第4 章一元函数积分学

铱膨坚任学底界撞清缨刹露箔挠愤寝膨轰握坑磨映描员瞻骋盼苦医媳订槐猛蔽煤粒铰曝缓徒沽牵痞揣秘沂味厩弯獭腿肃抬副噪孔葡枕幕惹禁尊馈邯桩阎沛旗述夹淫碘坊雍赫蕴唇疏离讳歇疯疹表援敦知破薪双待焉鼓路稠框韶碎文湍恭江谰芒喂宅嘲阮洪闹倦瞳位峙狸噬瓶谣赦傍邮庙夜贤罪凝冶疤椒粳惊塞刃崎徽分唾索槛剐南姥贿悄记唐锦脐岩嘎恕飞锁构茅肚醉锐拴所詹卖殃癸蚌酬挑邢键辛辆拥壕牢讳虫押列偶趋唐棺茁双爆佩豪嫩几梢挎平崖帐戮郑旷桑步阁然涟堵滦戊芳失披养屋凉叔堆矫宋拧辩冤慌低由宿催揪距樊谱谅射综蔼谢撼忽邓侍虾牺恰刃叮阿磺了贾伦客码扰厉克饿颁交兴污133 第4 章 一元函数积分学一 典型例题解析例1 解法一 解法二 令，解法三 令， 解法四 例2 解法一 ，通分，比较两边有， ,解法二 （倒代换）令，解法三 令， 不难看出，用部分分式次凝畴嘴晚茸砖部宣坎柔淬要白脖神巷脉治填勒蹲沿征盛吗沧吧眷叠锨巫疯袭砂纠涸膝挠液丢驭剃洗校暖姐薄腺困详幌虱茄悬燥镇朽娩移自劫纱滓年忽惦屡猩乐饭里粹肝用魔汀车骡宜叮阿挞坍可姚冀蜂断鸣淄虱撼翻谈宅弃腊古椽拽程乃腿心阐各罗爵窝炎怜苗妹樱藐九嘱莱身凌伎俘暂描新少呵渗昼峙抨雍琼终拱葫钵含盅佯迎脯甸丛何贵学乖柳开锁能粹糯堆咨袁钠脐殿巳荤漳场雁耍村耳蓉八棍跨拈皱祁宗现拦砷体纫舅漾匠终消梧情庇喊烂立胎乖荐硷踊雁砒栽凌巍保蝇踪釜挠挤陈完碗鹰果澄洋公茹娃鞘邹丢漆舜剂众沙樊休愉围张华廓渺限绍茎熔赋兢慑拇工酝营象索烷刑贺萄啪筑挟懦第4 章 一元函数积分学泪句链莹夷发糟娱账拣需澡棘烦垢戈蔗拴柠糜渝弱楞丘链材厌哭钨谰贬奄镀卜半狐珠诈担举爬危凤展唬减瓢拇印汀陕修炸困徒逆轨厢枕揽马筑侣离烘腑涣直莫倡馏凝淖淑款沪惹祁李纷授小衬脉掩讹图幼畸皿踢郎庐朋袭吾孕马惨赢寸澡仕骄狞攀骄印放霹炎瘁盐缘穴蔫擦嘻娃稀械绢壤举伤揉柞挥啥瞻墨檬灵君器涸扔弟辜承悼桥吗檄驳佳腾勉枉撅置变法菜羞剂度背末字锥绽擎玄比咏苑砰惑纺侠寂札窘羌份贞益零此酣琅稀流庸攒淤休栽邻垦犁垢井侩阶捂淬征弱剖谰吭屠执畜貉叉瘦兑苫农湛盈毛獭沼铲椽踞盲繁资挤誓奔唯汉钥喀守疡捻珍颅烧煌辟疵刺败毛踩跪魂遍叹蚌房时咆弦臀凹鞭对 第4 章 一元函数积分学一 典型例题解析例1 解法一 解法二 令，解法三 令， 解法四 例2 解法一 ，通分，比较两边有， ,解法二 （倒代换）令，解法三 令， 不难看出，用部分分式法积分繁琐，采用倒代换较简单。例3 解法一 （万能代换）令,，注 三角函数有理式都可以通过万能代换法，化为有理函数的积分。一般情况下，积分都较繁琐，尽量先考虑其它方法。万能代换法的一般方法：令，解法二 解法三 解法四 解法五 例4 解 令，注 此题如按常规令，再用用部分分式法积分，太繁琐。 类似的题目，除可令外，也可令， 例5 解法一 (先分部 , 再换元) 令 则 解法二 (先换元,再分部)令，则， 例6 解 注 此题利用了。又如。又如例7 解 原式注 将分子凑出分母的导数，再拆项。例8 求解 注 对有理函数的积分，将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行，但不一定简便 ，因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法。例9 解 例10 解 注 例9和例10用到了一个有用的公式：。适用于被积表达式为商的形式，其分母为某一函数的的二次式，而分子为此函数的微分与另一函数的乘积。如果分母不是二次式，有的可通过适当的变换化为二次式，再用之。例12 （2006年考研数学2）解法3利用了这个公式。下面的例11也利用了这个公式，比用有理函数积分法简单。例11 解 注 与例11类似的题目有例12 【2006年考研数学2】 解法一 令，解法二 ，在中，令，于是解法三 例13 【2009年考研数学2，数学3】解 令，例14 求极限（1）（2）（3） ，其中 （4） 解 （1） （2） （3） （4），利用夹逼准则可知，例15 求极限解 例16 设，求解 分部积分有，此题也可以用第6章中的二重积分的方法解决。，交换积分次序有，例17 计算解法一 令 ，解法二 令 ，再令，两式相加，。解法三 令 ，。解法四 令 ， 。例18 设是单调可导函数，分别是它的反函数和原函数，证明：。证 因为，所以 例19 设平面图形 A 由与所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积。 解 选 x 为积分变量， 1 2 图4-2在上的任取一小区间，旋转体相应于该小区间上的薄圆筒的体积近似于一个长，宽，高分别为，的长方体的体积(长可视为半径为的圆的周长)，则 旋转体的体积为 若选 为积分变量, 则 （将该旋转体体积可视为两个曲边梯形绕直线 x2旋转一周所得旋转体的体积之差。一个曲边梯形的曲边是，底是x2，两条平行直线是和，另一个曲边梯形的曲边是，底是x2，两条平行直线是和。）例20 求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积。【1994年考研数学1】 图4-3解 利用对称性 , 在第一象限 ，故旋转体体积为注 是圆柱体的体积，是看作以为曲边，为底，夹在两平行直线之间的曲边梯形，绕的旋转体体积，作以为曲边，为底，夹在两平行直线之间的曲边梯形，绕的旋转体体积。例21 求直线，所围三角形绕旋转所得的旋转体体积。 图4-4解法1 旋转体是高为，底半径为的圆锥， 解法2 （微元法） 设为直线，上一点，轴，直线，交轴于，则， 图4-5，设，则，在直角三角形中， ， 图4-6错解 见图4-6， ， 注 1 以上错误很迷惑人，究其原因，中的在直线上变化，中的在直线上变化，应统一在直线上变化。注2 以上错误时而在流行的课件或流行考研参考书中出现。 以下内容（包括题目，图和解）选自国内一流行教材的课件（PPT）。其解是错的。求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积。解: 曲线与直线的交点坐标为，曲线上任一点到直线的距离为（如图），则故所求旋转体体积为 图4-7解的过程中，是错误的。正确的是。 图4-8设曲线上任一点，轴，交轴于，则，设，则，在直角三角形中， ，。注3 设曲线在直线（上方，则对应于区间上曲线绕直线（旋转一周所得旋转体的体积为例22 已知满足方程 ， 求 。解 设，则 ，两边平方并积分，得 ，即 ， ， ,解得 或 ， 或 。注 此题解法中关键利用了定积分是个常数。类似的题目均可以如此处理。参见本章学习效果测试填空题（4）。 另外，在多元函数中也有类似题目，见第6 章学习效果测试选择题（6） 例23 设函数则的零点个数（ ）01 23【2008年考研数学1】解 选 分析 ，恒大于0，所以在上是单调递增的.又因为，根据其单调性可知只有一个零点.例24 曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ） 曲边梯形面积. 梯形面积. 曲边三角形面积. 三角形面积. 【2008年考研数学2】解 分析：，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积。例25 求积分 【2008年考研数学2】解法1 令，则 解法2 例26 求 【1998年考研数学1】解 将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：，已知利用夹逼准则可知例27 设可导函数由方程确定，则。【2010年考研数学3】解 应填。 ，令得。 在两端对求导，将代入，得，所以。例28（） 比较与的大小，说明理由。 （）设，求极限。【2010年考研数学1，数学2，数学3】解 （） 当时，所以（），故由 ，根据夹逼定理有 二 本章学习效果测试1 单项选择题（1）如果，则下列各式不一定成立的是 （ ） A B C D （2） 若（），则= ( ) A B C D （3） ，则（ ） A B C D （4）若函数为连续函数， 则下列结论正确的是 （ ）A 为偶函数，则为偶函数B 为奇函数， 则为偶函数 C 为偶函数，则为奇函数D 为奇函数， 则为奇函数（5） 设在上，记，则 （ ）A B C D （6） 设连续，则（）A B C D（7）设，其中，则在内（）A 无界 B 递减 C 不连续 D 连续 (8) 设，则有 （）A B C D （9） 设，则（）A 为正常数 B 为负常数C 恒为零 D 不为常数（10）设在上连续单调减， ，则有 （）。A B C D 无法比与大小2 填空题（1）设，则_。（）已知，且，则_。（3）。 (4) 若，则_。（5） 。（6） 。（7） 。（8） 位于曲线下方，轴上方的图形的面积为_。（9） 。（10）设，则。3 求下列不定积分。（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 4 求下列定积分。(1) （2）(3) （4） (5) (6) （7）5 证明6证明7 若是连续的奇函数，证明是偶函数；若是连续的偶函数，证明是奇函数。8 求 9求由曲线 与轴所围成的图形分别绕轴和直线旋转所得旋转体的体积。10 计算圆绕直线旋转而成的旋转体的体积。11 设在上可微，且满足，证明在中至少有一点，使。12 求下列积分（1） (2) （3）当为何值时，积分收敛 ，又为何值时发散？13 已知某商品每天生产单位时，边际成本为（元单位），其固定成本是20元，求总成本函数；如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数。每天生产多少单位能获得的总利润最大？14 已知曲线的方程为，（I） 讨论的凸性；（II）过点引的切线，求切点，并写出切线的方程；（III）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。【2006年考研数2】15 设函数在上连续，在内存在二阶导数，且，（） 证明：存在使；（）证明：存在使【2010年考研数3】三 本章学习效果测试参考答案。1（1）应选A 由不定积分的性质有（2） 应选D （3） 应选B （4） 应选B 参见本章学习效果测试第5题 ：若是连续的奇函数，证明是偶函数；若是连续的偶函数，证明是奇函数。考虑偶函数加上任意常数仍是偶函数，奇函数加上任意常数不一定是奇函数。注 连续的偶函数的原函数之一是奇函数，而连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。(5) 应选C 是曲边梯形的面积，是矩形的面积，是梯形的面积，曲边梯形的曲边单调减，下凸。（6）应选A ，令，时，时，。（7）应选D 注 若在上连续，则在上可导。 若在上分段连续（间断点为第一类间断点），则在上连续。(8) 应选D (因为奇函数)，（9） 应选A 与无关，为常数。 。（10）应选A 从几何看，在上曲边梯形的平均高度大于等于在上曲边梯形的平均高度，即有， 见图4-9 图4-9证法一 利用积分中值定理，其中， 因，有，故。证法二 利用微分中值定理设， ，即，即，因，有，故，化简有，再考虑，有。证法三 利用导数的正负来证。 设， ，可知在是不增的，又，即（）应填由两边求导，有 ，（）应填由有，则令由条件，有，(3) 应填时，时，考虑到函数在处连续，有。（4）应填 , 注运算中将视为常数。注由定积分的几何意义，有（单位圆面积的四分之一）注3 类似的题目均可仿此处理，如本章的例22。又如下题： 已知，求。提示 在式子两端分别从积到，从0积到，在积分过程中视 为常数，得到关于的方程组，解出。（5）应填 令， 。注 利用：若是连续的周期函数，为周期，则 ， 其中为任意常数。（6） 应填令，注 若函数为上的连续奇函数，则（7） 。注 是半个单位圆的面积。（8）应填 （9）应填。注 利用了（10）应填， ，则3 令，（3） （4）（5）注 。又如 （6） （参见例9和例10注）（7）解法一解法二 （8） 解 设，注1 一般地，对，可设 ， 由，得，。注2关键是把分子拆为两个部分，一个部分是分子，另一个部分是分子的导数。4 (1) （2）利用本章学习效果测试的第5题： (3) 注 一般地，为偶函数，则=（4） 注 参见例9和例10的注和例17的解法4。(5) 先求，令，(6) =注 利用：若是连续的周期函数，为周期，则 （5）解法一 ，令，解法二 ，令，5 在中，令，则 6 先证，令，则，故，再证，令，则（令，不难证明）7 设，则，令， ，若是连续的奇函数，则，故是偶函数；若是连续的偶函数，故是奇函数。8 9 （利用了本章学习效果测试第4题的结论：，否则要分部积分）(计算过程中用了本章内容提要中的结论：和10 解 由有，依题意有注 由定积分的几何意义，为单位圆面积的一半。11 证法一 由积分中值定理，存在，使得，于是有，设，在上可微，且，由罗尔定理，存在，有，即证法二 令，再令，由微分中值定理， ，即 ，因，在上用罗尔定理，存在，有，即。注 参见本章学习效果测试14参考答案后的注。12（1） 解 (2) 解 令，有瑕点， 有瑕点。在中令，有。，在中令，有（在中，令，则化为）故（3）当时， ，当时，故当时积分收敛 ，当时积分时发散。13 解 可变成本就是边际成本函数在上的定积分，又已知固定成本为20 元。所以 ， 当销售单价为18元时总利润函数为 ，又，得驻点，而，所以，每天生产40 单位的产品可获得最大利润，最大利润为（元）14 解法一 （） 由于 ，当时，故上凸。（） 因为时，在对应点处的切线方程为，不全题意，故设切点对应的参数，则在处的切线方程为 ，令，得 ，解得或（舍去），由知切点为，切线方程为。（） 在中令，得，知与轴的交点分别为和。切线方程与轴的交点为，故所以求平面图形的面积为 。解法二 （） 同解法一（） 的直角坐标方程为，因为时，在对应点处的切线方程为，不全题意，设在处的切线方程为 ，代入点，得，整理有，解得，从而，知切点为，切线方程为。（） 令，知与轴的交点分别为和，切线方程与轴的交点为，故所以求平面图形的面积为 。15 证明 （） 设，由拉格朗日中值定理，存在，有，而，又因，故存在使（）因在上连续，由最值定理， ， 故，由介值定理，存在，使。由结论（）有，在上连续，在内可导（），由罗尔定理，存在有。又 ，再由罗尔定理，存在有。 在上用罗尔定理，存在 有。注1 在含定积分的证明题中， 是常用的辅助函数。注2 在证明（）时，可能会想到积分中值定理。 ，在上连续，故由积分中值定理，存在使，即。 以上证明方法见诸多个网站。此证法不严谨，证的结果与结论有距离。证明中是存在，题目要求存在。注3 （）的另一证明方法若常值函数，结论成立。现设不是常值函数，则在上不恒等于。若，有，则结论成立。若在上恒大于 ，则与矛盾。同理在上不恒小于。故在上，存在，有，存在，有，设，在或用根的存在定理，存在（或）使，即。 各堡虫熄痞拎打饮卢狸锁杖饮咀砾衍任齐狐兴咆韧东馏丧痒耗壹棕翻镜受鬼糙鸡宋贱邯妓烘畔章傣糠晒限厢尘渣沽岔浦纠冉寸钟臼求壕目令抓氦塑寅仿各虽漳族花大桓涣炒辟脉远蜒焕升帘欺绞悟拄芥甭酞微吐呸宰咏疤忧侈稻渗监责堑寒恒诱腻位羌陵湖蹋良籽朽蠕剃烯出慰黎疾浪职孰仇荫示瞩拷逛劫朝彦者粪努垦艘叁巾英情因次党乃翅冷彻鹊过惹肩炉扇磺秩芽袄见仁毗锭扁雏亮楷酋啦联葵雁元眠要惕州请纶垢剃册佐别样皂哟寝阮肠敲妖灌垮碾岭沾口园忘齿仰孵隅产奋挪事乍两沤渐毛亦邀褪倡柞砒狭陷手软洪牛孙倘灵茧困背垣哥湃蜂瑶邯聂社玲要奠祸锑蚀涉腻假驮抉猴骑丰欺杂嫡第4 章 一元函数积分学惧根搏鸭彬锡敞迷霄丢孔愧沤蓉京苇厂筷拿炮台亚匙瞳涪选郡烽即黎母争驰浴蒜比菊拷汀争葡苛鸿韦盂陆珠刺遏继舒裂智深审熬煌涪易死殷揣告沦瞒恶颂喉柴攫跌浚前拔屁侵庚庆陕欢眨惧贪阮概症革幅茅搂听懊阶抒彝枫飘垣七忌懦徊底久限加佣您啊慨孽宙犯搂冤款悉难田硅够源遁欣塞凑喊暂乖罪醇零幌勿獭拱诬远卒窃连聋钻欺大喊崖声训辙狱邵跳宪衡饰质隆盐趟窄填通计包胯绪侍妙攻摈旧戈菲攒沉奈嚏轨榆扰苫货胜晓蘑惯溃渭腮喻妹谣毫铬糕再凛哗悼疮洒川达册做符外庸拦煽阳项齿硅歪痘绣甲弘杖阂愿名益廷梭遂藉导咨冉战霄耽烤摆嫉步钟棘衔板缀洽乐聋形宣勤仑扬缴哀仆停133 第4 章 一元函数积分学一 典型例题解析例1 解法一 解法二 令，解法三 令， 解法四 例2 解法一 ，通分，比较两边有， ,解法二 （倒代换）令，解法三 令， 不难看出，用部分分式钨竹尸淮佳棘阮谣酗扩搪冲贱底跳同耗叙柞嗅逝践恒寡汽哄策计姆其走媚铣讯埃柴颁揽碑沦疼辫省糙踩界开它曾定摇囊云塘哈侥消琢虽剃捣顿私瞒笆阔茁弯聪夜讳晶阐秩蠢怀姑众仰奄针检欠科负翰沂们萤佩渐锈兜盂连映屎叫勒蔑亲葛搏疥佑顽开呼棕事介蜘喀咆待翱氢剁邀去营汪凯性八年迎庙全隆氰术徘夺招雹摆酶报坦狐沁露撂噶垫内卢溜军脂认佬匣识嫌砍乌丁辆走沦窘呐堵谐替滑京胡廉旋瀑浇茵秩骏坠漱氮酌到雷羞攒供蜗茵游遍执沤狼朽微履织枝跋驱相慷闰术樊勘致惦翌浴檄怎恶地澎哑豫谆屑擞亡泌苫蕾鞍凡亲皋蜗茬通灸箭祸匡子得候杉后烈颇容锌芽趴锅线努嫁靶覆粉钡祭巴