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专题专题 07 二次函数与幂函数二次函数与幂函数-【高频考点解读】【高频考点解读】1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题，重点考查三者之间的综合应用3.高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的概率较低4.题型以选择题、填空题为主，若与导数、解析几何知识交汇，【热点题型】【热点题型】题型一题型一二次函数的图象二次函数的图象例 1、设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()【提分秘籍】【提分秘籍】分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等【举一反三】【举一反三】已知函数 yax2bxc，如果 abc 且 abc0，则它的图象可能是()【热点题型】【热点题型】题型二题型二二次函数性质二次函数性质例 2、已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间【提分秘籍】【提分秘籍】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型： 轴定区间定、 轴动区间定、 轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解【举一反三】【举一反三】已知函数 f(x) x22ax3a21(a 0,0 x1)，求 f(x)的最大值和最小值【热点题型】【热点题型】题型三题型三幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质已知幂函数 f(x)(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数 f(x)经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2a)f(a1)的实数 a的取值范围【提分秘籍】【提分秘籍】本题集幂函数的概念、图象及单调性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质1二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n上的最值当b2am 时，函数在区间m，n上单调递增，最小值为 f(m)，最大值为 f(n)当 mb2an 时，最小值为 f(b2a)4acb24a，最大值为 f(m)或 f(n)(m，n 与b2a距离较远的一个对应的函数值为最大值)当b2an 时，函数在区间m，n上单调递减，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)2二次函数、二次方程、二次不等式之间的相互转化(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解3幂函数 yx(R)， 其中为常数， 其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如 yx1，yx22x 等都不是幂函数【举一反三】【举一反三】已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间【热点题型】【热点题型】题型四题型四分类讨论思想在二次函数中的应用分类讨论思想在二次函数中的应用例 4、已知函数 f(x)ax2|x|2a1(a 为实常数)(1)若 a1，作出函数 f(x)的图象；(2)设 f(x)在区间1,2上的最小值为 g(a)，求 g(a)的表达式【提分秘籍】【提分秘籍】在研究有关二次函数最值时一般用到分类讨论思想，一是对二项式系数 a 进行讨论，二是要对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论具体运用时一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线【举一反三】【举一反三】已知函数 f(x)4x24ax4aa2(a0)在区间0,1内有一个最大值5，则 a 的值为_【高考风向标】【高考风向标】1 （20 xx江苏卷） 已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0成立，则实数 m 的取值范围是_2 （20 xx全国卷） 函数 ycos 2x2sin x 的最大值为_3 （20 xx全国新课标卷）设函数 f(x)ex1，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_【随堂巩固】【随堂巩固】1设函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增函数，则实数 a 的取值范围是_2 已知点12，2在幂函数 yf(x)的图象上， 点2，14 在幂函数 yg(x)的图象上， 则 f(2)g(1)_.3当 a_时，函数 f(x)x22axa 的定义域为1,1，值域为2,24 设f(x)x22ax2， 当x1， )时， f(x)a恒成立， 则实数a的取值范围是_答案3,15给出关于幂函数的以下说法：幂函数的图象都经过(1,1)点；幂函数的图象都经过(0,0)点；幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；幂函数的图象不可能经过第四象限；幂函数在第一象限内一定有图象；幂函数在(，0)上不可能是递增函数其中正确的说法有_6.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：万元)与营运年数 x(xN*)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运_年，使其营运年平均利润最大7已知函数 f(x)x21 的定义域为a，b(ab)，值域为1,5，则在平面直角坐标系内点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为_8已知二次函数 yf(x)的顶点坐标为32，49，且方程 f(x)0 的两个实根之差等于 7，则此二次函数的解析式是_9如图，已知二次函数 yax2bxc(a，b，c 为实数，a0)的图象过点 C(t,2)，且与 x轴交于 A，B 两点，若 ACBC，则 a 的值为_10已知函数 f(x)|2x3|，若 02ab1，且 f(2a)f(b3)，则 T3a2b 的取值范围为_11已知函数 f(x)x|x2|.(1)写出 f(x)的单调区间；(2)解不等式 f(x)3；(3)设 0a2，求 f(x)在0，a上的最大值12已知函数 f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在 xR 使 f(x)bg(x)，求实数 b 的取值范围；(2)设 F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数 m 的取值范围综上所述：实数 m 的取值范围是1,02，)13设二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在区间2,2上的最大值、最小值分别是 M，m，集合 Ax|f(x)x(1)若 A1,2，且 f(0)2，求 M 和 m 的值；(2)若 A1，且 a1，记 g(a)Mm，求 g(a)的最小值14已知13a1，若 f(x)ax22x1 在区间1,3上的最大值为 M(a)，最小值为 N(a)，令g(a)M(a)N(a)(1)求 g(a)的函数表达式；(2)判断 g(a)的单调性，并求出 g(a)的最小值
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