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精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2018.1第第卷卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合，则 |03Axx | 12Bxx AB （A） | 13xx （B） | 10 xx （C） |02xx（D） |23xx2在复平面内，复数对应的点的坐标为2i1i（A）(1,1)（B）( 1,1)（C）( 1, 1)（D）(1, 1)3下列函数中，在区间上单调递增的是(0,)（A）1yx （B）2(1)yx（C）sinyx（D）12yx4执行如图所示的程序框图，输出的值为S（A）2（B）6（C）30（D）2705若，则有122loglog2ab（A）2ab（B）2ba（C）4ab（D）4ba6一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（A）三棱锥（B）三棱柱（C）四棱锥（D）四棱柱7函数的图象记为曲线 C则“”是“曲线 C 关于直线( )sin()f xx(0)()ff2x 对称”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8已知，是函数的图象上的相异两点若点，到直线的距离相等，AB2xy AB12y 则点，的横坐标之和的取值范围是AB（A）(, 1) （B）(,2) （C）(, 3) （D）(,4) 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第第卷卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9若函数是偶函数，则实数_ ( )()f xx xbb 10已知双曲线的一个焦点是，其渐近线方程为，该双曲线的22221xyab(2,0)F3yx 方程是_ 11向量在正方形格中的位置如图所示 如果小正方形格, a b的边长为 1，那么_ a b12在中，的面积为，则_；_ ABC3a 3CABC3 34b c 13已知点的坐标满足条件 设为原点，则的最小值是( , )M x y10,10,10.xxyxyOOM_14已知函数 若，则的值域是_；若的值2,2,( )1,3.xxxcf xcxx0c ( )f x( )f x域是，则实数 的取值范围是_1,24c精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数2( )2sincos(2)3f xxx（）求的最小正周期；( )f x（）求证：当时，0,2x1( )2f x16 （本小题满分 13 分）已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项na1326a 1a3a（）求的通项公式；na（）设数列的前项之积为，求的最大值nannTnT17 （本小题满分 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为 A，B 两类（评定标准见表 1） 根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了名学生的得分数据，其中等级为的学生100001A中有是男生，等级为的学生中有一半是女生等级为和的学生统称为类学生，40%2A1A2AA等级为和的学生统称为类学生整理这名学生的得分数据，得到如图 2 所示1B2BB10000的频率分布直方图表 1 图 2（）已知该市高中学生共万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；20A类别得分( )x1B8090 xB2B7080 x 1A5070 x A2A2050 x 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（）某 5 人得分分别为从这 5 人中随机选取 2 人组成甲组，另外 3 人组45,50,55,75,85成乙组，求“甲、乙两组各有 1 名类学生”的概率；B（）在这名学生中，男生占总数的比例为，类女生占女生总数的比例为， 1000051%B1k类男生占男生总数的比例为判断与的大小 （只需写出结论）B2k1k2k18 （本小题满分 14 分）如图，在三棱柱中，平面，.过的平面交111ABCA B CAB 11AAC C1AAAC1AA于点，交于点.11B CEBCF（）求证：平面；1AC 1ABC（）求证：；1/A AEF（）记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求11BAA EF1V111ABCA B CV116VV 的值.BFBC19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆过，两点2222:1(0)xyCabab(2, 0)A(0,1)B（）求椭圆的方程及离心率；C（）设点在椭圆上试问直线上是否存在点，使得四边形是平QC40 xyPPAQB行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由P20 （本小题满分 13 分）已知函数 2( )ln2f xxxx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（）求曲线在点处的切线方程；( )yf x(1, (1)f（）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为0(1,2)x ( )yf x00(,()xf x；(2)(1)ff（）比较与的大小，并加以证明(1.01)f2.01北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准 2018.1一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1A 2B 3D 4C 5C 6B 7C 8B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 10 11 02213yx 412 ； 13 14；113221,)41 ,12注：第注：第 12，14 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分）解：（）因为2( )2sincos(2)3f xxx 4 分1cos2(cos2cossin2sin)33xxx 5 分33sin2cos2122xx ， 7 分3sin(2)13x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以的最小正周期 8 分( )f x22T （）因为 ，所以 10 分2x022333x所以 ， 12 分3sin(2)sin()332x 所以 13 分1( )2f x16 （本小题满分 13 分）解：（）因为 是和的等差中项，26a +1a3a所以 2 分2132(6)aaa因为数列是公比为的等比数列，na13所以 ， 41112(6)39aaa分解得 6127a 分所以 81411( )3nnnaaq分（）令，即，得， 10 分1na 41( )13n4n故正项数列的前 项大于 1，第 项等于 1，以后各项均小于 1 11 分na34所以 当，或时，取得最大值， 12 分3n 4n nT的最大值为 13 分nT34123729TTaaa17 （本小题满分 13 分）解：（）依题意得，样本中类学生所占比例为， 2B(0.020.04) 1060%精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分所以类学生所占比例为 3 分A40%因为全市高中学生共万人，20所以在该项测评中被评为类学生的人数约为 8 万人 4A分（）由表 1 得，在 5 人（记为）中，类学生有 2 人（不妨设为） , , , ,a b c d eB, b d 将他们按要求分成两组，分组的方法数为种 6 分10 依次为： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cdeac bdead bceae bcdbc adebd acebe acdcd abe 8 分(,),(,)ce abdde abc 所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为 10B63105分（） 13 分12kk18 （本小题满分 14 分）解：（） 因为 平面，所以 2AB 11AAC C1ACAB分在三棱柱中，因为 ，所以 四边形为菱形，111ABCA B C1AAAC11AAC C所以 3 分11ACAC 所以 平面 51AC 1ABC分（）在 三棱柱中， 111ABCA B C因为 ，平面， 611/A AB B1A A11BB C C分所以 平面 8 分1/A A11BB C C精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 因为 平面平面，1AA EF 11BB C CEF所以 10 分1/A AEF（）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.1BABF2V11ABFA B E3V因为三棱锥与三棱柱同底等高，1BABF11ABFA B E所以 ， 11 分2313VV所以 . 1233213VVVV 因为 ， 所以 . 12 分116VV3131624VV因为 三棱柱与三棱柱等高， 11ABFA B E111ABCA B C所以 与的面积之比为， 13 分ABFABC14所以 14 分14BFBC 19 （本小题满分 14 分）解：（）由题意得， 22a 1b 分所以椭圆的方程为 3 分C2214xy设椭圆的半焦距为 ，则 ， 4 分Cc223cab所以椭圆的离心率 5 分C32cea（）由已知，设， 6 分( ,4)P tt00(,)Q xy若是平行四边形，则 ， 8 分PAQBPAPBPQ 所以 ，00(2,4)(,3)(,4)t tt txt yt 整理得 10002, 3xtyt 分精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业将上式代入 ，220044xy得 ， 11 分22(2)4(3)4tt整理得 ，2528360tt解得 ，或 13 分185t 2t 此时 ，或经检验，符合四边形是平行四边形，18 2(, )5 5P(2,2)PPAQB所以存在 ，或满足题意 1418 2(, )5 5P(2,2)P分20 （本小题满分 13 分）解：（）函数的定义域是，2( )ln2f xxxx(0,)导函数为 1 分( )2 ln2fxxxx所以， 又，(1)1f (1)2f 所以曲线在点处的切线方程为 3 分( )yf x(1, (1)f1yx （）由已知 4 分(2)(1)4ln22ff所以只需证明方程 在区间有唯一解2 ln24ln22xxx(1,2)即方程 在区间有唯一解 5 分 2 ln4ln20 xxx(1,2)设函数 ， 6( )2 ln4ln2g xxxx分 则 ( )2ln3g xx当 时，故在区间单调递增 7 分(1,2)x( )0g x( )g x(1,2)又 ，(1)14ln20g (2)20g所以 存在唯一的，使得 80(1,2)x 0()0g x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率0(1,2)x ( )yf x00(,()xf x为 9 分(2)(1)ff（）证明如下： 10 分(1.01)2.01f 首先证明：当时，1x ( )1f xx 设 ， 11 分2( )( )(1)ln1h xf xxxxx 则 ( )2 ln1h xxxx当 时，1x 10 x 2 ln0 xx 所以 ，故在单调递增， 12 分( )0h x( )h x(1,)所以 时，有，1x ( )(1)0h xh即当 时，有1x ( )1f xx 所以 13 分(1.01)1.01 12.01f
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