二轮复习数学文通用版讲义：第一部分 第二层级 高考5个大题 题题研诀窍 立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换 Word版含解析

思维流程思维流程找突破口找突破口 技法指导技法指导迁移搭桥迁移搭桥 立体几何解答题建模、转换策略立体几何解答题建模、转换策略 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托分步设问，逐层加深，合，以某个几何体为依托分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、转换解决这类题目的原则是建模、转换 建模建模问题转化为平行模型、垂直模型等；问题转化为平行模型、垂直模型等； 转换转换对几何体的体积、三棱锥的体积考查顶点对几何体的体积、三棱锥的体积考查顶点转换，多面体体积分割转换为几个规则几何体的体转换，多面体体积分割转换为几个规则几何体的体积和积和或体积差求解或体积差求解. 典例典例 (2018 全国卷全国卷)如图， 在平行四边形如图， 在平行四边形 ABCM 中，中，ABAC3，ACM90.以以 AC 为折痕将为折痕将ACM 折起，折起，使点使点 M 到达点到达点 D 的位置，且的位置，且 ABDA. (1)证明：平面证明：平面 ACD平面平面 ABC； (2)Q 为线段为线段 AD 上一点，上一点，P 为线段为线段 BC 上一点，且上一点，且 BPDQ23DA，求三棱锥，求三棱锥 Q- ABP的体积的体积 快审题快审题 求什么求什么 想什么想什么 求证面面垂直，想到证线面垂直求证面面垂直，想到证线面垂直 求三棱锥的体积，想到求底面积和高求三棱锥的体积，想到求底面积和高 给什么给什么 用什么用什么 给出给出ACM90，ABCM，用平行，用平行关系得关系得BAC90. 给出给出 BPDQ23DA，计算，计算 BP 的长的长 差什么差什么 找什么找什么 差点差点 Q 到平面到平面 ABP 的距离，由的距离，由 DQ23DA，找出点，找出点 Q 到平面到平面 ABP 的距离等于点的距离等于点D 到平面到平面 ABP 距离的距离的13. 稳解题稳解题 (1)证明：由已知可得，证明：由已知可得， BAC90，即，即 BAAC. 又因为又因为 BAAD，ACADA， 所以所以 AB平面平面 ACD. 因为因为 AB平面平面 ABC， 所以平面所以平面 ACD平面平面 ABC. (2)由已知可得，由已知可得， DCCMAB3，DA3 2. 又又 BPDQ23DA， 所以所以 BP2 2. 如图，如图，过点过点 Q 作作 QEAC， 垂足为垂足为 E，则，则 QE 綊綊13DC. 由已知及由已知及(1)可得，可得， DC平面平面 ABC， 所以所以 QE平面平面 ABC，QE1. 因此，三棱锥因此，三棱锥 Q- ABP 的体积为的体积为 VQ- ABP13SABPQE131232 2sin 4511. 题后题后悟道悟道 有关立体几何综合问题的解题步骤有关立体几何综合问题的解题步骤 针对训练针对训练 (2018 沈阳质检沈阳质检)如图， 在四棱锥如图， 在四棱锥 P- ABCD 中，中， PD底面底面 ABCD，ABCD，AB2，CD3，M 为为 PC 上一点，且上一点，且 PM2MC. (1)求证：求证：BM平面平面 PAD； (2)若若 AD2，PD3，BAD60，求三棱锥，求三棱锥 P- ADM 的体积的体积 解：解：(1)证明：如图，过证明：如图，过 M 作作 MNCD 交交 PD 于点于点 N，连接，连接 AN. PM2MC，MN23CD. 又又 AB23CD，且，且 ABCD， AB綊綊MN，四边形四边形 ABMN 为平行四边形，为平行四边形，BMAN. 又又 BM 平面平面 PAD，AN平面平面 PAD， BM平面平面 PAD. (2)如图，过如图，过 B 作作 AD 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 E. PD平面平面 ABCD，BE平面平面 ABCD， PDBE. 又又 AD平面平面 PAD，PD平面平面 PAD，ADPDD， BE平面平面 PAD. 由由(1)知，知，BM平面平面 PAD， 点点 M 到平面到平面 PAD 的距离等于点的距离等于点 B 到平面到平面 PAD 的距离，即的距离，即 BE. 连接连接 BD，在，在ABD 中，中，ABAD2，BAD60， BE 3， 则三棱锥则三棱锥 P- ADM 的体积的体积 VP- ADMVM- PAD13SPADBE133 3 3. 总结升华总结升华 立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定， 因此， 复习备考时往往有立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定， 因此， 复习备考时往往有“纲纲”可循，有可循，有“题题”可依在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，可依在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面模型，其中，平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的核心将局部空间问题转化为平面模型，其中，平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的核心内容；距离、面积与体积的计算是重点内容内容；距离、面积与体积的计算是重点内容 专题过关检测专题过关检测 A 组组“633”考点落实练考点落实练 一、选择题一、选择题 1已知已知 E，F，G，H 是空间四点，命题甲：是空间四点，命题甲：E，F，G，H 四点不共面，命题乙：直线四点不共面，命题乙：直线EF 和和 GH 不相交，则甲是乙成立的不相交，则甲是乙成立的( ) A必要不充分条件必要不充分条件 B充分不必要条件充分不必要条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 B 若若 E，F，G，H 四点不共面，则直线四点不共面，则直线 EF 和和 GH 肯定不相交，但直线肯定不相交，但直线 EF和和 GH 不相交，不相交，E，F，G，H 四四点可以共面，例如点可以共面，例如 EFGH，故甲是乙成立的充分不必要，故甲是乙成立的充分不必要条件条件 2关于直线关于直线 a，b 及平面及平面 ，下列命题中正确的是，下列命题中正确的是( ) A若若 a，b，则，则 ab B若若 ，m，则，则 m C若若 a，a，则，则 D若若 a，ba，则，则 b 解析：解析：选选 C A 是错误的，因为是错误的，因为 a 不一定在平面不一定在平面 内，所以内，所以 a，b 有可能是异面直线；有可能是异面直线；B 是错误的，若是错误的，若 ，m，则，则 m 与与 可能平行，可能相交，也可能线在面内，故可能平行，可能相交，也可能线在面内，故 B 错错 误；误；C 是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到 C 正确；正确；D 是错误的，直线与平面是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直相交直线垂直 3在正三棱柱在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，中，|AB| 2|BB1|，则，则 AB1与与 BC1所成角的大小为所成角的大小为( ) A30 B60 C75 D90 解析：解析：选选 D 将正三棱柱将正三棱柱 ABC- A1B1C1补为四棱柱补为四棱柱 ABCD- A1B1C1D1，连接，连接 C1D，BD，则则 C1DB1A，BC1D 为所求角或其补角设为所求角或其补角设 BB1 2，则，则 BCCD2，BCD120，BD2 3， 又因为又因为 BC1C1D 6，所以，所以BC1D90. 4.如如图，在三棱锥图，在三棱锥 P- ABC 中，不能证明中，不能证明 APBC 的条件是的条件是( ) AAPPB，APPC BAPPB，BCPB C平面平面 BPC平面平面 APC，BCPC DAP平面平面 PBC 解析：解析：选选 B A 中，因为中，因为 APPB，APPC，PBPCP，所以，所以 AP平面平面 PBC.又又 BC平面平面 PBC，所以，所以 APBC，故，故 A 正确；正确；C 中，因为平面中，因为平面 BPC平面平面 APC，平面，平面 BPC平平面面 APCPC， BCPC， 所以， 所以 BC平面平面 APC.又又 AP平面平面 APC， 所以， 所以 APBC， 故， 故 C 正确；正确；D 中，由中，由 A 知知 D 正确；正确；B 中条件不能判断出中条件不能判断出 APBC，故选，故选 B. 5如图，以等腰直角三角形如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边的斜边 BC 上的高上的高 AD 为折痕，把为折痕，把ABD 和和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC 是等边三角形；是等边三角形； 三棱锥三棱锥 D- ABC 是正三棱锥；是正三棱锥； 平面平面 ADC平面平面 ABC. 其中正确的结论是其中正确的结论是( ) A B C D 解析：解析：选选 B 由题意知，由题意知，BD平面平面 ADC，故，故 BDAC，正确；正确；AD 为等腰直角三角为等腰直角三角形形 ABC 的斜边的斜边 BC 上的高，平面上的高，平面 ABD平面平面 ACD，所以，所以 ABACBC，BAC 是等边三是等边三角形，角形，正确；易知正确；易知 DADBDC，结合，结合知知正确；由正确；由知知不正确故选不正确故选 B. 6已知二面角的棱上有已知二面角的棱上有 A，B 两点，直线两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于且都垂直于 AB，已知，已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，则该二面角的大小为，则该二面角的大小为( ) A150 B45 C120 D60 解析：解析：选选 D 如图，如图，ACAB，BDAB，过，过 A 在平面在平面 ABD 内作内作AEBD，过，过 D 作作 DEAB，连接，连接 CE，所以，所以 DEAB 且且 DE平面平面AEC，CAE 即二面角的平面角，在即二面角的平面角，在 RtDEC 中，中，CE2 13，在，在ACE 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 cosCAECA2AE2CE22CAAE12， 所以所以CAE60，即所求二面角的大小为，即所求二面角的大小为 60. 二、填空题二、填空题 7(2018 天津六校联考天津六校联考)设设 a，b 为不重合的两条直线，为不重合的两条直线， 为不重合的两个平面，给为不重合的两个平面，给出下列命题：出下列命题： 若若 a 且且 b，则，则 ab； 若若 a 且且 a，则，则 ； 若若 ，则一定存在平面，则一定存在平面 ，使得，使得 ，； 若若 ，则一定存在直线，则一定存在直线 l，使得，使得 l，l. 其中真命题的序号是其中真命题的序号是_ 解析：解析：中中 a 与与 b 也可能相交或异面，故不正确也可能相交或异面，故不正确 垂直于同一直线的两平面平行，正确垂直于同一直线的两平面平行，正确 中存在中存在 ，使得，使得 与与 ， 都垂直，正确都垂直，正确 中只需直线中只需直线 l 且且 l 就可以，正确就可以，正确 答案：答案： 8若若 P 为矩形为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O，M 为为 PB 的中点，给的中点，给出以下四个命题：出以下四个命题：OM平面平面 PCD；OM平面平面 PBC；OM平面平面 PDA；OM平平面面 PBA.其中正确的个数是其中正确的个数是_ 解析：解析： 由已知可得由已知可得 OMPD， OM平面平面 PCD 且且 OM平面平面 PAD.故正确的只有故正确的只有. 答案：答案： 9(2018 全国卷全国卷)已知圆锥的顶点为已知圆锥的顶点为 S，母线，母线 SA，SB 所成角的余弦值为所成角的余弦值为78，SA 与圆与圆锥底面所成角为锥底面所成角为 45，若，若SAB 的面积为的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为，则该圆锥的侧面积为_ 解析：解析：如图，如图，SA 与底面成与底面成 45角，角， SAO 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 设设 OAr， 则则 SOr，SASB 2r. 在在SAB 中，中，cos ASB78， sin ASB158， SSAB12SA SB sin ASB12( 2r)21585 15， 解得解得 r2 10， SA 2r4 5，即母线长，即母线长 l4 5， S圆锥侧圆锥侧rl2 104 540 2. 答案：答案：40 2 三、解答题三、解答题 10.(2018 长春质检长春质检)如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面中，底面 ABCD为菱形，为菱形，PA平面平面 ABCD，E 为为 PD 的中点的中点 (1)证明：证明：PB平面平面 ACE； (2)设设 PA1，AD 3，PCPD，求三棱锥，求三棱锥 P- ACE 的体积的体积 解：解：(1)证明：连接证明：连接 BD 交交 AC 于点于点 O，连接，连接 OE. 在在PBD 中，中，PEDE， BODO，所以，所以 PBOE. 又又 OE平面平面 ACE，PB 平面平面 ACE， 所以所以 PB平面平面 ACE. (2)由题意得由题意得 ACAD， 所以所以 VP- ACE12VP- ACD14VP- ABCD1413S ABCD PA 1413 234 3 2138. 11.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，中，ABACAA13，BC2，D 是是 BC 的中点，的中点，F 是是 CC1上一点上一点 (1)当当 CF2 时，证明：时，证明：B1F平面平面 ADF； (2)若若 FDB1D，求三棱锥，求三棱锥 B1- ADF 的体积的体积 解：解：(1)证明：因为证明：因为 ABAC，D 是是 BC 的中点，的中点， 所以所以 ADBC. 在直三棱柱在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，因为中，因为 BB1底面底面 ABC，AD底面底面 ABC，所以，所以 ADB1B. 因为因为 BCB1BB，所以，所以 AD平面平面 B1BCC1. 因为因为 B1F平面平面 B1BCC1，所以，所以 ADB1F. 在矩形在矩形 B1BCC1中，因为中，因为 C1FCD1，B1C1CF2， 所以所以 RtDCFRtFC1B1， 所以所以CFDC1B1F，所以，所以B1FD90， 所以所以 B1FFD. 因为因为 ADFDD，所以，所以 B1F平面平面 ADF. (2)由由(1)知知 AD平面平面 B1DF，CD1，AD2 2， 在在 RtB1BD 中，中，BDCD1，BB13， 所以所以 B1D BD2BB21 10. 因为因为 FDB1D， 所以所以 RtCDFRtBB1D， 所以所以DFB1DCDBB1，即，即 DF13 10103， 所以所以 VB1- ADFVA- B1DF13SB1DFAD1312103 102 210 29. 12(2018 全国卷全国卷)如图，在三棱锥如图，在三棱锥 P- ABC 中，中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为为 AC 的中点的中点 (1)证明：证明：PO平面平面 ABC； (2)若点若点 M 在棱在棱 BC 上，且上，且 MC2MB，求点，求点 C 到平面到平面 POM 的距的距离离 解：解：(1)证明：因为证明：因为 PAPCAC4，O 为为 AC 的中点，的中点， 所以所以 POAC，且，且 PO2 3. 连接连接 OB， 因为因为 ABBC22AC， 所以所以ABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， 且且 OBAC，OB12AC2. 所以所以 PO2OB2PB2，所以，所以 POOB. 又因为又因为 ACOBO，所以，所以 PO平面平面 ABC. (2)如图，作如图，作 CHOM，垂足为，垂足为 H， 又由又由(1)可得可得 OPCH， 所以所以 CH平面平面 POM. 故故 CH 的长为点的长为点 C 到平面到平面 POM 的距离的距离 由题设可知由题设可知 OC12AC2， CM23BC4 23，ACB45， 所以所以 OM2 53，CHOC MC sin ACBOM4 55. 所以点所以点 C 到平面到平面 POM 的距离为的距离为4 55. B 组组大题专攻补短练大题专攻补短练 1(2018 武汉调研武汉调研)如图如图，在矩形，在矩形 ABCD 中，中，AB4，AD2，E 是是 CD 的中点，将的中点，将ADE 沿沿 AE 折起，得到如图折起，得到如图所示的四棱锥所示的四棱锥 D1- ABCE，其中平面，其中平面 D1AE平面平面 ABCE. (1)证明：证明：BE平面平面 D1AE； (2)设设 F 为为 CD1的中点， 在的中点， 在线段线段 AB 上是否存在一点上是否存在一点 M， 使得， 使得 MF平面平面 D1AE， 若存在， 若存在，求出求出AMAB的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 解：解：(1)证明：证明：四边形四边形 ABCD 为矩形且为矩形且 ADDEECBC2，AEB90，即，即 BEAE，又平面，又平面 D1AE平面平面 ABCE，平面平面 D1AE平面平面 ABCEAE， BE平面平面 D1AE. (2)AMAB14，理由如下：，理由如下： 取取 D1E 的中点的中点 L，连接，连接 FL，AL，FLEC. 又又 ECAB，FLAB，且，且 FL14AB， M，F，L，A 四点共面，四点共面， 若若 MF平面平面 AD1E，则，则 MFAL. 四边形四边形 AMFL 为平行四边形，为平行四边形， AMFL14AB，即，即AMAB14. 2.(2018 湖北八校联考湖北八校联考)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，中，ACBC5，AAAB6，D，E 分别为分别为 AB 和和 BB上的点，且上的点，且ADDBBEEB. (1)当当 D 为为 AB 的中点时，求证：的中点时，求证：ABCE； (2)当当 D 在线段在线段 AB 上运动时上运动时(不含端点不含端点)， 求三棱锥， 求三棱锥 A- CDE 体体积的最小值积的最小值 解：解：(1)证明：证明：D 为为 AB 的中点，的中点，E 为为 BB 的中点，的中点， 三棱柱三棱柱 ABC- ABC为直三棱柱，为直三棱柱，AAAB6， 四边形四边形 ABBA为正方形，为正方形，DEAB. ACBC，D 为为 AB 的中点，的中点，CDAB. 由题意得平面由题意得平面 ABBA平面平面 ABC，且平面，且平面 ABBA平面平面 ABCAB，CD平平面面 ABC， CD平面平面 ABBA. 又又 AB平面平面 ABBA， CDAB. 又又 CDDED，AB平面平面 CDE， CE平面平面 CDE，ABCE. (2)设设 ADx(0 x6)， 则则 BEx，DB6x，BE6x， 由已知可得点由已知可得点 C 到平面到平面 ADE 的距离即为的距离即为ABC 的边的边 AB 上的高上的高 h，且，且 h AC2 AB224， 三棱锥三棱锥 A- CDE 的体积的体积 VA- CDEVC- ADE13(S四边形四边形ABBASAADSDBESABE) h13 363x12 6x x3 6x h23(x26x36)23(x3)227(0 x6)， 当当 x3，即，即 D 为为 AB 的中点时，的中点时，VA- CDE取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为 18. 3.(2018 南昌模拟南昌模拟)如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P- ABCD 中，中，PA底面底面ABCD，四边形，四边形 ABCD 为直角梯形，为直角梯形，AC 与与 BD 相交于点相交于点 O，ADBC，ADAB，ABBCAP3，三棱锥，三棱锥 P- ACD 的体积为的体积为 9. (1)求求 AD 的值；的值； (2)过点过点 O 的平面的平面 平行于平面平行于平面 PAB，平面，平面 与棱与棱 BC，AD，PD，PC 分别相交于点分别相交于点 E，F，G，H，求截面，求截面 EFGH 的周长的周长 解：解：(1)因为在四棱锥因为在四棱锥 P- ABCD 中，中，PA底面底面 ABCD， 四边形四边形 ABCD 为直角梯形，为直角梯形，ADBC，ADAB，ABBCAP3， 所以所以 V三棱锥三棱锥P- ACD1312ABADAP32AD9， 解得解得 AD6. (2)由题知平面由题知平面 平面平面 PAB，平面，平面 平面平面 ABCDEF，点，点 O 在在 EF 上，平面上，平面 PAB平面平面 ABCDAB， 根据面面平行的性质定理，得根据面面平行的性质定理，得 EFAB， 同理同理 EHBP，FGAP.因为因为 BCAD， 所以所以BOCDOA，所以，所以BCADCOOA3612. 因为因为 EFAB，所以，所以CEBCOCAC13， 又易知又易知 BEAF，AD2BC，所以，所以 FD2AF. 因为因为 FGAP，所以，所以FGAPFDAD23，FG23AP2. 因为因为 EHBP，所以，所以EHPBECBC13， 所以所以 EH13PB 2. 如图，作如图，作 HNBC，GMAD，HNPBN，GMPAM，则，则 HNGM，HNGM， 所以四边形所以四边形 GMNH 为平行四边形，所以为平行四边形，所以 GHMN， 在在PMN 中，中，MN 8122 2cos 45 5， 又又 EFAB3， 所以截面所以截面 EFGH 的周长为的周长为 EFFGGHEH32 5 25 5 2. 4.如图，在几何体如图，在几何体 ABCDEF 中，底面中，底面 ABCD 为矩形，为矩形，EFCD，CDEA，CD2EF2，ED 3，M 为棱为棱 FC 上一点，平面上一点，平面 ADM与棱与棱 FB 交于点交于点 N. (1)求证：求证：EDCD. (2)求证：求证：ADMN. (3)若若 ADED，试问平面，试问平面 BCF 是否可能与平面是否可能与平面 ADMN 垂直？若能，求出垂直？若能，求出FMFC的值；若的值；若不能，说明理由不能，说明理由 解：解：(1)证明：因为四边形证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以为矩形，所以 CDAD. 又因为又因为 CDEA，EAADA， 所以所以 CD平面平面 EAD. 因为因为 ED平面平面 EAD， 所以所以 EDCD. (2)证明：因为四边形证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以为矩形，所以 ADBC， 又因为又因为 AD 平面平面 FBC，BC平面平面 FBC， 所以所以 AD平面平面 FBC. 又因为平面又因为平面 ADMN平面平面 FBCMN， 所以所以 ADMN. (3)平面平面 ADMN 与平面与平面 BCF 可以垂直证明如下：可以垂直证明如下： 连接连接 DF.因为因为 ADED，ADCD，EDCDD， 所以所以 AD平面平面 CDEF.所以所以 ADDM. 因为因为 ADMN，所以，所以 DMMN. 因为平面因为平面 ADMN平面平面 FBCMN， 所以若使平面所以若使平面 ADMN平面平面 BCF， 则则 DM平面平面 BCF，所以，所以 DMFC. 在梯形在梯形 CDEF 中，因中，因为为 EFCD，DECD，CD2EF2，ED 3， 所以所以 DFDC2. 所以若使所以若使 DMFC 成立，则成立，则 M 为为 FC 的中点的中点 所以所以FMFC12.