线性代数第二章习题答案

习 题2-11由 6 名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1 胜选手 2、 4、 5、 6 而负于选手3；选手 2胜选手 4、 5、 6 而负于选手1、3；选手 3 胜选手 1、 2、 4 而负于选手 5、 6；选手 4 胜选手 5、 6 而负于选手1、2、 3；选手 5 胜选手 3、 6 而负于选手1、 2、4；选手 6 胜选手 2 而负于选手1、3、 4、5若胜一场得 1 分，负一场得0 分，使用矩阵表示输赢状况，并排序12345610101112000111解：3110100 ，选手按胜多负少排序为： 1,2,3,4,5,6 4000011500100160100002设矩阵 A13xy, B12，已知 AB ，求 x, y, z 2x 305z23xy2x1解：由于 AB 得 2x35 ，解得：y1 。z20z2习题2-21设 A21， B12100，求4（ 1） 2A 5B ； （ 2） ABBA ； （ 3） A 2B 2 解：（ 1） 2A5B221124251098105420020220；0（ 2） ABBA211212212801291004041012405；2（ 3） A 2B 22 1 2 112125 21 6441010040421016215123143212已知 A0321， B5301，求 3A2B 4032125012314321解： 3 A - 2B 3 0 3212 53 014032125036938642110550963106021015611209624100104196121243213设 A2 1 2 1 , B2 12 1，求12340101（ 1） 3AB ； （ 2） 2A 3B ；（ 3）若 X 满足 A XB ，求 X ；（ 4）若 Y 满足 2 A Y2 B Y O ，求 Y 12124321解：（ 1） 3AB3 2121212112340101363643211315636321218282；3691201013791312124321（ 2） 2A 3B 2 2 1 2 13 2 12 112340101242412963141387424263632525；246803032165（ 3）由 AXB 得，121243213111X A B2 1 2 12 12 1404 0 ；123401011335（ 4）由 2 A Y2 B YO 得，1010225533332 ( A B )Y2 0 2 0 20404。331133233222334计算下列矩阵的乘积：431747321135（ 1） 123 21 7 ( 2) 2 3 16；5701577201493（ 2） 1 2 3 21 3 2 23 1 10 ；122( 1)2 224（ 3） 1 ( 1 2)1( 1) 1 22 2 ；33( 1)3 2361322140012（ 4）13413114022 1104 104231( 1)4( 3)002212410( 2)1 1( 1)03 14413( 1)( 1)3( 3)4012( 1)23 14( 2)6710205；5a11a12a13x1（ 5） x1x2 x3 a21a22a23x2a31a32a33x3x1a11 x1a21 x2a31 x3a12x1a22 x2a32 x3a13x1a23 x2a33 x3x2x3(a11 x1a21 x2a31 x3 )x1(a12 x1a22 x2a32 x3 )x2(a13 x1a23 x2a33 x3 )x3a11 x12(a12a21 ) x1 x2 (a13a31 )x1 x3a22 x2 2(a23a32 ) x2 x3a33 x3 2 。121010311252（ 6）010101210124。002100230043000300030009105设 A01，求 A 3 0010 1022 1解： A20 10 1022000000222 11 03233A3A2A02 132 2 00 3 。0020000323010106设 A， B02 ， C0 2 ，1203045（ 1）求 AB 及 AC ；（ 2）如果 ABAC ，是否必有 BC ？（ 3）求 B A23102623106解：（ 1） AB02， AC02120141202；00014345（ 2）由（ 1）知 ABAC ，而 BC ；T（ 3） BA(AB) T2624。14613117已知 f (x)x2x1， A312 ，求 f ( A) 110311311311100解： f ( A) A 2A E3 12 3 123 120 1 0110110110001133531110092414253120101103。001110001112举反例说明下列命题是错误的：（ 1）若 A 2O ，则 AO ；（ 2）若 A 2A ，则 AO 或 AE ；（ 3）若 AXAY ，且 AO ，则 XY 解：（ 1）举例若 A110 ，而 A 20 ；11（ 2）举例若 A11， A 2A 而 A0且 AE ；00（ 3）举例若 A11， X11，Y00， AXAY ，且 AO 而 XY 。1100119证明： 如果 CAAC ,CBBC，则有（ 1） ( A B)C C ( AB) ；（ 2） ( AB )C C ( AB ) 证明：（ 1） ( AB )CACBCCACBC ( A B ) ；（ 2） ( AB )CA(BC)A(CB)(AC)B(CA)BC ( AB )10设 A, B 均为 n 阶矩阵，证明下列命题是等价的：（ 1） ABBA ；（ 2） ( A B) 2A 22AB B 2 ；（ 3） ( A B ) 2A 22ABB 2 ；（ 4） ( A B)( A B ) ( A B )( A B ) A 2B 2 证明：（ 1）（ 2）因为 ABBA ，所以 ( AB) 2A 2ABBAB 2A 22ABB 2 ；（ 2）（ 1） ( AB) 2A 2ABBAB 2A 22 ABB 2 ，所以 ABBA ；（ 1）（ 3）因为ABBA ，所以 ( AB) 2A 2ABBAB 2A 22 ABB 2（ 3）（ 1） ( AB )2A 22 ABB 2A 2ABBAB 2，所以 ABBA ；（ 1）（ 4）因为ABBA ，所以 ( AB )( AB )A 2ABBAB 2A 2B 2（ 4）（ 1） ( AB)( AB )A 2ABBAB 2A 2B 2，所以 ABBA 。11设 A 与 B 是两个 n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当ABBA 时， AB 是反对称矩阵证明： 先证当 ABBA 时， AB 是反对称矩阵。因为 (AB) TB T ATBAAB ，所以 AB 是反对称矩阵。反之，若 AB 是反对称矩阵，即(AB) TAB ，则 AB( AB ) TB T A TBA 。习题2-31判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：11cossin101（ 1）；（ 2）；（ 3）21 0；43sincos32512312312340123（ 4） 2 21（5） 4 56 ；（ 6）01343789020001解：（ 1） A1170 ，故 A1 存在， A113 A211A124 A22 143113131从而 A1A*77A7414177（ 2） Acossin10 ，故 A1 存在，sincosA11cosA21sinA12sinA22cos从而 A 11A*cossinAsincos101（ 3） A21020 ，故 A1 存在， A115 , A1210 , A137 , A212 , A222 ，325A2352, A311 , A322 , A3315111 A*22从而 A 1151A71122123（ 4） A22120 ，故 A1 存在， A112 , A123 , A132 , A216 , A226 ，343A232, A314 , A325 , A332132从而 A 11A*335A21211123（ 5） A4560 ，故 A 1 不存在。789123401231 存在， A11 1 , A12 0 , A13 0 , A14 0 , A212 ，（ 6） A011 0 ，故 A020001A221, A230 , A24 0 , A31 1A322, A331 , A340 , A410, A421, A432 , A4411210从而 A 11 A*0121。0012A000112321132设 A221, B20，求矩阵 X 使满足 AXBC 5, C34333113231解：由 1 题中的（ 4）小题知A 1335，又知 B 15221211所以1321331113121X A 1CB 13352 002104 。52522123102104113设 A2546241， B2， C21，解下列矩阵方程：31（ 1） AXB ；（ 2） XAB ； （ 3） AXBC 解： A135， B1116121624（ 1） AX BX A 1B3546223122108（ 2） XA BX BA 146 3518 3221125835241161517(3)AXBCXA1184CB1221162457844利用逆矩阵解下列线性方程组：2x1x2x34x12x23x31（ 1） 3x14 x22x311；（ 2） 2x12x25x32 3x12x24x3113x15x2x33211x14解：（ 1）取 A342， Xx2， B11 ，则原方程组为AXB324x311211112663x13A 34260 ， A 118 11 1 X A 1 B1 ，即 x21。32460181111x31123x11（ 2）取 A225， Xx2， B2，则原方程组为 AXB351x331 231231341x1 1A 2 2 5 15 ， A 1138 1 XA 1 B0 ，即 x20 。3 51154120x305设 A kO （ k 为正整数），证明 (EA) 1EAA 2A k1 证明： 因为 ( EA)( EAA 2A k 1 )E A A 2A k 1(A A 2A k 1A k ) E （由 A kO ）所以 (E A) 1E A A 2A k 1 。6设方阵 A 满足 A 2A2EO ，证明 A 和 A2E 都可逆，并求A 1 和 ( A2E ) 1 证明： 因为 A 2A2 EO 可知 A1 (AE)E ，所以 A 可逆且 A11 ( AE ) ；22又有 A 2A2EO 得 ( A2E ) 1 (3EA)E ，所以 A2E可逆且( A 2E ) 1 1 (3E4A) 。40337设 A11 0 , AB A 2B ，求 B 123233解：因为 ABA2B ，所以 ( A2E ) BA ，而 A2E110， A2E 2 ，1211133( A 2E ) 1113，所以21111133033033B ( A 2E ) 1 A11 311 01 2 3。21111231101018设 A020, AB E A 2B ，求矩阵 B 101解：由于 ABEA 2B ，有 ( AE ) B A 2E ( A E )( AE )001201而 A E010 且 A E1 0 ，可知 AE 可逆，所以 BA E030。1001029设 A * 是 n 阶方阵 A的伴随矩阵，证明：（ 1）若 A 可逆，则 A*| A | A 1 ；（ 2）若 | A |0 ，则 | A* | 0 ；（ 3） | A* | | A |n 1 ；（ 4）若 A 可逆，则 ( A1 )*( A*)11A ；| A |（ 5）若 A 可逆，则 ( A T )*( A*) T 证明：（ 1） AAA E ，而 A 可逆， A*A 1 A E| A | A 1（ ） | A | 0，当A0，则AO ，A02当 A0 ，则由 AAA E0 ， A 0 矛盾。 A0故当 A0 时，有 A0。（ 3）若 A0 由（ 2）知 A0 此时命题也成立，故有AAn 1。若 A0，则由 AAA EA AA EA n ， AA n 1综上有 An1A。（ 4） AAA E ，而 A 可逆， ( A * ) 11AA又 A 1 ( A 1 ) *A 1 E1 E ， ( A 1 ) *1 A ，即 ( A 1 )* ( A*) 11 AAA| A |（ 5） A 可逆， AT 可逆又 A T ( AT )*AT EA E ，A T ( A* )T( A* A) T( A E )TA E即 A T ( A T )*A T ( A*) T ， ( AT )* ( A*) T100010设 A 的伴随矩阵 A*0100，且 ABA1BA 13E ，10100308求矩阵 B 解：由 ABA 1BA 13EABB3AA* ABA* B3A * AA B A* B 3 A E ( 2E A * ) B 6E10006000而 ( 2E A* )0100， B 6( 2E A* ) 106001010606。10010103012611设 P 1 AP，其中 P14, 10，求 A11 1102解： P 1 AP故 APP 1 ，所以 A11P 11 P 11411411110而 P3 ，P， P1，11011311020211141014131327312732故 A1133112421102116836841131211421133111112设 APP，其中 P102 , 1，1115求 ( A)A 8 (5E6A A2 ) 1111112221 P*333解： P 1026 ， P *3 03 ， P 1101111121P21211636(1)1200又()(1)000(5)0001111111200333444故( A) P ( A) P 11 02 0 0 01014 4 4 。1110002124441113设矩阵 A 、 B 及 AB 都可逆，证明：636（ 1） A 1B1 也可逆，并且A 1B 11B )1 B ；A( A（ 2） A( A B ) 1 B B ( A B) 1 A 证明 ：（ 1） ( A 1B 1 )( A( A B ) 1 B ) (E B 1 A)( A B ) 1 B(B 1B B 1 A)( A B ) 1 B B 1 ( A B )( A B ) 1 B B 1B E A 1B 1 可逆且 A 1B 11A( AB ) 1 B（ 2） B (A B ) 1 A( A - 1B 1 )B ( A B ) 1 ( E AB 1 )B( A B) 1 (BB 1AB 1 )B ( A B ) 1 ( A B) B 1BB 1E ( A -1B -1 ) 1B ( AB ) 1 A ，又有（ 1）知 A 1B 11A( AB) 1 B由逆矩阵的唯一性知，A AB)1 B BAB)1 A。(习题2-41013