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一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、 B 和 C 如下：Aex ey 2 ez3Bey 4ezC ex 5 ez2求：（ 1） aA ；（ 2） AB ；（ 3） AgB ；（ 4）AB ；（ 5） A 在 B 上的分量；（ 6） AC ；（ 7） Ag(BC ) 和 ( AB )gC ；（ 8） ( AB )C 和 A (BC ) 。解 （ 1） aAAexey 2 ez 3123A1222ex14eyez( 3)21414（ 2）（ 3）A B (exey 2 ez3)( ey 4 ez ) ex ey6 ez453AgB (exey 2 ez3) g(ey 4 ez) 11（ 4）由 cosABAgB141111，得ABcos 1 (11 ) 135.5oAB17238238（ 5） A 在 B 上的分量ABAcos ABAgB11B17exeyez（ 6） A C1 23ex 4 ey13 ez10502exeyez（ 7）由于 BC041ex 8 ey 5ez 20502exeyezA B123ex 10 ey1 ez 4041所以Ag(B C )(exey 2ez 3)g (ex8 ey 5 ez 20)42( A B )gC( ex10 ey1 ez 4)g( ex 5 ez 2)42exeyez（ 8） ( A B ) C10 1 4 ex 2 ey 40 ez5502exeyezA ( B C )1 23ex55 ey 44 ez118520- 1 -1.2 三角形的三个顶点为 P1(0,1,2) 、 P2 (4,1,3) 和 P3 (6, 2,5) 。（ 1）判断 PP12 P3 是否为一直角三角形；（ 2）求三角形的面积。解 （ 1）三个顶点 P1 (0,1,2) 、 P2 (4,1, 3) 和 P3 (6, 2,5)的位置矢量分别为r1ey ez 2 ， r2ex 4 eyez 3 ， r3ex 6 ey 2 ez5则R12r2r1ex 4ez ，R23r3r2 ex 2 eyez8 ，R31r1r3ex 6 eyez 7由此可见R12 gR23(ex 4ez )g(ex 2ey ez 8)0故 PP12 P3 为一直角三角形。（ 2）三角形的面积S1 R12R231 R12R231 1769 17.132221.3求 P ( 3,1,4) 点到 P(2,2,3)点的距离矢量 R 及 R 的方向。解rPex 3 eyez 4 ， rPex 2ey 2 ez 3 ，则RP PrPrPex 5ey 3ez且 RP P 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为xcos 1 ( ex gRP P )cos 1(5 )32.31oRP P35cos1ey gRP Pcos1(3oy(RP P)120.4735zcos 1 ( ez gRP P )cos 1(1)99.73oRP P351.4给定两矢量Aex 2ey 3ez 4和 Bex 4 ey5ez 6 ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。解A 与 B 之间的夹角为ABcos 1 ( AgB)cos 1(31) 131oA B29 77A 在 B 上的分量为ABAgB313.532B771.5给定两矢量 A ex 2 ey 3ez4 和 Bex 6ey 4ez ，求 AB 在 C ex ey ez上的分量。exeyez解 A B2 34ex13 ey 22 ez10641所以 AB 在 C 上的分量为( A( AB)gC2514.43B )CC31.6证明：如果 AgBAgC 和 A BA C ，则 BC ；- 2 -解由 ABAC ，则有 A( AB )A( A C ) ，即( AgB) A( AgA)B( AgC ) A( AgA)C由于 AgBAgC ，于是得到( AgA)B( AgA)C故BC1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 A 为一已知矢量，pAgX 而 PAX ， p 和 P 已知，试求 X 。解由 PAX ，有APA( AX )( AgX ) A( AgA) XpA( AgA) X故得XpAAPAgA1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4, 2,3) 定出，求该点在： （1）直角坐标中的坐标；（ 2）球坐标中的坐标。3解 （ 1）在直角坐标系中x4cos(23)2 、 y4sin(23)2 3 、 z3故该点的直角坐标为( 2, 23,3) 。（ 2）在球坐标系中r225、tan1(4 3)o、2 3120o4353.1故该点的球坐标为 (5,53.1 o,120o)1.9用球坐标表示的场Eer25 ，r 2（ 1）求在直角坐标中点(3,4,5) 处的 E 和 Ex ；（ 2）求在直角坐标中点(3,4,5) 处 E 与矢量 Bex 2ey 2ez构成的夹角。解 （ 1）在直角坐标中点( 3,4,5) 处， r 2(3)242( 5)250 ，故Eer251r 22Exex gEE cos rx133225220（ 2）在直角坐标中点(3,4,5) 处， rex 3ey 4ez 5 ，所以E2525rex 3ey 4ez 5r2r 3102故 E 与 B 构成的夹角为EBcos 1(E gB )cos 1 (19 (102) )153.6oE gB3 21.10球坐标中两个点 (r1, 1 ,1) 和 ( r2 ,2 , 2 ) 定出两个位置矢量R1 和 R2 。证明 R1 和 R2间夹角的余弦为coscos1 cos 2sin1 sin2 cos(12 )解由R1exr1 sin1 cos1eyr1 sin1 sin1ezr1 cos1R2ex r2 sin2 cos2ey r2 sin 2 sin2ez r2 cos 2- 3 -得到R1gR2cosR2R1sin1 cos 1 sin2 cos2sin1 sin1 sin 2 sin2cos 1 cos 2sin1 sin2 (cos1 cos21 sin1 sin2 )cos 1 cos 2sin1 sin2 cos( 12 )cos1 cos21.11一球面 S 的半径为5 ，球心在原点上，计算：?(er3sin)gd S 的值。S(e 3sin)gd S(e 3sin)ge d S222解d3sin5sin d75蜒 rrrSS001.12在由 r 5 、 z0 和 z4 围成的圆柱形区域，对矢量Aer r 2ez 2z 验证散度定理。解在圆柱坐标系中gA1(rr 2 )(2 z)3r2rrz425所以gA dd zd(3r2)r d r1200000又AgdS(e r 2e 2z)g(e d Se d Se d S )蜒rzrrzzSS4 2525 25dd z24r d r d12000000故有gA d1200?Agd SS1.13求（ 1）矢量 Aexx2e x2 y2e 24 x2 y2 z3 的散度；（ 2）求gA对中心在原点的yz一个单位立方体的积分； （ 3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （ 1） gA(x2 )(x2 y2 )(24 x2 y2z3 )2x 2x2 y72x2 y2 z2xyz（ 2） gA 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1 21 21 21gA d(2 x 2x2 y 72 x2 y2 z2 )d x d y dz1 21 21 224（ 3） A 对此立方体表面的积分1 21 21 21 21 21 2?Agd S( ) d ydz) d y dzS1 21 221 21 221 21 22x2 ( 1) 2 d x dz1 21 22x2 ( 1 )2 d x dz1 21 221 21 221 21 211 21 21124x2 y2 ()3 d x dy24 x2 y 2 ()3 d xd y1 21 221 21 2224- 4 -故有gA d1?Agd S24S1.14计算矢量 r对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求gr 对球体积的积分。223解蜒r ger d Sdaa sind4ar gd SSS00又在球坐标系中，gr1r(r 2r )3 ，所以r 22agr d3r 2 sind r dd4a300 01.15求矢量 Ae xex2e y2 z 沿 xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，xyz此正方形的两边分别与x 轴和 y 轴相重合。再求A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。22222解?Agd lxd xxd x2 d y0d y 8C0000exeyez又Axyzex 2 yzez 2xxx2y2 z2 2所以Agd S(ex 2 yzez 2x) gez d x d y 8S0 0故有?Agd l 8SAgd SC1.16求矢量 Aex xey xy 2 沿圆周 x2y2a2 的线积分， 再计算A 对此圆面积的积分。蜒Agd lx d xxy2 d y2a2 cos sina4 cos2sin 2a4解()dCC04AyAx )gez d Sa 2a4Agd Sez(y2 d Sr 2 sin 2r dd rxSSyS0041.17证明：（ 1）gR3 ；（2）R0 ；（ 3） ( AgR)A 。其中 R exxey y ez z ，A 为一常矢量。解 （ 1）xyzgRy3xz- 5 -exeyez（ 2）Rxyz0xyy（ 3）设 Aex Axey Ayez Az ，则 AgRAx xAy y Az z ，故( AgR)exx ( AxxAy yAzz)eyy ( Ax xAy yAz z)ez( Ax x Ay y Az z) ex Axey Ay ez Az Azf (r ) 会有什么特点呢？1.18一径向矢量场 Fe f (r ) 表示，如果gF0，那么函数r解在圆柱坐标系中，由gF1 d rf (r )0可得到r d rf (r )CC 为任意常数。r在球坐标系中，由gF1d r 2 f (r )0r 2d r可得到f (r )Cr 21.19 给 定 矢 量函 数 Eex yeyx ， 试 求从 点 P1 (2,1,E gd l ：（ 1）沿抛物线 x y2；（ 2）沿连接该两点的直线。这个解 （ 1） E gd lEx d x Ey d yyd x x d yCCC22y d(2 y2 )2 y2 d y6y2 d y 14111) 到 点 P2 (8, 2, 1) 的 线 积 分E 是保守场吗？（ 2）连接点P (2,1, 1)到点P (8, 2,1)直线方程为12x2x8即x6 y 40y1y222故E gd lEx d xEy d yyd(6 y4)(6 y4)d y(12y 4)d y 14CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数x2 yz 的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex3ey4ez5 定出；求(2,3,1) 点的方向导数值。505050解222exx ( x yz)eyy (x yz)ezz (x yz)ex 2xyzey x2 zezx2 y- 6 -z故沿方向 el ex345eyez50的方向导数为5050rrgel6xyz4x2 z5x2 yzl505050r点 (2,3,1) 处沿 el 的方向导数值为z361660112oyl505050501.21试 采 用 与 推 导 直 角 坐 标 中xgAAxAyAz相似的方法推导圆柱坐标下的公式题 1.21 图xyzgA1(rAr )AAz。rr rz解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21 图所示。矢量场A 沿 er 方向穿出该六面体的表面的通量为zzz zrAr r r ( rr )d r dArr r d r dzz(rr )Ar(rr , z)rAr (r , z)z(rAr ) rz1(rA r )rrr同理rrz zrrzzAd r d zAd r d zrzrz A (r , z)A (r , z)rzArzArrrrrzAz z z r d r dAz z r d r drr Az( r, zz) Az (r , z)rrzAz rrzAzA 穿出该六面体的表面的通量为zz因此，矢量场 r z 1(rAr)AAz rrrz故得到圆柱坐标下的散度表达式Alim1(rAr )AAzrrrz01.22方程 ux2y2z2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。222abc2x2 y2z解由于uex a2ey b2ez c2- 7 -x2y2z2u 2 (2 )(2 )(2 )abc故椭球表面上任意点的单位法向矢量为uxynu(ex a2ey b21.23 现有三个矢量A 、 B 、 C 为Aer sincoszez c2 )e cosx2y 2z 2(a2 )(b2 )(c2 )cose sinBer z2 sine z2 cosez 2rz sinCex (3y22x)ey x2ez 2z（ 1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（ 2）求出这些矢量的源分布。解（ 1）在球坐标系中gA1(r 2 Ar )1(sinA )1Ar 2rr sinr sin1(r 2 sincos)1(sincoscos )1( sin )r 2rr sinr sin2coscos2sin coscos0sinr sinrr sinrerr er sineA12 sinrrArrAr sinAerr er sine10r 2 sinrsin cosr coscosr sinsin故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中11BBzgB =(rB r )zrrr1(rz 2 sin)1( z2 cos )(2rz sin )r rrzz2 sinz2 sin2r sin2r sinrr- 8 -err eezerr eez110BrzrrzrBrrBBzz2 sinrz 2 cos2rz sin故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中CxCyCzgC =yzx(3 y22x)( x2 )(2 z)0xyzexeyezCxyzez(2 x6 y)3 y22xx22z故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。（ 2）这些矢量的源分布为gA 0 ，A0 ；gB = 2r sin，B0 ；gC 0，Ce (2 x6 y)z1.24利用直角坐标，证明g( fA)fgAAg f解在直角坐标中f gA Ag ff (AxAyAz) ( AxfAyffxyzxAz)yz( fAxAxfAyAyfAzAzfx) ( fy) ( f)xyzz( fAx )y( fAy )( fAz )g( fA)xz1.25证明g( AH )H gAAgH解根据 算子的微分运算性质，有g( A H )A g( A H )H g(A H )式中A 表示只对矢量A 作微分运算，H 表示只对矢量H 作微分运算。由 ag(b c) cg(a b) ，可得A g( A H ) H g( AA) H g(A)同理H g( AH )Ag(HH )Ag(H )故有g( A H ) H g A Ag H1.26利用直角坐标，证明- 9 -( fG)fGfG解在直角坐标中fGf ex (GzG yGxGzGyGx)y) ey (x) ez (xyzzf Gex (GzfGyf ) ey (GxfGzf ) ez (G yfGxf )yzzxxy所以fGf G ex( GzffGz ) (GyffGy )yyzzey(GxffGx ) (GzffGz )zzxxez(G yffGy) (GxffGx)xxyyex ( fGz )( fG y ) ey ( fGx )( fGz )yzzxez( fGy )( fGx )( fG )xy( u) 0 及1.27 利 用 散 度 定 理 及 斯 托 克 斯 定 理 可 以 在 更 普 遍 的 意 义 下 证 明g(A)0 ，试证明之。解 （ 1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有(u)gd S蜒ugd lu d l?d u0SCClC由于曲面 S 是任意的，故有(u)0（ 2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积，由散度定理有g(A)d?(A)gd S(A)gd S(A)gd SSSS12其中 S1 和 S2 如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有(A)gd S?Agd l ，(A)gd S?Agd lS1C1S2C2由题 1.27 图可知 C1 和 C2 是方向相反的同一回路，则有蜒Agd lAgd l蜒蜒C1C2g(A)dAgd lAgd l0所以得到Agd lAgd lC1C2C2C2由于体积是任意的，故有g(A)0n1C2S1S2C1- 10 -n2题 1.27 图二章习题解答2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为44 3x2 3 ，式中阴极板位于9 0U 0 dx 0 ，阳极板位于 xd ，极间电压为 U 0 。如果 U 040 V 、 d1cm 、横截面 S10cm 2 ，求：
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