2020数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析

A 级级基础通关基础通关一、选择题一、选择题1已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为的离心率为12，则，则()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b解析：解析：由由 eca12，则，则 a2c.又又 a2b2c2，所以，所以 3a24b2.答案：答案：B2(2019天一联考天一联考)设双曲线设双曲线 C：x28y2m1 的左右焦点分别为的左右焦点分别为 F1、F2，过点，过点 F1的直线与双曲线的直线与双曲线 C 交于交于 M，N 两点，其中两点，其中 M 在左支上，在左支上，点点 N 在右支上，若在右支上，若F2MNF2NM，则，则|MN|()A8B4C8 2D4 2解析：解析：由由F2MNF2NM，知，知|F2M|F2N|，又又|MF2|MF1|4 2，|NF1|NF2|4 2.两式相加，得两式相加，得|NF1|MF1|8 2，故故|MN|NF1|MF1|8 2.答案：答案：C3已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为的左焦点为 F，C 与过原点的与过原点的直线相交于直线相交于 A，B 两点，连接两点，连接 AF，BF.若若|AB|10，|BF|8，cos ABF45，则，则 C 的离心率为的离心率为()A.35B.57C.45D.67解析：解析：如图所示，在如图所示，在AFB 中，中，|AB|10，|BF|8，cos ABF45，由余弦定理得由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cos ABF1006421084536，所以所以|AF|6，BFA90，设设 F为椭圆的右焦点，连接为椭圆的右焦点，连接 BF，AF.根据对称性可得四边形根据对称性可得四边形 AFBF是矩形是矩形所以所以|BF|6，|FF|10，所以，所以 2a86，2c10，解得解得 a7，c5，所以，所以 eca57.答案：答案：B4(2019长郡中学模拟长郡中学模拟)已知已知 F1，F2是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左的左、 右焦点右焦点， 若点若点 F2关于双曲线渐近线的对称点关于双曲线渐近线的对称点 A 满足满足F1AOAOF1(O 为坐标原点为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为，则双曲线的渐近线方程为()Ay 3xBy2xCy 2xDyx解析：解析：设设 F2A 与渐近线与渐近线 ybax 交于点交于点 M，且，且 O，M 分别为分别为 F1F2、F2A 的中点，的中点，故故 OMF1A，则，则 F1AF2A，OAOF1c.又又F1AOAOF1，所以，所以F1OA 为正三角形，为正三角形，所以所以MOF23，故双曲线的渐近线为故双曲线的渐近线为 y 3x.答案：答案：A5(2019全国卷全国卷)设设 F 为双曲线为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右的右焦点焦点，O 为坐标原点为坐标原点，以以 OF 为直径的圆与圆为直径的圆与圆 x2y2a2交于交于 P，Q 两两点若点若|PQ|OF|，则，则 C 的离心率为的离心率为()A. 2B. 3C2D. 5解析解析： 设双曲线设双曲线 C：x2a2y2b21(a0， b0)的右焦点的右焦点 F 的坐标为的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，可知，PQ 是以是以 OF 为直径的圆的为直径的圆的直径，且直径，且 PQOF.设设 PQ 与与 OF 交于点交于点 M，连接，连接 OP，如图所示，如图所示则则|OP|a，|OM|MP|c2，由由|OM|2|MP|2|OP|2，得，得 2c22a2，故故ca 2，离心率，离心率 e 2.答案：答案：A二、填空题二、填空题6 (2019江苏卷江苏卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中， 若双曲线若双曲线 x2y2b21(b0)经过点经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的渐近线方程是_解析：解析：因为双曲线因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点经过点(3，4)，则，则 916b21(b0)，解得，解得 b 2，即双曲线方程为，即双曲线方程为 x2y221，因此双曲线的渐近线方程为因此双曲线的渐近线方程为 y 2x.答案：答案：y 2x7(2019珠海调研珠海调研)已知直线已知直线 l 是抛物线是抛物线 y22px(p0)的准线，的准线，半径为半径为 3 的圆过抛物线顶点的圆过抛物线顶点 O 和焦点和焦点 F，且与直线，且与直线 l 相切，则抛物线相切，则抛物线的方程为的方程为_解析解析：由已知圆心在由已知圆心在 OF 的中垂线上的中垂线上，故圆心到准线的距离为故圆心到准线的距离为34p，所以所以34p3，所以，所以 p4，故抛物线的方程为，故抛物线的方程为 y28x.答案：答案：y28x8(2019全国卷全国卷)设设 F1，F2为椭圆为椭圆 C：x236y2201 的两个焦点的两个焦点，M 为为 C 上一点且在第一象限上一点且在第一象限 若若MF1F2为等腰三角形为等腰三角形， 则则 M 的坐标的坐标为为_解析：解析：设设 F1为椭圆的左焦点，分析可知点为椭圆的左焦点，分析可知点 M 在以在以 F1为圆心，焦为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264 上上因为点因为点 M 在椭圆在椭圆x236y2201 上，上，所以联立方程可得所以联立方程可得（x4）2y264，x236y2201，解得解得x3，y 15.又因为点又因为点 M 在第一象限，所以点在第一象限，所以点 M 的坐标为的坐标为(3， 15)答案：答案：(3， 15)三、解答题三、解答题9(2018全国卷全国卷)设抛物线设抛物线 C：y24x 的焦点为的焦点为 F，过过 F 且斜率且斜率为为 k(k0)的直线的直线 l 与与 C 交于交于 A，B 两点，两点，|AB|8.(1)求求 l 的方程；的方程；(2)求过点求过点 A，B 且与且与 C 的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程解：解：(1)由题意得由题意得 F(1，0)，l 的方程为的方程为 yk(x1)(k0)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由由yk（x1） ，y24x得得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故，故 x1x22k24k2.所以所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知由题设知4k24k28，解得，解得 k1(舍去舍去)，k1.因此因此 l 的方程为的方程为 yx1.(2)由由(1)得得 AB 的中点坐标为的中点坐标为(3，2)，所以所以 AB 的垂直平分线方程的垂直平分线方程为为y2(x3)，即，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216.解得解得x03，y02或或x011，y06.因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或或(x11)2(y6)2144.10(2018全国卷全国卷)已知斜率为已知斜率为 k 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C：x24y231交于交于 A，B 两点，线段两点，线段 AB 的中点为的中点为 M(1，m)(m0)(1)证明：证明：k12；(2)设设 F 为为 C 的右焦点，的右焦点，P 为为 C 上一点，且上一点，且FPFAFB0.证明：证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差成等差数列，并求该数列的公差(1)证明：证明：设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则x214y2131，x224y2231.两式相减，并由两式相减，并由y1y2x1x2k 得得x1x24y1y23k0.由题设知由题设知x1x221，y1y22m，于是，于是 k34m.由题设得由题设得 0m32，故，故 k12.(2)解：解：由题意得由题意得 F(1，0)设设 P(x3，y3)，则，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由由(1)及题设得及题设得 x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点又点 P 在在 C 上，所以上，所以 m34，从而从而 P(1，32)，|FP|32，于是于是|FA| （x11）2y21（x11）23（1x214）2x12.同理同理|FB|2x22.所以所以|FA|FB|412(x1x2)3.故故 2|FP|FA|FB|，即，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列成等差数列设该数列的公差为设该数列的公差为 d，则，则 2|d|FB|FA|12|x1x2|12（x1x2）24x1x2.将将 m34代入代入得得 k1，所以所以 l 的方程为的方程为 yx74，代入，代入 C 的方程，并整理得的方程，并整理得 7x214x140.故故 x1x22，x1x2128，代入，代入解得解得|d|3 2128.所以该数列的公差为所以该数列的公差为3 2128或或3 2128.B 级级能力提升能力提升11(2019全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆 C 的焦点为的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，过过 F2的直线与的直线与 C 交于交于 A，B 两点两点若若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则则 C的方程为的方程为()A.x22y21B.x23y221C.x24y231D.x25y241解析解析： 设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0) 连接连接 F1A， 令令|F2B|m，则，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，4m2a，得得 ma2，故故|F2A|a|F1A|，则点，则点 A 为椭圆为椭圆 C 的上顶点或下顶点如图的上顶点或下顶点如图不妨设不妨设 A(0，b)，由，由 F2(1，0)，AF22F2B，得，得 B32，b2 .由点由点 B 在椭圆上，得在椭圆上，得94a2b24b21，得得 a23，b2a2c22，椭圆，椭圆 C 的方程为的方程为x23y221.答案：答案：B12(2019天津卷天津卷)设椭圆设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为的左焦点为 F，上顶，上顶点为点为 B.已知椭圆的短轴长为已知椭圆的短轴长为 4，离心率为，离心率为55.(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(2)设点设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线为直线 PB与与 x 轴的交点轴的交点，点点 N 在在 y 轴的负半轴上轴的负半轴上，若若|ON|OF|(O 为原点为原点)，且且OPMN，求直线，求直线 PB 的斜率的斜率解：解：(1)设椭圆的半焦距为设椭圆的半焦距为 c，依题意，依题意 2b4，得，得 b2.又又 eca55，且，且 a2b2c24c2，解之得解之得 a 5，c1.所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x25y241.(2)由题意由题意，设设 P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线设直线 PB 的斜率的斜率为为k(k0)，又又 B(0，2)，则直线，则直线 PB 的方程为的方程为 ykx2，与椭圆方程联立，与椭圆方程联立ykx2，x25y241，整理得整理得(45k2)x220kx0，可得可得 xP20k45k2，代入代入 ykx2 得得 yP810k245k2，进而直线进而直线 OP 的斜率为的斜率为yPxP45k210k.在在 ykx2 中，令中，令 y0，得，得 xM2k.由题意得由题意得 N(0，1)，所以直线，所以直线 MN 的斜率为的斜率为k2.由由 OPMN，得，得45k210kk2 1，化简得，化简得 k2245，从而从而 k2 305.所以，直线所以，直线 PB 的斜率为的斜率为2 305或或2 305.