新课标高三数学 一轮复习 第5篇 第3节 等比数列课时训练 理

【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第5篇 第3节 等比数列课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定及证明3、15等比数列的基本运算4、6、8、11等比数列的性质1、2、7、10等比、等差数列的综合5、9、12等比数列与其他知识综合5、13、14、16基础过关一、选择题1.公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:a3a11=a72=16,数列an的各项都是正数,所以a7=4,又a7=a522,所以a5=1.2.(20xx高考重庆卷)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是(D)(A)a1,a3,a9成等比数列(B)a2,a3,a6成等比数列(C)a2,a4,a8成等比数列(D)a3,a6,a9成等比数列解析:由等比数列的定义知选D.3.已知数列an的前n项和Sn=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是(B)(A)k为任意实数时,an是等比数列(B)k=-1时,an是等比数列(C)k=0时,an是等比数列(D)an不可能是等比数列解析:Sn=3n+k(k为常数),a1=S1=3+k,n2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=23n-1,当k=-1时,a1=2满足an=23n-1,an是等比数列,当k=0时,a1=3不满足an=23n-1,an不是等比数列.4.已知等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn.若S3=72,则S6等于(B)(A)312(B)632(C)63(D)1272解析:由S6-S3S3=q3,即S6-7272=8,得S6=632.5.已知an为等差数列,bn为等比数列,其公比q1且bi0(i=1,2,),若a1=b1,a11=b11,则(A)(A)a6b6(B)a6=b6(C)a6b6(D)a6b6解析:数列an是等差数列,数列bn是等比数列,a1=b1,a11=b11,a1+a11=b1+b11,又bi0(i=1,2,)2a6=b1+b112b1b11=2b6,又q1,且bi0(i=1,2,),b1b11,a6b6.二、填空题6.已知等比数列an的公比为正数,且a2a6=9a4,a2=1,则a1=.解析:由a2a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以由a2=a1q,得a1=a2q=13.答案:137.(20xx高考广东卷)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=.解析:ln a1+ln a2+ln a20=ln a1a2a20,而a1a20=a2a19=a9a12=a10a11=e5,所以ln a1a2a20=ln(e5)10=50.答案:508.(20xx高考辽宁卷)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.解析:依题意a1+a3=5,a1a3=4,又数列an为递增数列,解得a1=1,a3=4,q2=a3a1=4,q=2,S6=a1(1-q6)1-q=1-261-2=63.答案:639.(20xx高考安徽卷)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.解析:设等差数列an的公差为d,由题意,(a3+3)2=(a1+1)(a5+5),即(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),化简可解得,d=-1,所以公比q=a3+3a1+1=a1+2d+3a1+1=1.答案:110.等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若S10S5=3132,则an的通项公式an=.解析:S10S5=3132,S10-S5S5=-132,S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,q5=-132,q=-12,则an=-1(-12)n-1=-(-12)n-1.答案:-(-12)n-1三、解答题11.(20xx高考四川卷)在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前n项和.解:设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列an的前n项和Sn=3n-12.12.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=4027.(1)求数列an的通项公式;(2)求证Sn32.(1)解:设等比数列an的公比为q.S1,2S2,3S3成等差数列4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),a2=3a3,q=a3a2=13.又S4=4027,即a1(1-q4)1-q=4027,解得a1=1,an=(13)n-1.(2)证明:由(1)得Sn=a1(1-qn)1-q=1-(13)n1-13=321-(13)n32.能力提升13.已知定义在R上的函数f(x)=ax(0a0时,S3=1+q+1q1+2q1q=3,当q0时,S3=1-(-q-1q)1-2(-q)(-1q)=-1.S3(-,-13,+).故选D.15.(20xx高考陕西卷)设Sn表示数列an的前n项和.(1)若an是等差数列,推导Sn的计算公式;(2)若a1=1,q0,且对所有正整数n,有Sn=1-qn1-q.判断an是否为等比数列,并证明你的结论.解:(1)设an的公差为d,则Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2Sn=n(a1+an),Sn=n(a1+an)2.(2)当n=1时,S1=1.当n=2时,S2=1-q21-q=1+q,a1+a2=1+q,a2=q.当n=3时,S3=1-q31-q=1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;初步断定数列an为等比数列.证明如下:Sn=1-qn1-q,an+1=Sn+1-Sn=1-qn+11-q-1-qn1-q=qn(1-q)1-q=qn.a1=1,q0,当n1时,有an+1an=qnqn-1=q,因此,an是首项为1且公比为q的等比数列.探究创新16.(20xx广东十校联考)如图给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*),则a53=,amn=(m3).1412,1434,38,316解析:由题意可知第一列首项为14,公差d=12-14=14,从第三行起每一行的公比q=12,所以a51=14+414=54,a53=a51q2=54(12)2=516.m3时,am1=14+(m-1)14=m4,amn=m4(12)n-1=m2n+1.答案:516m2n+1