资源描述
思维流程思维流程找突破口找突破口 技法指导技法指导迁移搭桥迁移搭桥 函数与导数问题一般以函数为载体， 以导数为工函数与导数问题一般以函数为载体， 以导数为工具， 重点考查函数的一些性质， 如含参函数的单调性、具， 重点考查函数的一些性质， 如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论， 恒成立和能成立问题的数不等式中参数范围的讨论， 恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综合问题，一般是先转化合问题，一般是先转化(变形变形)，再求导，分解出基，再求导，分解出基本本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题. 典例典例 已知函数已知函数 f(x)eln xax(aR R) (1)讨论讨论 f(x)的单调性；的单调性； (2)当当 ae 时，证明：时，证明：xf(x)ex2ex0. 快审题快审题 求什么求什么 想什么想什么 讨论函数的单调性，想到利用导数判断讨论函数的单调性，想到利用导数判断 证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化 给什么给什么 用什么用什么 已知函数的解析式，利用导数解题已知函数的解析式，利用导数解题 差什么差什么 找什么找什么 证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值关系，应找出所构造函数的最值. 稳解题稳解题 (1)f(x)exa(x0)， 若若 a0，则，则 f(x)0，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 若若 a0，则当，则当 0 x0，当，当 xea时，时，f(x)0，所以只需证，所以只需证 f(x)exx2e， 当当 ae 时，由时，由(1)知，知，f(x)在在(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减， 所以所以 f(x)maxf(1)e. 记记 g(x)exx2e(x0)， 则则 g(x) x1 exx2， 所以当所以当 0 x1 时，时，g(x)1 时，时，g(x)0，g(x)单调递增，单调递增， 所以所以 g(x)ming(1)e. 综上，当综上，当 x0 时，时，f(x)g(x)，即，即 f(x)exx2e， 即即 xf(x)ex2ex0. 法二法二：证：证 xf(x)ex2ex0， 即证即证 exln xex2ex2ex0， 从而等价于从而等价于 ln xx2exex. 设函数设函数 g(x)ln xx2， 则则 g(x)1x1. 所以当所以当 x(0,1)时，时，g(x)0； 当当 x(1，)时，时，g(x)0， 故故 g(x)在在(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减， 从而从而 g(x)在在(0，)上的最大值为上的最大值为 g(1)1. 设函数设函数 h(x)exex，则，则 h(x)ex x1 ex2. 所以当所以当 x(0,1)时，时，h(x)0， 故故 h(x)在在(0,1)上单调递减，在上单调递减，在(1，)上单调递增，上单调递增， 从而从而 h(x)在在(0，)上的最小值为上的最小值为 h(1)1. 综上，当综上，当 x0 时，时，g(x)h(x)， 即即 xf(x)ex2ex0. 题后悟道题后悟道 函数与导数综合问题的关键函数与导数综合问题的关键 (1)会求函数的极值点，先利用方程会求函数的极值点，先利用方程 f(x)0 的根，将函数的定义域分成若干个开区间，的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值； (2)证明不等式，常构造证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；不等式成立； (3)不等式恒成立问题除了用分离参数法， 还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，不等式恒成立问题除了用分离参数法， 还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围去求参数的取值范围 针对训练针对训练 已知函数已知函数 f(x)xln x，g(x)ax22，直线，直线 l：y(k3)xk2. (1)若曲线若曲线 yf(x)在在 xe 处的切线与直线处的切线与直线 l 平行，求实数平行，求实数 k 的值；的值； (2)若至少存在一个若至少存在一个 x01，e使使 f(x0)1 时，函数时，函数 f(x)的图象恒在直线的图象恒在直线 l 的上方，的上方，求求 k 的最大值的最大值 解：解：(1)由已知得，由已知得，f(x)ln x1，且，且 yf(x)在在 xe 处的切线与直线处的切线与直线 l 平行，平行， 所以所以 f(e)ln e12k3，解得，解得 k5. (2)因为至少存在一个因为至少存在一个 x01，e使使 f(x0)g(x0)成立，成立， 所以至少存在一个所以至少存在一个 x 使使 xln x2ln xx成立成立 令令 h(x)2ln xx，当，当 x1，e时，时，h(x)2 1ln x x20 恒成立，恒成立， 因此因此 h(x)2ln xx在在1，e上单调递增上单调递增. 故当故当 x1 时，时，h(x)min0， 所以实数所以实数 a 的取值范围为的取值范围为(0，) (3)由已知得，由已知得，xln x(k3)xk2 在在 x1 时恒成立，时恒成立， 即即 k0 在在 x1 时恒成立时恒成立. 所以所以 m(x)在在(1，)上单调递增，且上单调递增，且 m(3)1ln 30， 所以在所以在(1，)上存在唯一实数上存在唯一实数 x0(x0(3,4)使使 m(x0)0，即，即 x0ln x020. 当当 1xx0时，时，m(x)0，即，即 F(x)x0时，时，m(x)0，即，即 F(x)0， 所以所以 F(x)在在(1，x0)上单调递减，在上单调递减，在(x0，)上单调递增上单调递增 故故 F(x)minF(x0)x0ln x03x02x01 x0 x02 3x02x01x02(5,6) 故故 kx02(kZ Z)，所以，所以 k 的最大值为的最大值为 5. 总结升华总结升华 函数与导数压轴题堪称函数与导数压轴题堪称“庞然大物庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、可把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解量分离、可把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到为几个小步，也可从逻辑上重新换叙注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用尽可能多拿步骤分同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用 专题过关检测专题过关检测 1(2018 全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x)ax2x1ex. (1)求曲线求曲线 yf(x)在点在点(0，1)处的切线方程；处的切线方程； (2)证明：当证明：当 a1 时，时，f(x)e0. 解：解：(1)因为因为 f(x)ax2 2a1 x2ex， 所以所以 f(0)2，f(0)1， 所以曲线所以曲线 yf(x)在在(0，1)处的切线方程是处的切线方程是 y12x，即，即 2xy10. (2)证明：当证明：当 a1 时，时， f(x)e(x2x1ex1)ex. 令令 g(x)x2x1ex1， 则则 g(x)2x1ex1. 当当 x1 时，时，g(x)1 时，时，g(x)0，g(x)单调递增单调递增 所以所以 g(x)g(1)0. 因此因此 f(x)e0. 2(2018 全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x)13x3a(x2x1) (1)若若 a3，求，求 f(x)的单调区间；的单调区间； (2)证明：证明：f(x)只有一个零点只有一个零点 解：解：(1)当当 a3 时，时，f(x)13x33x23x3， f(x)x26x3. 令令 f(x)0，解得，解得 x32 3或或 x32 3. 当当 x(，32 3)(32 3，)时，时，f(x)0； 当当 x(32 3，32 3)时，时，f(x)0， 所以所以 f(x)0 等价于等价于x3x2x13a0. 设设 g(x)x3x2x13a， 则则 g(x)x2 x22x3 x2x1 20， 仅当仅当 x0 时，时，g(x)0， 所以所以 g(x)在在(，)上单调递增上单调递增 故故 g(x)至多有一个零点，从而至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点至多有一个零点 又又 f(3a1)6a22a136 a162160， 故故 f(x)有一个零点有一个零点 综上，综上，f(x)只有一个零点只有一个零点 3(2018 西安质检西安质检)设函数设函数 f(x)ln xkx(kR R) (1)若曲线若曲线 yf(x)在点在点(e，f(e)处的切线与直线处的切线与直线 x20 垂直，求垂直，求 f(x)的单调性和极小值的单调性和极小值(其中其中 e 为自然对数的底数为自然对数的底数)； (2)若对任意的若对任意的 x1x20，f(x1)f(x2)0)， 曲线曲线 yf(x)在点在点(e，f(e)处的切线与直线处的切线与直线 x20 垂直，垂直， f(e)0，即，即1eke20，得，得 ke， f(x)1xex2xex2(x0) 由由 f(x)0，得，得 0 x0，得，得 xe， f(x)在在(0，e)上单调递减，在上单调递减，在(e，)上单调递增，上单调递增， 当当 xe 时，时，f(x)取得极小值，且取得极小值，且 f(e)ln eee2. f(x)的极小值为的极小值为 2. (2)由题意知对任意的由题意知对任意的 x1x20，f(x1)x10)， 则则 h(x)在在(0，)上单调递减，上单调递减， h(x)1xkx210 在在(0，)上恒成立，上恒成立， 即当即当 x0 时，时，kx2x x12214恒成立，恒成立， k14. 故故 k 的取值范围是的取值范围是 14， . 4(2018 沈阳质检沈阳质检)已知已知 f(x)exax22x(aR) (1)求函数求函数 f(x)的图象恒过的定点坐标；的图象恒过的定点坐标； (2)若若 f(x)ax1 恒成立，求恒成立，求 a 的值；的值； (3)在在(2)成立的条件下，证明：成立的条件下，证明：f(x)存在唯一的极小值点存在唯一的极小值点 x0，且，且2f(x0)0， g(x)在在 R 上单调递增，且当上单调递增，且当 x0 时，时，g(x)0， exax1 不能恒成立不能恒成立 若若 a0，令，令 g(x)0，xln a. 当当 x(，ln a)时，时，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递增，单调递增， 函数函数 g(x)在在 xln a 处取得极小值，处取得极小值， g(ln a)aaln a1. 要使要使 ex2ax2ax1 恒成立，恒成立， 只需只需 aaln a10. 设设 h(a)aaln a1， 则则 h(a)1ln a1ln a， 当当 a(0,1)时，时，h(a)0，函数，函数 h(a)单调递增；单调递增； 当当 a(1，)时，时，h(a)ln 2 时，时，m(x)0，当，当 xln 2 时，时，m(x)0， 函数函数 m(x)在在(，ln 2)上单调递减，在上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，上单调递增， m(x)ex2x2 在在 xln 2 处取得极小值，且处取得极小值，且 m(ln 2)2ln 20，m(2)e260， m(x)有两个变号零点，有两个变号零点， f(x)存在唯一的极小值点存在唯一的极小值点 x0， f(x0)0，即，即 ex02x020， f(x0)ex0 x202x02x02x202x02x20， m 32e322322e3250， x0 32，2 ， 函数函数 f(x)的极小值的极小值 f(x0)2x20 2，14， 即即2f(x0)14.
展开阅读全文