《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰第五章课后习题答案

第五章 范数、序列、级数（详解）5-1 解：需要验证给出的公式满足矩阵范数的四个性质。非负性与齐次性容易验证，先证三角不等式。若，则最后证矩阵乘法的相容性。若，则因此所给计算公式的确是矩阵范数。5-2 解：因为根据不等式于是5-3 解：取，设，则范数是矩阵理论的一个重要概念，在许多方面有广泛应用。5-4 解：，故发散。的特征值，故收敛，且。由于，故收敛，且由于，收敛，且5-5 解：由于,所以有三个不同特征值。且可以相似对角化，即存在可逆矩阵，使得，于是5-6 解：由于，所以有三个特征值。又为实对称矩阵，于是一定存在可逆矩阵使得显然。那么从而5-7 解：因为级数的收敛半径为1，而，故矩阵幂级数绝对收敛。5-8 解：因。故。由定理知所求矩阵幂级数的和是。因此于是5-9 解：首先求得，即有两个特征值于是的谱半径。而幂级数的收敛半径，所以只能用定义来验证其敛散性。求出矩阵的标准形及可逆矩阵且使得，对于矩阵幂级数 容易看出上式右端只有数项级数是发散的，尽管其余位置的数项级数收敛，也导致此矩阵幂级数发散。对于矩阵幂级数由于幂级数，其收敛半径为。只能用定义来判断，即容易看出上面的矩阵序列中四个位置元素所构成的数项级数均收敛，从而矩阵幂级数也收敛。5-10 解：（1）根据题意得由于数项级数收敛，发散，故此矩阵幂级数发散。（2）根据题意得由于数项级数，都收敛，故此矩阵幂级数收敛（不是绝对收敛）。（3）根据题意的由于数项级数发散。故此矩阵幂级数发散。（4）根据题意得 由于数项级数，都收敛，故此矩阵幂级数收敛（不是绝对收敛）。5-11 解：（1）幂级数的收敛半径，又。所以的特征值为，从而的谱半径。于是矩阵幂级数收敛。（2）由于。所以，从而所以5-12 证明：有定义可知5-13 证明：有定义可知5-14 5-155-165-175-185-19 5-20 5-21 5-229