P(2k，1)， |AB| 1k2|x1x2|4(1k2)，点 P 到直线 AB 的距离 d|2k22|1k22 1k2， 所以三角形 PAB 的面积 S124(1k2)2 1k24(1k2)324，当且仅当 k0 时取等号 综上，三角形 PAB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y1.