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难点自选专题三难点自选专题三 “圆锥曲线圆锥曲线”压轴大题的抢分策略压轴大题的抢分策略 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份 全国卷全国卷 全国卷全国卷 全国卷全国卷 2018 直线的方程、直线与椭圆直线的方程、直线与椭圆的位置关系、 证明问题的位置关系、 证明问题 T19 直线的方程、直线与抛物直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方线的位置关系、圆的方程程 T19 直线与椭圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明等差数列的证明 T20 2017 椭圆的标准方程、直线与椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问椭圆的位置关系、定点问题题 T20 点的轨迹方程、椭圆方程、点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等向量的数量积等 T20 直线与抛物线的位置关直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方系、直线的方程、圆的方程程 T20 2016 轨迹方程求法、直线与椭轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问圆位置关系及范围问题题 T20 直线与直线与椭圆的位置关系、椭圆的位置关系、面积问题、范围问题面积问题、范围问题 T20 证明问题、轨迹问题、直证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关线与抛物线的位置关系系 T20 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现 解答题的热点题型有：解答题的热点题型有： (1)直线与圆锥曲线位置关系；直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥圆锥曲线中的判断与证明曲线中的判断与证明 考法考法 策略策略(一一) 依据关系来证明依据关系来证明 典例典例 (2018 全国卷全国卷)设椭圆设椭圆 C：x22y21 的右焦点为的右焦点为 F，过，过 F 的直线的直线 l 与与 C 交于交于A，B 两点，点两点，点 M 的坐标为的坐标为(2,0) (1)当当 l 与与 x 轴垂直时，求直线轴垂直时，求直线 AM 的方程；的方程； (2)设设 O 为坐标原点，证明：为坐标原点，证明：OMAOMB. 解解 (1)由已知得由已知得 F(1,0)，l 的方程为的方程为 x1. 则点则点 A 的坐标为的坐标为 1，22或或 1，22. 又又 M(2,0)， 所以直线所以直线 AM 的方程为的方程为 y22x 2或或 y22x 2， 即即 x 2y20 或或 x 2y20. (2)证明：当证明：当 l 与与 x 轴重合时，轴重合时，OMAOMB0 . 当当 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时，OM 为为 AB 的垂直平分线，的垂直平分线， 所以所以OMAOMB. 当当 l 与与 x 轴不重合也不垂直时，设轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1 2，x2b0)，点，点 O 为坐标原点，点为坐标原点，点 A 的坐标为的坐标为(a,0)，点，点 B的坐标为的坐标为(0，b)，点，点 M 在线段在线段 AB 上，满足上，满足|BM|2|MA|，直线，直线 OM 的斜率为的斜率为510. (1)求求 E 的离心率的离心率 e； (2)设点设点 C 的坐标为的坐标为(0，b)，N 为线段为线段 AC 的中点，证明：的中点，证明：MNAB. 解：解：(1)由题设条件知，点由题设条件知，点 M 的坐标为的坐标为 23a，13b ， 又又 kOM510，从而，从而b2a510. 进而得进而得 a 5b，c a2b22b，故，故 eca2 55. (2)证明： 由证明： 由 N 是是 AC 的中点知， 点的中点知， 点 N 的坐标为的坐标为 a2，b2， 可得， 可得NM a6，5b6.又又 AB (a，b)， 从而有从而有 AB NM 16a256b216(5b2a2) 由由(1)可知可知 a25b2， 所以所以 AB NM 0，故，故 MNAB. 考法考法 策略策略(二二) 巧妙消元证定值巧妙消元证定值 典例典例 已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，过，过 A(2,0)，B(0,1)两点两点 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程及离心率；的方程及离心率； (2)设设 P 为第三象限内一点且在椭圆为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线上，直线 PA 与与 y 轴交于点轴交于点 M，直线，直线 PB 与与 x 轴轴交于点交于点 N，求证：四边形，求证：四边形 ABNM 的面积为定值的面积为定值 解解 (1)由题意得，由题意得，a2，b1， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为x24y21. 又又 c a2b2 3，所以离心率，所以离心率 eca32. (2)证明：设证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则，则 x204y204. 又又 A(2,0)，B(0,1)， 所以直线所以直线 PA 的方程为的方程为 yy0 x02(x2) 令令 x0，得，得 yM2y0 x02， 从而从而|BM|1yM12y0 x02. 直线直线 PB 的方程为的方程为 yy01x0 x1. 令令 y0，得，得 xNx0y01， 从而从而|AN|2xN2x0y01. 所以四边形所以四边形 ABNM 的面积的面积 S12|AN| |BM| 12 2x0y01 12y0 x02 x204y204x0y04x08y042 x0y0 x02y02 2x0y02x04y04x0y0 x02y022. 从而四边形从而四边形 ABNM 的面积为定值的面积为定值 题后悟通题后悟通 解答圆锥曲线的定值问题的策略解答圆锥曲线的定值问题的策略 (1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元(如本例如本例)、选择消元、对、选择消元、对称消元等称消元等 应用体验应用体验 2(2019 届高三届高三 湘东五校联考湘东五校联考)已知椭圆已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于的中心在原点，离心率等于12，它的一个短，它的一个短轴端点恰好是抛物线轴端点恰好是抛物线 x28 3y 的焦点的焦点 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)如图，已知如图，已知 P(2,3)，Q Q(2，3)是椭圆上的两点，是椭圆上的两点，A，B 是椭圆是椭圆上位于直线上位于直线 PQ Q 两侧的动点当两侧的动点当 A，B 运动时，满足运动时，满足APQ QBPQ Q，试问直线试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由的斜率是否为定值？请说明理由 解：解：(1)由题意知椭圆的焦点在由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，轴上， 设椭圆设椭圆 C 的方程为的方程为x2a2y2b21(ab0)， 则则 b2 3. 由由ca12，a2c2b2，得，得 a4， 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为x216y2121. (2)直线直线 AB 的斜率是定值，理由如下：的斜率是定值，理由如下： 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2) APQ QBPQ Q，直线直线 PA，PB 的斜率之和为的斜率之和为 0， 设直线设直线 PA 的斜率为的斜率为 k，则直线，则直线 PB 的斜率为的斜率为k，直线，直线 PA 的方程为的方程为 y3k(x2)， 由由 y3k x2 ，x216y2121， 得得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480， x128k 2k3 34k2， 将将 k 换成换成k 可得可得 x228k 2k3 34k28k 2k3 34k2， x1x216k21234k2，x1x248k34k2， kABy1y2x1x2k x12 3k x22 3x1x2 k x1x2 4kx1x212， 直线直线 AB 的斜率为定值的斜率为定值12. 考法考法 策略策略(三三) 构造函数求最值构造函数求最值 典例典例 在在 RtABC 中，中，BAC90 ，A(0,2 2)，B(0，2 2)，SABC2 23.动点动点 P的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E，曲线，曲线 E 过点过点 C 且满足且满足|PA|PB|的值为常数的值为常数 (1)求曲线求曲线 E 的方程的方程 (2)过点过点 Q Q(2,0)的直线与曲线的直线与曲线 E 总有公共点，以点总有公共点，以点 M(0，3)为圆心的圆为圆心的圆 M 与该直线与该直线总相切，求圆总相切，求圆 M 的最大面积的最大面积 解解 (1)由已知由已知|AB|4 2， SABC12|AB|AC|2 23， 所以所以|AC|13. 因为因为|PA|PB|CA|CB|6|AB|4 2， 所以曲线所以曲线 E 是以点是以点 A，B 为焦点的椭圆且为焦点的椭圆且 2a6,2c4 2. 所以所以 a3，c2 2b1， 所以曲线所以曲线 E 的方程为的方程为 x2y291. (2)由题意可设直线方程为由题意可设直线方程为 yk(x2)， 联立联立 x2y291，yk x2 消去消去 y，得，得(9k2)x24k2x4k290， 则则 (4k2)24(9k2)(4k29)0，解得，解得 k23. 因为以点因为以点 M(0，3)为圆心的圆为圆心的圆 M 与该直线总相切，与该直线总相切， 所以半径所以半径 r|2k3|1k2. 令令 r2f(k) 2k3 21k2， 则则 f(k)4 2k3 1k2 2k 2k3 2 1k2 2 2k3 46k 1k2 2. 由由 f(k)0，得，得 k23或或 k32， 当当 k23时符合题意，此时可得时符合题意，此时可得 r|2k3|1k2 13. 即所求圆的面积的最大值是即所求圆的面积的最大值是 13. 题后悟通题后悟通 最值问题的最值问题的 2 2 种基本解法种基本解法 几何法几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、 平面几何和解析几何知识加以解决的根据已知的几何量之间的相互关系、 平面几何和解析几何知识加以解决的(如如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查空题中经常考查) 代数法代数法 建立求解目标关于某个建立求解目标关于某个(或两个或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普普通方法、基本不等式方法、导数方法通方法、基本不等式方法、导数方法(如本例如本例)等等) 应用体验应用体验 3(2018 合肥一检合肥一检)在平面直角坐标系中，圆在平面直角坐标系中，圆 O 交交 x 轴于点轴于点 F1，F2，交，交 y 轴于点轴于点 B1，B2.以以 B1，B2为顶点，为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆分别为左、右焦点的椭圆 E 恰好经过点恰好经过点 1，22. (1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程； (2)设经过点设经过点(2,0)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 E 交于交于 M，N 两点，求两点，求F2MN 面积的最大值面积的最大值 解：解：(1)由已知可得，椭圆由已知可得，椭圆 E 的焦点在的焦点在 x 轴上轴上 设椭圆设椭圆 E 的标准方程为的标准方程为x2a2y2b21(ab0)， 焦距为焦距为 2c，则，则 bc， a2b2c22b2， 椭圆椭圆 E 的方程为的方程为x22b2y2b21. 又椭圆又椭圆 E 过点过点 1，22，12b212b21，解得，解得 b21. 椭圆椭圆 E 的方程为的方程为x22y21. (2)点点(2,0)在椭圆在椭圆 E 外，外，直线直线 l 的斜率存在的斜率存在 设直线设直线 l 的方程为的方程为 yk(x2)，M(x1，y1)，N(x2，y2) 由由 yk x2 ，x22y21消去消去 y 得，得， (12k2)x28k2x8k220. 由由 0，得，得 0b0)，四点，四点 P1(1,1)，P2(0，1)，P3 1，32，P4 1，32中恰有三点在椭圆中恰有三点在椭圆 C 上上 (1)求求 C 的方程；的方程； (2)设直线设直线 l 不经过不经过 P2点且与点且与 C 相交于相交于 A，B 两点若直线两点若直线 P2A 与直线与直线 P2B 的斜率的和的斜率的和为为1，证明：，证明：l 过定点过定点 解解 (1)由于由于 P3，P4两点关于两点关于 y 轴对称，轴对称， 故由题设知椭圆故由题设知椭圆 C 经过经过 P3，P4两点两点 又由又由1a21b21a234b2知，椭圆知，椭圆 C 不经过点不经过点 P1， 所以点所以点 P2在椭圆在椭圆 C 上上 因此因此 1b21，1a234b21，解得解得 a24，b21. 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为x24y21. (2)证明：设直线证明：设直线 P2A 与直线与直线 P2B 的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2. 如果如果l与与x轴垂直， 设轴垂直， 设l： xt， 由题设知， 由题设知t0， 且， 且|t|0. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1x28km4k21，x1x24m244k21. 而而 k1k2y11x1y21x2 kx1m1x1kx2m1x2 2kx1x2 m1 x1x2 x1x2. 由题设由题设 k1k21， 故故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 即即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210. 解得解得 m2k1. 当且仅当当且仅当 m1 时，时，0，于是，于是 l：ykx2k1k(x2)1， 所以所以 l 过定点过定点(2，1) 题后悟通题后悟通 直线过定点问题的解题模型直线过定点问题的解题模型 应用体验应用体验 5(2018 贵阳摸底考试贵阳摸底考试)过抛物线过抛物线 C：y24x 的焦点的焦点 F 且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 交抛物线交抛物线 C于于 A，B 两点，且两点，且|AB|8. (1)求求 l 的方程；的方程； (2)若若 A 关于关于 x 轴的对称点为轴的对称点为 D，求证：直线，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标过定点，并求出该点的坐标 解：解：(1)易知点易知点 F 的坐标为的坐标为(1,0)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为 yk(x1)，代入抛物线方程，代入抛物线方程 y24x得得 k2x2(2k24)xk20， 由题意知由题意知 k0，且，且 (2k24)24k2 k216(k21)0， 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x22k24k2，x1x21， 由抛物线的定义知由抛物线的定义知|AB|x1x228， 2k24k26，k21，即，即 k 1， 直线直线 l 的方程为的方程为 y (x1)， 即即 xy10 或或 xy10. (2)证明：由抛物线的对称性知，证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为点的坐标为(x1，y1)，直线，直线 BD 的斜率的斜率 kBDy2y1x2x1y2y1y224y2144y2y1， 直线直线 BD 的方程为的方程为 yy14y2y1(xx1)， 即即(y2y1)yy2y1y214x4x1， y214x1，y224x2，x1x21， (y1y2)216x1x216， 即即 y1y24(y1，y2异号异号)， 直线直线 BD 的方程为的方程为 4(x1)(y1y2)y0，恒过点恒过点(1,0) 考法考法 策略策略(六六) 假设存在定结论假设存在定结论(探索性问题探索性问题) 典例典例 已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，其离心率为，其离心率为12，短轴长为短轴长为 2 3. (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)过定点过定点 M(0,2)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C 交于交于 G，H 两点两点(G 在在 M，H 之间之间)，设直线，设直线 l 的斜率的斜率k0，在，在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出在，求出 m 的取的取值范围；如果不存在，请说明理由值范围；如果不存在，请说明理由 解解 (1)由已知，得由已知，得 ca12，b 3，c2a2b2，解得解得 a2，b 3，c1， 所以椭圆所以椭圆 C 的标准方程为的标准方程为x24y231. (2)设直线设直线 l 的方程为的方程为 ykx2(k0)， 联立联立 ykx2，x24y231消去消去 y 并整理得，并整理得，(34k2)x216kx40，由，由 0，解得，解得 k12. 设设 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则，则 y1kx12，y2kx22，x1x216k4k23. 假设存在点假设存在点 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形，为邻边的平行四边形为菱形， 则则 PG PH (x1x22m，k(x1x2)4)， GH (x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)， ( PG PH ) GH 0， 即即(1k2)(x1x2)4k2m0， 所以所以(1k2)16k4k234k2m0， 解得解得 m2k4k2324k3k. 因为因为 k12，所以，所以36m0，当且仅当，当且仅当3k4k 时等号成立，时等号成立， 故存在满足题意的点故存在满足题意的点 P，且，且 m 的取值范围是的取值范围是 36，0 . 题后悟通题后悟通 探索性问题的解题策略探索性问题的解题策略 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在确，则不存在 (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论当条件和结论不唯一时，要分类讨论 (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径另外的途径 应用体验应用体验 6 已知椭圆 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦点分别为的左、 右焦点分别为 F1(1,0)，F2(1,0)， 点， 点 A 1，22在椭圆在椭圆 C 上上 (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)是否存在斜率为是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点有两个不同交点 M，N 时，能在直时，能在直线线 y53上找到一点上找到一点 P， 在椭圆， 在椭圆 C 上找到一点上找到一点 Q Q， 满足， 满足PM NQ Q ？若存在， 求出直线的方程；？若存在， 求出直线的方程；若不存在，说明理由若不存在，说明理由 解：解：(1)设椭圆设椭圆 C 的焦距为的焦距为 2c，则，则 c1， 因为因为 A 1，22在椭圆在椭圆 C 上， 所以上， 所以 2a|AF1|AF2|2 2， 因此， 因此 a 2， b2a2c21， 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为x22y21. (2)不存在满足条件的直线，证明如下：不存在满足条件的直线，证明如下： 假设存在斜率为假设存在斜率为 2 的直线， 满足条件， 则设直线的方程为的直线， 满足条件， 则设直线的方程为 y2xt， 设， 设 M(x1， y1)， N(x2，y2)，P x3，53，Q Q(x4，y4)，MN 的中点为的中点为 D(x0，y0)， 由由 y2xt，x22y21消去消去 x，得，得 9y22tyt280， 所以所以 y1y22t9，且，且 4t236(t28)0， 故故 y0y1y22t9，且，且3t3. 由由PM NQ Q ，得，得 x1x3，y153(x4x2，y4y2)， 所以有所以有 y153y4y2，y4y1y25329t53. 也可由也可由PM NQ Q ，知四边形，知四边形 PMQ QN 为平行四边形，而为平行四边形，而 D 为线段为线段 MN 的中点，因此，的中点，因此， D 也为线段也为线段 PQ Q 的中点，所以的中点，所以 y053y42t9， 可得可得y42t159 又又3t3，所以，所以73y41， 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1,1矛盾矛盾 因此不存在满足条件的直线因此不存在满足条件的直线
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