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I第六章振动和波6-1用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线0C通过圆盘质心, 圆盘呈水平状态，这个装置称扭摆，使圆盘转过一个角度时，金属 线受到扭转，从而产生一个扭转的回复力矩若扭转角度很小，扭 转力矩与扭转角度成正比:m二ke.求扭摆的振动周期.解：由转动方程2兀T = （0补充6. 1 质量为m细杆状米尺，将其一端悬挂起来，轴处摩擦 不计，求其振动周期.解：复摆（物理摆）小角度振动时方程为： meh吨h sinG 吨he = IG/. G +0 = 0M = k6 = 10,0 + 0 = 0,g)2亠啤丄2,I31 2kIh = ，T = = 2兀=1.64(S) mgh1补充62有一立方形的木块浮于静水中，静止时浸入水中的那部 分深度为a若用力稍稍压下,使其浸入水中深度为b,如图所示，然后放手，任其作自由振动，求其振动的周期和振幅.解:浮力与重力相等处于平衡状态有:pgas= mg = m = pasmg pg(a 4- x)s = mxp旷s+曲=0.心=空m a6-2质量为1. 0x10-3千克的质点，作简谐振动，其振幅为2. 0x107米，质点在离平衡位置最远处的加速度为8. 0 X103米/秒.（1）试计 算质点的振动频率；（2）质点通过平衡位置的速度；（3）质点位移 为1.2 0x10-4米时的速度；写出作用在这质点上的力作为位置的函数合作为时间的函数.解： v x = -A2 cos (cot + p)xmax = A(o2.X72(1) a (O = = 4.0x10 v = 1.0x10 (HZ)A2k(2) x = -Aa)sin(ot +(p)过平衡点时：x = Ao)= 1.3(m - s_1)(3) x = Acos(cot 4- p) = lQxloUm)x 3 cos(oot + (p)=一A 5x = Asinot + (/1 cos2 (cot + cp) = 1.0(ms_1)(4) F = -kx= -m(o2x = -4.0xl04x(N)F = mco2A cos (oot + p) = 8.0 cos 3 x 10? t + 0取正号,vvo取负号)(4)振动表达式.X=0.02cos(10t-0.46)(m)IIII补充6. 3不计质量，自然长度为1的弹簧，两端分别系上质量为叫 和叫的质点，放在光滑的水平桌面上，开始时两手持叫和吐把弹簧 拉长至1,停止不动，然后两手同时放开，试问这系统如何运动？ 解:无外力整个过程质心不动，t时刻叫rUvvTW-ri和叫位置弈别为X X2故有：rrJixx +x2 =x-k(x-l) = m1x1nij +m2、 nijXj = m2x2 x =X Axt + Ax2 = Ax = l -1m? 、-(1 -1)最大位移：m?Ax2=-(1 _1)Hi +m2nijAXj = m2Ax2 AXj =nij +m2.k(x 1)=x = |xxni +m224co =此系统作振幅为A,圆频率为3的简振动.6-4只鸟落在树枝上每4秒摆动6次，鸟飞走后，用一千克祛码系在 鸟呆过地方树枝弯下12厘米，问这只鸟的质量是多少？解:树技与乌组成一个谐振子ms,-=27l=9.42(rad)m = y = 0.92(kg)3k = 81.66(kg/m)(0 =Vm TII6-5如图所示,有一弹簧振子，弹簧的倔强系数为k,振子的质量为 开始时处于静止平衡状态，有一发质量为m的子弹以速度V。沿弹 簧方向飞来,击中振子并卡在其中，试以击中为时间零点,写出此 系统的振动表达式.解:碰撞时动量守恒，碰后机械能守恒可列方程:mv0 = (m + m)v1 21 kA =(m + m)v2 2A_ mVoJk(m + mj(0 =9=2k-AA/WWmmuVo/1Z0xx = Acos(at+(p)=I k!COS(G) =Jk(m + mjmvo71t + )2补充6. 4图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，以 知圆柱体的质量为m,半径为水，弹簧的倔强系数为并且弹簧 是系于圆柱体的中心旋转对称轴上试求这一振动系统的频率。解：设平衡点为弹簧原长时，又 弹簧质量不计，对圆柱体在运动 中受力有：-kxc-f = mic1 ?1少=(mR )0 = mR 2 2 R2k.肝=兰3m2k 3mIIII6-6如图弹簧的倔强系数为定滑轮的质量为皿,半径为R,转动 惯量为人物体的质量为叭轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不 计，绳与滑轮间无相对滑动，（1）试求这一振动系统的振动频率，（2） 如果在弹簧处于原长时由静止释放物体m, m向下具有最大速度时 开始计时，并令也向下运动为册正坐标,试写出廉动表达式。解：（1）设弹簧原长lo平衡时伸长Xo kx二mg以Xo伸长时m所在点为坐标原点，运动中，有:联立可得:T-k(x + x0)R = Ipn-T = mx 又云=Rp2 “.(0 =I(m + 飞)R2)xRI (m + 飞) f = 2兀/2II（2）以弹簧原长时释放mgmgx0 =, A =It(p =222二振动表达式为X 心 cosI m +卞 卜RJ92补充6. 5在LC电路中，电容极板上的电量若为q,此时电容器储有 电能q2/2c,通过电感电流为i,此时电感储有磁能Li2/2, i=dq/dt,且q2/2c+ Li2/2=常量，试求LC电路的固有振荡频率.解：3+G=c2 c 22 c 2 dtq dqc dtdq d2qdt dt2求：（1）用a和b表示平衡位置；（2）证明其振动圆频猛= 解：（1）保守力平衡点匸0补充6. 6假定有两个质量均为m离子,它们之间的势能为:e =上_?P 5 r r8b（ b 严 m 5a（2）作微振动f可写成dE5abdrrrmf = _k(r _ q ) = |LLr(jLi =)将f作一级近似：m1 -f-m22f (rn)30a 2bf(r) = f(r0) + 一 -) = 0 + (-)-)1!c、30a 2b6-7质量1. 0x10-2千克的小球与轻质弹簧组成的振动系统按|=x = 5x 103cos（87tt + ）的规律振动，式中各量均为SI单位。3求（1）振动的圆频率、周期、振幅和初始相位；（2）振动的速度 和加速度（函数式）;振动的总能量E振动的平均动能和平 均势能；（5）t二1.0秒、10秒等时刻的相位。x = Acoa)t +(p)解x = 0.5cos(87it + )与振动表达式37C(p =3比较便直接可得：A = 0.5(cm)，co = 8兀2n 1T = =(s) co 4 7C(2) x = 47isin(87ct + ) (cm-s )3x = 32n2cos(8Kt + ) (cm s- )3(3) E = -KA2 = im(D2A2 =8x106k2(J)2 2(4) =iKA2=im(o2A2 =4x106k2(J)p 446-8在阻尼振动中,量俨1/6叫做弛豫时间证明I的量纲是时间；(2) 经过时间丫后，这振子的振幅变为多少？能量最大值变为多少?(3) 把振幅减到初值的一半所需的时间(用I表示)；当经过的时间为(3)的2倍,3倍时,求振幅的值.鯉 r 1 r 112m 12m 12mv kg.m.s_1kg.m.s-2vT=LiJ=LVj=L?77J =A = A0e-8t= ALt=T=A()e 1 = O.368Aot=TA = Ae 5t = O.5Aoln2=t1h25A = Aoe *=Aoe-21n2A。t=3pln2t=2rln2-31n2 A= Aoe =1632t=3pln2解：固有振动周期等于强迫力周期时发生共振6-9火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接轨处即受一次震动， 使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12. 5米，弹簧 平均负重5. 5吨，而弹簧每受10吨力将压缩16毫米。试问，火 车速度多大时，振动特别强？mog = kxo k=m()g/xoT固此时火车恰好走一节铁轨=2兀111磴=0.595(s)12.5-v = 21(m s ) = 75.6(km h )0.5956-10己知两个同方向的谐1振动为3斗=0.05 cos （10r + 兀） 兀2 = 0.06 cos（ior + ）55（1）求它们合振动的振幅和初始相位；（2）另有一个同方向的简 谐振动问9为何值时，X1+ x2的振幅为最大？ 9为何值时 X2+ x3的振幅为最小？（各量皆用SI单位）14解： A = Jo.052 +0.062 +2x0.05x0.06cos(-k-) =0.0892(m)V553兀0.05 sin一 兀 + 0.06 sin ,55cp = arc tan3兀53(2) A最大时Ap = 2k7t(取0)即p =兀p =兀(或71)50.05 cos 一 7C + O.Oocos 5A最小时 A(p =64(p = _ 7C(或_ 7T)556-11 一质点同时受两个同频率和同方向简谐振动的作用，它们的 运动方程分别为xl. OX 102cos(2t+TT/4)和X?二0. 6X10_2cos (2t+21T /3),试写出质点的运动方程。解：仍是谐振动 X = Acos(3t + = A cos co(t )+ (p + x0)-vLvv .其中兀p = -6-13沿很长弦线行进的横波波函数为y=6. 0xl0_2sin(0. 02jtx+4. 0 nt) (m)式中各量均为国际单位。试求振幅、波长、频率、波速、波的 传播方向和弦线上质元的最大横向振动速率0解： y = 6.0sin(0.020H；x + 4.07ct) = 60311140兀(1 + -)200A = 60cm9(o = 407i: v = 200cm-s_1cov18v = = 2 Hz 入=100cmvX点比原点位相超前0.020txv与X反向Xy = 60 x 40 兀 cos4.0兀(t )200vm = 6.0 x 4.0k = 24k(c m s-1)6-14如图曲线(a)和分别表示t二0和t二20秒的某一平面间 谐波的波形图。写出此平面简i皆波的表达式解：从曲线可以看出A二2,九二2,用余弦函数表示时0 = 0/. vt = 2v = 0.5 + kX = 0.5 + 2k从曲线(a) f (b)t=2sk =2k v1CO = 7t(k + )X4X3= Xv = X 2兀波函数为 y = 2cos兀(k + -)(t- ) = 2cosbi(k + -)t-tcx4 f 14k + 气补充6. 8设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐横波曲线如图所示，试分别说明图中A、B、C、D等各点在该时刻的振动方向,并作出T/4前和T/4后的波形图补充6. 9已知一列波速为V，沿X正向传播的波在t二0时的遮形曲 线如图，画出图中A, B, C, D各点在第一周期内的振动曲线。ea解：A点，t二0时，y二-A振动表达式y = A cos （cot + 兀）B点,t=0时,y（）二0,并且0见图）兀. y = ACOS+ ）2AnC 点 y（）= _，Vo 9=-23A 点t ）y06-15在直径为14厘米的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为9. 0 %10-3瓦/米频率二300赫兹，波速V二300米/秒.求最大能量密度和平均能量度；（2）相邻两同相位波面间（即相位差位2k的两波面间）的总能量.解：I =wv，= -WmW=丄=9xl- = 3 X1O_5(J m-3)v 300wm =2 = 6xl0_j-m3) (2)E = (wXS = -S = 3x 10-5-n(0.14)2 =4.6x107 (J)v300 422位移波函数为补充610声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波中的压强（即力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的2兀、y = A cos I入x （ot 丿时，对应与压力变化的波函数为P是相对与未扰动时的压力Po的压强变化值,Po是介质的体密度。（1）人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化Pm约为28牛 顿咪2 （正常的大气压强约为l.OxlO5牛顿/米2）,若这一强声波的 频率为1000赫兹，试求这声波所对应的最大位移。（2）在频率为1000赫兹的声波中，可以听得出最微弱的声音的压强振幅约为2.0x10-5牛顿/米2,试求相应的位移振幅，设 p0=1.29千克/米2, v=321 米/秒。23解:(1)最大位移:(2)最小位移Pm=3P()AvA = 1.04xl0_5(m)3pv 2ttvrvA =上= Pm = 7.45xl012(m) Pov 2胪6-16无线电波以3.0X10咪/秒的速度传播，有一无线电波的波源功率为50千瓦，假设该波源在各向同性介质中发射球面波, 求离波源200公里远处无线电波的能量密度o 解： T =v50 x IO?4兀(200xlO3)2 x3xl08= 3.3xlO16(J.m)补充6. 11如图所示，设B点发出的平面横波在B点的振动表达式 为=2xl0-3cos27rt沿 齐方向传播；C点发出的平面横波在C点 的振动表达式为=2xl0_3COS(27Ct+ 7C)沿 左方向传就 两式 中各量均为SI单位,设齐二0. 40米，=0. 50米波速为02米/ 秒，求(1)两列波传到P处时的相位差；(2)如果这两列波的 振动方向相同，求P点的合成振幅；(3)如果这两列波的振动方 向垂直，则合成振动的振幅如何？P解：(1) V是两同频率的波A(p = (p2- A =2x2x10 3= 4xl03(3) 如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动，A2 = A： + A； = A = 2x V2 x 10 (m)6.17如图表示一个声学干涉仪，它是用来演示声波的干涉，S是电磁铁作用下的振动膜片，D是声波探测器，例如耳朵或者传声器, 路程SBD的长度可以改变，但路程SAD却是固定的，干涉仪内充有 空气，实验中发现，当B在某一位置时，声强有最小值（100单位）， 而从这个位置向后拉1.65厘米到第二个位置时声强就渐渐上升到最 大值（900单位）。试求（1）由声源发出的声波的频率以及（2） 当B在上述两个位置时到达探测器的两个波的相对振幅和（3）到达吕DD处时二路声波的分振幅之比，声速340米/秒。解法一:极大为波腹，极小为波节，相 邻波腹波节问距：九_2-2=1.65x10=X = 6.60x10 _（m）4解法二:D处干涉极大，极小取决干波程差，相邻板大极小仅差半个波长-故有:入_ = = 2x1.65x10= 入=6.6OxlO-2 (m)266-18在同一媒质中的两个相干波源位于AB两点，其振动方向 相同，振幅皆为5厘米，频率皆为100赫兹，但A点为波峰时，B 点适为波谷，且在此媒质中波速为10米/秒。设AB相距20米，经 过A点作一条垂线，在此垂线上取一点P, AP二15米，（1）试分别 写出P点处两波在该点的振动表达式（2）求两波在P点的相位差 .（3）写出干涉后的振动表达式（波动中振幅不变）A_215解：（l）yAP =5x10 cos27ixl00（t ）PA510=5 xlO2 cos200n;tryBP = A cos fco(t - ) - 7C V=5 x 10-2 cosOQct 冗)(2)A(p =兀(或兀)(3闭3消干涉A = 0 /.y = 027解： 3m = 3x （2）若为理想驻波 驻波端点为节点，x=0, 设入射波波函数为则反射波波函数为2兀6-19在一个两端固定的3. 0米长的弦上有3个波腹的“驻波”， 其振幅为1.0厘米，弦上波速为100米/秒.（1）试计算频率；（2）若视为入.反射波叠加的，理想驻波写出产生此驻波的两个波的表 达式。_ X2 =50(Hz)A = 2A1 =1.0xl02(m) t2兀表达式为=2Ai sinotsinx2兀入y】=Aj cosfcot x) X2兀 y7 = A cos foot (21 x) + 7i 3入2冗=Ax cos (cot + 2x 入 + 兀)=_A cos(oot +x)显然2兀人y = yx+y2 =2A】si sinottart2九_228即 y=0.5xl(T cos(100nt 7tx)y2 = 0.5x10 cos(100n;t+ kx)6-20如图所示,s是一个由音频振荡和放大器的小喇叭，音频振荡 器的频率可调范围10002000赫兹,D是一段用金属薄板卷成的圆 性 长内45厘米.若所处温度下声速340米/秒，当喇叭发出频率 从1000连续变到2000赫兹时哪些频率会发生共鸣？(2)试画出各 次共鸣时管的位移波节,波腹图(忽略末端效应) 解:形成驻波园管两端(开口)为波腹入V V(1) 1 = , Vj = = = 377.8(Hz)2 21(2) 1 =v7 = = = 755 5(Hz)九 1sv v一 = 1133(Hz)入 321/3v v一 = 1889(Hz)入 21/5(1) (2)(3)(4)1 = 2X4,v4 =(4)V= 1511(Hz)d 1/2v v(6)1 = 3X6,v6 = 一 =2267( Hz)心I(3)，(4)，(5)频率会发生共鸣6-21提琴弦长50厘米，两端固定，当不按手指演奏时发出的声音是A调（440Hz）,试问要奏C调（528Hz）,手指应该按在什么位置.解：提琴弦两端固定，谐振时,基调 1 = = 44GHzyu2两端必为波节=528Hz，叼 变V = Xv = 21v = 440(m s1)v 4401 =0.4167m)2v 2x52840406-22蝙蝠在洞穴中飞来飞去,利用超声脉冲导航非常有效（这种 超声脉冲是持续1毫秒或不到1毫秒的短促发射，并且每秒重复发 射几次）.假设蝙蝠所发超声频率为39赫兹,在朝着表面平直的墙 壁飞扑的期间，它的运动速率为空气声速的1/40,试问他听到的从 墙壁反射回来的脉冲波频率是多少？解：蝙蝠以卩向墙飞扑，被墙反射回来的声音相当于声源以勺向 运动商多普筋薮应扁声音:V二V V-/（v-Vj）此声音又被以叫运动的蝙蝠接收，其频率为：Vv+ V1V + V,2 = 5 = VVV VjV H x 39x10“ = 41000（Hz）30VV40
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