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基础送分专题二基础送分专题二平面向量平面向量平面向量的基本运算平面向量的基本运算题组练透题组练透1(2018全国卷全国卷)在在ABC 中，中，AD 为为 BC 边上的中线，边上的中线，E 为为 AD 的中点，则的中点，则 EB()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC解析：解析：选选 A法一：法一：作出示意图如图所示作出示意图如图所示EB ED DB12AD12CB1212( AB AC)12( AB AC)34AB14AC.故选故选 A.法二：法二：不妨设不妨设ABC 为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形，且A2，ABAC1.建立如图所示的平面直角坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系，则则 A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D12，12 ，E14，14 .故故 AB(1,0)， AC(0,1)，EB(1,0)14，14 34，14 ，即即 EB34AB14AC.2已知平面内不共线的四点已知平面内不共线的四点 O，A，B，C 满足满足 OB13OA23OC，则，则| AB| BC|()A13B31C12D21解析：解析：选选 D由由 OB13OA23OC，得，得 OB OA2( OC OB)，即，即 AB2 BC，所以所以| AB| BC|21，故选，故选 D.3 (2018全国卷全国卷)已知向已知向量量 a a(1,2)， b b(2， 2)， c c(1， ) 若若 c c(2a ab b)， 则则_.解析：解析：2a ab b(4,2)，因为，因为 c c(2a ab b)，所以所以 42，解得，解得12.答案：答案：124(2018太原模拟太原模拟)在正方形在正方形 ABCD 中中，M，N 分别是分别是 BC，CD 的中点的中点，若若 ACAM AN，则实数，则实数_.解析：解析：如图，如图，AM ABBM AB12BC DC12BC，AN AD DN BC12DC， 由由得得 BC43AN23AM， DC43AM23AN， AC AB BC DC BC43AM23AN43AN23AM23AM23AN， ACAM AN，23，23，43.答案：答案：43题后悟通题后悟通快快审审题题1.看到看到向量的线性运算，向量的线性运算，想到想到三角形和平行四边形法则三角形和平行四边形法则2.看到看到向量平行，向量平行，想到想到向量平行的条件向量平行的条件准准解解题题记牢向量共线问题的记牢向量共线问题的 4 个结论个结论(1)若若 a a 与与 b b 不共线且不共线且a ab b，则，则0.(2)直线的向量式参数方程直线的向量式参数方程：A，P，B 三点共线三点共线 OP(1t) OAt OB(O 为平面为平面内任一点，内任一点，tR R).(3) OA OB OC(，为实数为实数)，若，若 A，B，C 三点共线，则三点共线，则1.(4)若若 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则则 a ab bx1y2x2y1，当且仅当当且仅当 x2y20 时时，a ab bx1x2y1y2.平面向量的数量积平面向量的数量积题组练透题组练透1(2018全国卷全国卷)已知向量已知向量 a a，b b 满足满足|a a|1，a ab b1，则，则 a a(2a ab b)()A4B3C2D0解析：解析：选选 Ba a(2a ab b)2a a2a ab b2|a a|2a ab b.|a a|1，a ab b1，原式原式21213.2已知向量已知向量 mm(t1,1)，n n(t2,2)，若，若(mmn n)(mmn n)，则，则 t()A0B3C3D1解析：解析：选选 B法一：法一：由由(mmn n)(mmn n)可得可得(mmn n)(mmn n)0，即即 mm2n n2，故，故(t1)21(t2)24，解得，解得 t3.法二：法二：mmn n(2t3,3)，mmn n(1，1)，(mmn n)(mmn n)，(2t3)30，解得，解得 t3.3在在ABC 中中，ABC90 ，AB6，点点 D 在边在边 AC 上上，且且 2 AD DC，则则 BA BD的值是的值是()A48B24C12D6解析解析：选选 B法一法一：由题意得由题意得， BA BC0， BA CA BA( BA BC) | BA|2 36 ， BA BD BA( BC CD) BABC23CA0233624.法二：法二：(特例法特例法)若若ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则则 A(6,0)，C(0,6)由由 2 AD DC，得，得 D(4,2) BA BD(6,0)(4,2)24.4.(2018贵阳摸底考试贵阳摸底考试)如图如图， 在边长为在边长为 1 的正方形组成的网格中的正方形组成的网格中，平行四边形平行四边形 ABCD 的顶点的顶点 D 被阴影遮住，找出被阴影遮住，找出 D 点的位置，则点的位置，则 AB AD的值为的值为()A10B11C12D13解析：解析：选选 B以点以点 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形根据四边形 ABCD 为平行四边形为平行四边形，可可以得到以得到 D(2,3)，所以，所以 AB AD(4,1)(2,3)8311.故选故选 B.5(2019 届高三届高三益阳、湘潭调研益阳、湘潭调研)已知非零向量已知非零向量 a a，b b 满足满足 a ab b0，|a ab b|t|a a|，若，若 a ab b 与与 a ab b 的夹角为的夹角为3，则，则 t 的值为的值为_解析：解析：因为因为 a ab b0，所以，所以(a ab b)2(a ab b)2，即，即|a ab b|a ab b|.又又|a ab b|t|a a|，所以，所以|a ab b|a ab b|t|a a|.因为因为 a ab b 与与 a ab b 的夹角为的夹角为3，所以所以 ab ab |ab|ab|cos3，整理得整理得|a|2|b|2t2|a|212，即，即(2t2)|a a|22|b b|2.又又|a ab b|t|a a|，平方得，平方得|a a|2|b b|2t2|a a|2，所以，所以|a a|2 2t2 |a|22t2|a a|2，解得解得 t243.因为因为 t0，所以，所以 t2 33.答案：答案：2 336在矩形在矩形 ABCD 中中，AB2，AD1.边边 DC 上的动点上的动点 P(包含点包含点 D，C)与与 CB 延长线上延长线上的动点的动点 Q Q(包含点包含点 B)满足满足| DP| BQ Q|，则，则 PA PQ Q的最小值为的最小值为_解析解析：以点以点 A 为坐标原点为坐标原点，分别以分别以 AB，AD 所在直线为所在直线为 x 轴轴，y 轴轴建立如图所示的平面直角坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系，设设 P(x,1)，Q Q(2，y)，由题意知由题意知 0 x2，2y0.| DP| BQ Q|，|x|y|，xy. PA(x，1)， PQ Q(2x，y1)， PA PQ Qx(2x)(y1)x22xy1x2x1x12234，当当 x12时，时， PA PQ Q取得最小值，为取得最小值，为34.答案：答案：34题后悟通题后悟通快快审审题题1.看到看到向量垂直，向量垂直，想到想到其数量积为零其数量积为零2.看到看到向量的模与夹角，向量的模与夹角，想到想到向量数量积的有关性质和公式向量数量积的有关性质和公式3.看到看到向量中的最值问题时向量中的最值问题时，想到想到向量不等式向量不等式、几何意义几何意义，甚至建立坐标系构造函数关甚至建立坐标系构造函数关系求最值系求最值用用妙妙法法特例法妙解图形中平面向量数量积问题特例法妙解图形中平面向量数量积问题解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解( (如第如第 3 3 题可取题可取ABCABC为等腰直角三角为等腰直角三角形建系形建系) )避避误误区区两个向量夹角的范围是两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是能是 0 或或的情况的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零不仅要求其数量积小于零，还要还要求不能反向共线求不能反向共线.专题过关检测专题过关检测一、选择题一、选择题1设设 a a(1,2)，b b(1,1)，c ca akb b.若若 b bc c，则实数，则实数 k 的值等于的值等于()A32B53C.53D.32解析：解析：选选 A因为因为 c ca akb b(1k,2k)，又又 b bc c，所以，所以 1(1k)1(2k)0，解得，解得 k32.2已知向量已知向量 a a(1,1)，2a ab b(4,2)，则向量，则向量 a a，b b 的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为()A.3 1010B3 1010C.22D22解析解析：选选 C因为向量因为向量 a a(1,1)，2a ab b(4,2)，所以所以 b b(2,0)，则向量则向量 a a，b b 的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为12102222.3已知在平面直角坐标系中，点已知在平面直角坐标系中，点 A(0,1)，向量，向量 AB(4，3)， BC(7，4)，则点则点 C 的坐标为的坐标为()A(11,8)B(3,2)C(11，6)D(3,0)解析：解析：选选 C设设 C(x，y)，在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点 A(0,1)，向量，向量 AB(4，3)，BC(7，4)， AC AB BC(11，7)，x011，y17，解得解得 x11，y6，故，故 C(11，6)4在等腰梯形在等腰梯形 ABCD 中，中， AB2 CD，M 为为 BC 的中点，则的中点，则AM()A.12AB12ADB.34AB12ADC.34AB14ADD.12AB34AD解析解析： 选选B因为因为 AB2 CD， 所以所以 AB2 DC.又又M是是BC的中点的中点， 所以所以AM12( AB AC)12( AB AD DC)12AB AD12AB34AB12AD.5(2019 届高三届高三武汉调研武汉调研)设非零向量设非零向量 a a，b b 满足满足|2a ab b|2a ab b|，则，则()Aa ab bB|2a a|b b|Ca ab bD|a a|b b|解析解析： 选选 A法一法一： |2a ab b|2a ab b|， (2a ab b)2(2a ab b)2， 化简化简得得 a ab b0，a ab b，故选，故选 A.法二法二：记记 c c2a a，则由则由|2a ab b|2a ab b|得得|c cb b|c cb b|，由平行四边形法则知由平行四边形法则知，以向以向量量c c，b b 为邻边的平行四边形的对角线相等，为邻边的平行四边形的对角线相等，该四边形为矩形，故该四边形为矩形，故 c cb b，即，即 a ab b，故选，故选 A.6已知已知 AB(2,1)，点，点 C(1,0)，D(4,5)，则向量，则向量 AB在在 CD方向上的投影为方向上的投影为()A3 22B3 5C.3 22D3 5解析解析：选选 C因为点因为点 C(1,0)，D(4,5)，所以所以 CD(5,5)，又又 AB(2,1)，所以向量所以向量 AB在在 CD方向上的投影为方向上的投影为| AB|cos AB， CDAB CD| CD|155 23 22.7已知已知 a a 和和 b b 是非零向量是非零向量，mma atb b(tR R)，若若|a a|1，|b b|2，当且仅当当且仅当 t14时时，|mm|取得最小值，则向量取得最小值，则向量 a a，b b 的夹角的夹角为为()A.6B.3C.23D.56解析：解析：选选 C由由 mma atb b，及，及|a a|1，|b b|2，得，得|mm|2(a atb b)24t24tcos 1(2tcos )2sin2，由题意得，当，由题意得，当 t14时，时，cos 12，则向量，则向量 a a，b b 的夹角的夹角为为23，故选，故选 C.8在在ABC 中，中，| AB AC| AB AC|，AB2，AC1，E，F 为为 BC 的三等分的三等分点，则点，则 AE AF()A.89B.109C.259D.269解析解析： 选选 B由由| AB AC| AB AC|知知 AB AC， 以以 A 为坐标原点为坐标原点， AB，AC的的方向分别为方向分别为 x 轴、轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨，不妨设设E43，13 ，F23，23 ，则，则 AE AF43，13 23，23 8929109.9已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xOy 中中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量三点共线且向量OP3与向量与向量 a a(1，1)共线，若共线，若OP3OP1(1) OP2，则，则()A3B3C1D1解析：解析：选选 D设设OP3(x，y)，则由，则由OP3a a，知，知 xy0，于是，于是OP3(x，x)若若OP3OP1(1)OP2，则有，则有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即即41x，32x，所以所以 41320，解得，解得1.10(2018兰州诊断考试兰州诊断考试)在在ABC 中，中，M 是是 BC 的中点，的中点，AM1，点，点 P 在在 AM 上且满上且满足足 AP2PM，则，则 PA( PB PC)等于等于()A49B43C.43D.49解析：解析：选选 A如图，如图， AP2PM， AP PB PC， PA( PB PC) PA2，AM1 且且 AP2PM，| PA|23， PA( PB PC)49.11(2019 届高三届高三南宁摸底联考南宁摸底联考)已知已知 O 是是ABC 内一点，内一点， OA OB OC0，AB AC2 且且BAC60 ，则，则OBC 的面积为的面积为()A.33B. 3C.32D.23解析：解析：选选 A OA OB OC0，O 是是ABC 的重心，于是的重心，于是 SOBC13SABC. AB AC2，| AB| AC|cosBAC2，BAC60 ，| AB| AC|4.SABC12| AB| AC|sinBAC 3，OBC 的面积为的面积为33.12(2018南昌调研南昌调研)已知已知 A，B，C 是圆是圆 O：x2y21 上的动点上的动点，且且 ACBC，若点若点 M的坐标是的坐标是(1,1)，则，则|MAMBMC|的最大值为的最大值为()A3B4C3 21D3 21解析：解析：选选 D法一：法一：A，B，C 是圆是圆 O：x2y21 上的动点，且上的动点，且 ACBC，设设 A(cos ，sin )，B(cos ，sin )，C(cos ，sin )，其中其中 02，02，M(1,1)，MAMBMC(cos 1，sin 1)(cos 1，sin 1)(cos1，sin 1)(cos 3，sin 3)，|MAMBMC| cos 3 2 sin 3 2 cos26cos 9sin26sin 9196 2sin4 ，当且仅当当且仅当 sin4 1 时时， |MAMBMC|取得最大值取得最大值， 最大值为最大值为 196 23 21.法二：法二：连接连接 AB，ACBC，AB 为圆为圆 O 的直径，的直径，MAMB2MO，|MAMBMC|2MOMC|2MO|MC|2 2|MC|，易知点易知点 M 与圆上动点与圆上动点 C 的距离的最大值为的距离的最大值为 21，|MC| 21，|MAMBMC|3 21，故选，故选 D.二、填空题二、填空题13(2018潍坊统一考试潍坊统一考试)已知单位向量已知单位向量 e e1，e e2，且且e e1，e e23，若向量若向量 a ae e12e e2，则则|a a|_.解析：解析：因为因为|e e1|e e2|1， e e1，e e23，所以，所以|a a|2|e e12e e2|214|e e1|e e2|cos3414111243，即，即|a a| 3.答案：答案： 314已知已知 a a，b b 是非零向量，是非零向量，f(x)(a axb b)(b bxa a)的图象是一条直线，的图象是一条直线，|a ab b|2，|a a|1，则，则 f(x)_.解析解析：由由 f(x)a ab bx2(a a2b b2)xa ab b 的图象是一条直线的图象是一条直线，可得可得 a ab b0.因为因为|a ab b|2，所以所以 a a2b b24.因为因为|a a|1，所以，所以 a a21，b b23，所以，所以 f(x)2x.答案：答案：2x15在在ABC 中中，N 是是 AC 边上一点且边上一点且 AN12NC，P 是是 BN 上一点上一点，若若 APm AB29AC，则实数，则实数 m 的值是的值是_解析解析： 如图如图， 因为因为 AN12NC， 所以所以 AN13AC， 所以所以 APm AB29ACm AB23AN.因为因为 B，P，N 三点共线三点共线，所以所以 m231，则则 m13.答案：答案：1316(2019 届高三届高三唐山五校联考唐山五校联考)在在ABC 中，中，( AB3 AC) CB，则角，则角 A 的最大值的最大值为为_解析解析：因为因为( AB3 AC) CB，所以所以( AB3 AC) CB0，即即( AB3 AC)( ABAC)0，则，则 AB24 AC AB3 AC20，即，即 cos A| AB|23| AC|24| AC| AB| AB|4| AC|3| AC|4| AB|231632，当且仅当，当且仅当| AB| 3| AC|时等号成立因为时等号成立因为 0A，所以，所以 0A6，即角即角 A 的最大值为的最大值为6.答案：答案：6
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