三年模拟一年创新高考数学 复习 第八章 第六节 空间向量的应用 理全国通用

第六节第六节 空间向量的应用空间向量的应用 A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1(20 xx长沙模拟)有以下命题： 如果向量a a，b b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a a，b b的关系是不共线； O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面； 已知向量a a，b b，c c是空间的一个基底，则向量a ab b，a ab b，c c也是空间的一个基底 其中正确的命题是( ) A B C D 解析 对于，“如果向量a a，b b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a a，b b的关系一定是共线”，所以错误，正确 答案 C 2(20 xx莆田模拟)已知a a(2，1，3)，b b(1，4，2)，c c(7，5，)，若a a，b b，c c三向量共面，则实数等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657 解析 由题意得c cta ab b(2t，t4，3t2)， 72t，5t4，3t2，解得t337，177，657. 答案 D 3(20 xx长春模拟)已知点B是点A(3，7，4)在xOz平面上的射影，则OB2等于( ) A(9，0，16) B25 C5 D13 解析 A在xOz平面上的射影为B(3，0，4)，则OB(3，0，4)，OB 225. 答案 B 4(20 xx青岛调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点M在AC1上，且AM12MC1，N为B1B的中点，则|MN|为( ) A.216 B.66 C.156 D.153 解析 如图，设ABa a，ADb b，AA1c c， 则a ab bb bc cc ca a0. 由条件知MNMAABBN 13(a ab bc c)a a12c c 23a a13b b16c c， MN249a a219b b2136c c22136， |MN|216. 答案 A 二、填空题 5(20 xx寿光模拟)已知a a(1t，1t，t)，b b(2，t，t)，则|b ba a|的最小值为_ 解析 b ba a(1t，2t1，0)， |b ba a| （1t）2（2t1）25（t15）295， 当t15时，|b ba a|取得最小值为3 55. 答案 3 55 一年创新演练 6.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为( ) A0 B.12 C.32 D.22 解析 设OAa a，OBb b，OCc c，由已知条件a a，b ba a，c c3，且|b b|c c|， OABCa a(c cb b)a ac ca ab b 12|a a|c c|12|a a|b b|0， cosOA，BC0. 答案 A 7.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点 (1)求证：CEAD； (2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值 (1)证明 设CAa a，CBb b， CCc c， 根据题意，|a a|b b|c c|， 且a ab bb bc cc ca a0， CEb b12c c，ADc c12b b12a a. CEAD12c c212b b20. CEAD，即CEAD. (2)解 ACa ac c， |AC| 2|a a|，|CE|52|a a|. ACCE(a ac c)(b b12c c)12c c212|a a|2， cosAC，CE12|a a|2252|a a|21010. 即异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010. B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 8(20 xx福州模拟)若两点的坐标是A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|AB|的取值范围是( ) A0，5 B1，5 C(0，5) D1，25 解析 A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，|AB| （3cos 2cos ）2（3sin 2sin ）2（11）2 9412（cos cos sin sin ） 1312cos（）， 1312|AB| 255， 即 1|AB|5，故选 B. 答案 B 二、填空题 9(20 xx海口模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)则以AB，AC为边的平行四边形的面积为_ 解析 由题意可得： AB(2，1，3)，AC(1，3，2)， cosAB，ACABAC|AB|AC| 23614 1471412.sinAB，AC32. 以AB，AC为边的平行四边形的面积 S212|AB|AC|sinAB，AC14327 3. 答案 7 3 三、解答题 10.(20 xx河南商丘模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160. (1)求证：C1B平面ABC； (2)设CECC1(01)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为 30，试求的值 (1)证明 因为AB平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以ABBC1， 在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160， 由余弦定理得：BC21BC2CC212BCCC1cosBCC1 1222212cos 603， 所以BC1 3，故BC2BC21CC21，所以BCBC1， 又BCABB，C1B平面ABC. (2)解 由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)， C1(0，0， 3)，B1(1，0， 3) 所以CC1(1，0， 3), 所以CE(，0， 3)，E(1，0， 3)，则AE(1，1， 3)，AB1(1，1， 3) 设平面AB1E的一个法向量为n n(x，y，z)， 则n nAE，n nAB1，得（1）xy 3z0，xy 3z0， 令z 3，则x332，y32， ，n n332，32， 3 ， AB平面BB1C1C，BA(0，1，0)是平面的一个法向量， |cosn n，BA|n nBA|n n|BA| 3213322322（ 3）232. 两边平方并化简得 22530，所以1 或32(舍去)1. 11(20 xx山东青岛一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为 2 的的菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点 (1)求证：平面BDGH平面AEF； (2)求二面角HBDC的大小 (1)证明 在CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点 所以GHEF，又因为GH平面AEF，EF 平面AEF， 所以GH平面AEF. 设ACBDO，连接OH， 因为ABCD为菱形， 所以O为AC中点， 在ACF中，因为OAOC，CHHF， 所以OHAF， 又因为OH平面AEF，AF 平面AEF， 所以OH平面AEF. 又因为OHGHH，OH，GH 平面BDGH， 所以平面BDGH平面AEF. (2)解 取EF的中点N，连接ON， 因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点， 所以ONED， 因为平面BDEF平面ABCD， 所以ED平面ABCD， 所以ON平面ABCD， 因为ABCD为菱形，所以ACBD，得OB，OC，ON两两垂直 所以以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 如图建立空间直角坐标系 因为底面ABCD是边长为 2 的菱形，BAD60，BF3， 所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，E(1，0，3)，F(1，0，3)，C(0，3，0)，H12，32，32， 所以BH12，32，32，DB(2，0，0) 设平面BDH的法向量为n n(x，y，z)， 则n nBH0n nDB0 x 3y3z0，2x0， 令z1，得n n(0， 3，1) 由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量为DE(0，0，3)， 则 cosn n，DEn nDE|n|n|DE| 00（ 3）01323 12. 所以二面角HBDC的大小为 60. 一年创新演练 12如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBC12AP2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD. (1)求证：平面PCD平面PAD； (2)求二面角GEFD的大小； (3)求三棱锥DPAB的体积 (1)证明 PD平面ABCD.CD 平面ABCD， PDCD.又ABBC12APAD，APAB， 四边形ABCD为正方形， CDAD.又PDADD， CD平面PAD. CD 平面PCD， 平面PCD平面PAD. (2)解 如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz. 则G(2，1，0)，E(1，0，1)， F(0，0，1)，EF(1，0，0)，EG(1，1，1) 设平面EFG的法向量为n n(x，y，z)， n nEF0，n nEG0，即 x0，xyz0， x0，yz. 取n n(0，1，1) 取平面PCD的一个法向量DA(0，1，0)， cosDA，n nDAn n|DA|n n|1222. 结合图知二面角GEFD的大小为 45. (3)解 三棱锥DPAB的体积 VDPABVPDAB13SABDPD 131222243. 13.如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10. (1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE； (2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离 证明 (1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(4，0，3) 由题意，得G(0，4，0) 因为OB(8，0，0)，OE(0，4，3)， 所以平面BOE的一个法向量为n n(0，3，4) 由FG(4，4，3)，得n nFG0， 又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE. (2)设点M的坐标为(x0，y0，0)， 则FM(x04，y0，3) 因为FM平面BOE， 所以FMn n. 因此x04，y094， 即点M的坐标是(4，94，0) 在平面直角坐标系xOy中， AOB的内部区域可表示为不等式组 x0，y0，xy8. 经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M, 使FM平面BOE. 由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为 4，94.