高考文科数学 题型秘籍【29】等差数列解析版

专题二十九专题二十九 等差数列等差数列【高频考点解读】【高频考点解读】1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系【热点题型】【热点题型】题型一题型一等差数列的定义通项公式及前等差数列的定义通项公式及前 n 项和公式项和公式例 1、已知an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a36，S312，则公差 d 等于()A1B.53C2D3【提分秘籍】【提分秘籍】1概念中的“同一个常数”十分重要如果一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，但不是同一个常数，那么这个数列就不是等差数列2由等差数列通项公式的变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项3等差数列的两个求和公式分析两个公式可得，它们的共同点是需要知道 a1和 n，不同点是公式 Snna1an2还需要知道 an，公式 Snna1nn12d 还需要知道 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式：当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好【举一反三】【举一反三】等差数列an的前 7 项和等于前 2 项和，若 a11，aka40，则 k_.【热点题型】【热点题型】题型二题型二等差数列的性质等差数列的性质例 2、 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a43a8a12120， 则 2a11a14S15()A384B382C380D352【提分秘籍】【提分秘籍】1等差数列an中，若 mpq，则 amapaq，不一定成立，只有当 a1d 时才成立2运算性质求解基本运算，可减少运算量、但要注意判断项数之间的关系3.利用等差数列的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想的应用，应用时常将 aman2amn2与 amanapaq相结合考查【举一反三】【举一反三】已知等差数列 an满足 a23，SnSn351(n3)，Sn100，则 n 的值为()A8B9C10D11【热点题型】【热点题型】题型三题型三等差数列的判定等差数列的判定例 3、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a112，an2SnSn1(n2)(1)求证：数列1Sn是等差数列；(2)求 Sn和 an.【提分秘籍】【提分秘籍】 等差数列的判定方法等差数列的判定方法(1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证 2an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通项公式法：验证 anpnq；(4)前 n 项和公式法：验证 SnAn2Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断【举一反三】【举一反三】已知数列an的通项公式 anpn2qn(p、qR，且 p、q 为常数)(1)当 p 和 q 满足什么条件时，数列an是等差数列；(2)求证：对任意实数 p 和 q，数列an1an是等差数列an1an是等差数列【热点题型】【热点题型】题型四题型四等差数列的基本运算等差数列的基本运算例 4、(1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则 m()A3B4C5D6(2)在等差数列an中，a22，a34，则 a10()A12B14C16D18【提分秘籍】【提分秘籍】1等差数列的通项公式 ana1(n1)d 及前 n 项和公式 Snna1an2na1nn12d，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题2数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【举一反三】【举一反三】在数列an中，若 a12，且对任意的 nN*有 2an112an，则数列an前 10 项的和为()A5B10C.52D.54【热点题型】【热点题型】题型五题型五等差数列的前等差数列的前 n 项和最值问题项和最值问题例 5、已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前 n 项和为Sn，则使得 Sn达到最大的 n 是()A18B19C20D21【提分秘籍】【提分秘籍】与等差数列前 n 项和有关的最值问题是命题的热点；主要命题角度有：(1)前 n 项和的最大值；(2)前 n 项和的最小值；(3)与前 n 项和有关的最值问题1.解决等差数列前 n 项和最大值的方法(1)将 Sn表示为 n 的二次函数，注意 nN*.(2)利用通项不等式组 Sn最大an0，an10.2.等差数列前 n 项和最小值an0，an10.【举一反三】【举一反三】在首项为负数的等差数列an中，若 a10a11a120，则当前 n 项和 Sn取最小值时，n等于()A10B10 或 11C11D9 或 10【高考风向标】【高考风向标】1 （20 xx重庆卷）在等差数列an中，a12，a3a510，则 a7()A5B8C10D142 （20 xx天津卷）设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1()A2B2C.12D123 （20 xx北京卷）已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足 b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前 n 项和4 （20 xx福建卷）在等比数列an中，a23，a581.(1)求 an；(2)设 bnlog3an，求数列bn的前 n 项和 Sn.5 （20 xx湖北卷）已知等差数列an满足：a12，且 a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式(2)记 Sn为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn60n800？若存在，求 n的最小值；若不存在，说明理由6 （20 xx湖南卷）已知数列an的前 n 项和 Snn2n2，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和7 （20 xx江西卷）在等差数列an中，a17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8时 Sn取得最大值，则 d 的取值范围为_【答案】1，78【解析】 由题可知 a80 且 a90 且 78d0，所以1d0.证明：d1，d2，dn1是等比数列；(3)设 d1，d2，dn1是公差大于 0 的等差数列，且 d10，证明：a1，a2，an1是等差数列20 （20 xx全国卷）等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1nan，求数列bn的前 n 项和 Sn.21 （20 xx福建卷）已知等差数列an的公差 d1，前 n 项和为 Sn.(1)若 1，a1，a3成等比数列，求 a1；(2)若 S5a1a9，求 a1的取值范围22 （20 xx新课标全国卷 已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求 a1a4a7a3n2.23 （20 xx山东卷）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b1a1b2a2bnan112n，nN*，求bn的前 n 项和 Tn.24 （20 xx陕西卷）设 Sn表示数列an的前 n 项和(1)若an是等差数列，推导 Sn的计算公式；(2)若 a11，q0，且对所有正整数 n，有 Sn1qn1q.判断an是否为等比数列，并证明你的结论25 （20 xx四川卷）在等比数列an中，a2a12，且 2a2为 3a1和 a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前 n 项和26 （20 xx新课标全国卷 已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列1a2n1a2n1的前 n 项和27 （20 xx浙江卷）在公差为 d 的等差数列an中，已知 a110，且 a1，2a22，5a3成等比数列(1)求 d，an；(2)若 d0，求|a1|a2|a3|an|.28 （20 xx重庆卷）设数列an满足：a11，an13an，nN.(1)求an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn为其前 n 项和，且 b1a2，b3a1a2a3，求 T20.29 （20 xx重庆卷）若 2，a，b，c，9 成等差数列，则 ca_【答案】72【解析】 设公差为 d，则 d925174，所以 ca2d72.【随堂巩固】【随堂巩固】1若数列an的首项 a11，且 anan12(n2)，则 a7()A13B14C15D172已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a415，S555，则数列an的公差是()A.14B4C4D33 Sn为等差数列an的前 n 项和，a2a86，则 S9()A.272B27C54D1084已知an为等差数列，其公差为2，且 a7是 a3与 a9的等比中项，Sn为an的前 n 项和，nN*，则 S10的值为()A110B90C90D110答案：D5一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前 6 项均为正数，第 7 项起为负数，则它的公差为()A2 B3C4D66把 70 个面包分五份给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份为()A2B8C14D207等差数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913则 a4的值为()A18B15C12D208 在 6 月 11 日成功发射了“神舟十号”， 假设运载火箭在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在到达离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是()A10 秒钟B13 秒钟C15 秒钟D20 秒钟9 一个等差数列的前 20 项和为 420， 前 20 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 1110，则此数列的公差为_10已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3a4a512，则 S7的值为_11等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和若 a11，aka40，则 k_.12已知数列an是等差数列，且 a3a95，bn2an，则 b52b7的最小值为_13已知等差数列an中，a512，a2018.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前 n 项和 Sn.14已知 a2、a5是方程 x212x270 的两根，数列an是公差为正数的等差数列，数列bn的前 n 项和为 Tn，且 Tn112bn(nN*)(1)求数列an、bn的通项公式；(2)记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Sn.