初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法

初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法 对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。这里经常要用到一些整除性质。一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。但其解法仍然是有章可循的。一、巧用求根公式法例1、试确定m为何值时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720有两个不相等的正整数根。解：首先，m2-10，则m1又=36(m-3)20，所以m3用求根公式可得 x1，x2是正整数， m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。解得m=2这时x1=6，x2=4。评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。二、巧用因式分解法例2、已知方程a2x2 - ( 3a2- 8a )x + 2a2-13a +15 = 0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值。.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax2a +3=0和axa + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a的值。解：原方程可化为： a2x2(3a28a)x(2a3)(a5)0方程左边分解因式,得 (ax2a3)(axa5)0 原方程至少有一个整数根， a的值为3，或5，或1。例3、当k为何整数时，关于x的二次方程x23kx+2k26=0两根都为整数。分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值.解：由x23kx+2k26=0，得 (x-2k)(x-k) = 6 x、k为整数， 原方程化为 或 或 或 由于x2k与xk同号，故得八个不定方程组，解得k =1，1，5，5。评析：利用因式分解可以把原方程进行完全分解或部分分解，转化成几个不定方程，然后利用整数的性质可以来解决。三、巧用判别式来解决例4、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x10有有理根，试求m的值解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数令 =(m-1)2-4mn2，其中n是非负整数，于是可得 m2-6m+1=n2， (m-3)2-n2=8， 即 (m-3n)(m-3-n)8由于m-3nm-3-n，并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m-3) 是偶数， m-3n与m-3-n同奇偶， 或 或 （舍去）所以当时，这是方程的两根为和。评析：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决四、巧用求根公式与判别式的结合来解决例5、试求所有这样的正整数a，使得方程ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解。解：首先要使=-2(2a-1)2-4a4(a-3)=32a+4是一个完全平方数 32a+4=22(8a+1)， 8a+1必须是完全平方数。 8a+1是奇数， 设8a+1=(2k-1) 2,k是整数 则 a0， k1或k1或k1或k0不符，舍去 k=5,3,2,-3,-1 对应的a=10,3,1,6,1。 当a=1,3,6,10时，方程ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解。例6、关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值解：当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解当a0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式4(a-3)2-4a(a-2)4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数令9-4a=n2，则n是正奇数，且n 3（否则a = 0） 又由求根公式可得 要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2要使x2为整数，即n-34，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10 综上所述，a的值为2，-4，-10评析：本题是前面两种方法的“综合”既要用判别式是平方数，又要用直接求根有时候，往往是几种方法一同使用五、巧用韦达定理法例7、已知关于x的方程x2(a-6)xa=0的两根都是整数，求a的值解：设两个根为x1，x2，不妨设x1 x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得：x1x2+x1+x26，即 (x11)(x2+1)=7， 或 可解得 或a = x1x2 = 0或16例8、求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x(r-1)=0的所有根是整数。分析：首先对r=0和r0进行讨论当r=0时，是关于x的一次方程；当r0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效可用韦达定理，先把这个有理数r消去解：当r=0时，原方程为x-1=0，则可得 x=1当r0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1x2，则消去r得 x1x2-x1-x22， (x1-1)(x2-1)=3或 可解得 或综上所述，当时，方程的所以根都是整数。评析：利用韦达定理，结合整数的性质，确定因数，求得参数的值；或者把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的六、巧用主元分析法例9、已知方程x2(m1)x2m10的两个根都是整数，求m的整数值。分析：本题待定字母m是整数，且指数为一次，可把原方程整理成关于m的一次方程。通过对方程解的整数分析即可获得结论。解：原方程可化为关于m的一次方程：(x2)mx2x-10 因为x，m都是整数，所以 x21 或1 即 x1或x3代入求得相应的m=1或5故当m=1或m=5时，方程的两根均为整数。评析：从解题过程中知，当关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解。对所求的解如果能分离整数部分，则先分离整数部分，再利用整数的性质解决；或者借助不等式（组）和整数的性质也可以求解。七、巧用方程之间关系法例10、已知方程各有两个整数根， 和且0 ，0 。 (1)求证：x10,x20,x|10,x|20；(2)求证：b-1cb1；(3)求b，c的所有可能的值解：(1) 由x1x2 0知，x1 与x2 同号若x1 0，则x2 0，这时，b 0；与矛盾，；同理可证 (2) 由(1)知，x10，x20，所以x1-1，x2-1由韦达定理可得 cb-1同理 cb+1， b-1cb+1(3) 由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况： 当c = b1时，由韦达定理知 , 解得 ， b = 5 ，c = 6 当c = b时，由韦达定理知 ，从而b = 4，c = 4 当c = b1时，由韦达定理知 综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)评析：在解决多个方程有关的一些竞赛题时，除了要考虑到每个方程中本身所具有的有关条件和结论以外，关键还需要把握各个方程之间的联系，这种关系是非常不错的一把钥匙。总之，在解决含参数的一元二次方程时，除了用方程本身的一些性质以外，很多时候需要对这些性质进行灵活应用，且与整数的性质结合在一起使用，就既可以准确的解决这一类问题。而且可以防止漏解。（发表在上海中学数学2009年第3期）5