2020数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题七 第1讲 坐标系与参数方程选修44 Word版含解析

A 级级 基础通关基础通关 1(2018 江苏卷江苏卷)在极坐标系中，直线在极坐标系中，直线 l 的方程为的方程为 sin(6)2，曲线曲线 C 的方程为的方程为 4cos ，求直线，求直线 l 被曲线被曲线 C 截得的弦长截得的弦长 解：解：因为曲线因为曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 4cos ， 所以曲线所以曲线 C 是圆心为是圆心为(2，0)，直径为，直径为 4 的圆的圆 因为直线因为直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 sin(6)2， 则直线则直线 l 过过 A(4，0)，倾斜角为，倾斜角为6， 所以所以 A 为直线为直线 l 与圆与圆 C 的一个交点的一个交点 设另一个交点为设另一个交点为 B，则，则OAB6. 如图，连接如图，连接 OB. 因为因为 OA 为直径，从而为直径，从而OBA2， 所以所以 AB4cos 62 3. 因此，直线因此，直线 l 被曲线被曲线 C 截得的弦长为截得的弦长为 2 3. 2(2018 全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为 x2cos ，y4sin ( 为参数为参数)，直线，直线 l 的参数方程为的参数方程为 x1tcos ，y2tsin (t 为参数为参数) (1)求求 C 和和 l 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若曲线若曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点坐标为所得线段的中点坐标为(1，2)，求，求 l 的斜率的斜率 解：解：(1)曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为x24y2161. 当当 cos 0 时，时，l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 ytan x2tan ， 当当 cos 0 时，时，l 的直角坐标方程的直角坐标方程为为 x1. (2)将将 l 的参数方程代入的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得关于的直角坐标方程， 整理得关于 t 的方程的方程(13cos2 )t24(2cos sin )t80. 因为曲线因为曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点所得线段的中点(1，2)在在 C 内，所以内，所以有两有两个解，设为个解，设为 t1，t2，则，则 t1t20. 又由又由得得 t1t24（2cos sin ）13cos2 ，故，故 2cos sin 0，于，于是直线是直线 l 的斜率的斜率 ktan 2. 3在平面直角坐标系中，以原点在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线已知直线 l 的参数的参数方程为方程为 x 3t，y1 3t(t 为参数为参数)，曲线，曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 4sin 3. (1)求直线求直线 l 的普通方程与曲线的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若直线若直线 l 与曲线与曲线 C 交于交于 M，N 两点，求两点，求MON 的面积的面积 解：解：(1)由由 x 3t，y1 3t，消去参数消去参数 t 得得 3xy4， 所以直线所以直线 l 的普通方程为的普通方程为 3xy40. 由由 4sin 32sin 2 3cos ， 得得 22sin 2 3cos ，即，即 x2y22 3x2y. 所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程是圆的直角坐标方程是圆(x 3)2(y1)24. (2)因为原点因为原点 O 到直线到直线 l 的距离的距离 d|4|（ 3）2122. 直线直线 l 过圆过圆 C 的圆心的圆心( 3，1)，所以，所以|MN|2r4， 所以所以MON 的面积的面积 S12|MN|d4. 4(2019 佛山检测佛山检测)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，直线中，直线 l 的参数方程的参数方程为为 xm2t，y 2t(t 为参数为参数)，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 241sin2. (1)求直线求直线 l 的普通方程和曲线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)设设 P 为曲线为曲线 C 上的点，上的点， PQl， 垂足为， 垂足为 Q， 若， 若|PQ|的最小值为的最小值为 2，求求 m 的值的值 解：解：(1)因为曲线因为曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 241sin2， 则则 22sin24， 将将 2x2y2，sin y 代入上式并化简得代入上式并化简得x24y221， 所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为x24y221. 由由 xm2t，y 2t，消去参数消去参数 t 得得 x 2ym， 所以直所以直线线 l 的普通方程为的普通方程为 x 2ym0. (2)设设 P(2cos ， 2sin )，由点到直线的距离公式得，由点到直线的距离公式得 |PQ|2cos 2sin m|3 2 2cos 4m3， 由题意知由题意知 m0， 当当 m0 时，时，|PQ|min|2 2m|32，得，得 m2 32 2； 当当 m0 时，时，|PQ|min|2 2m|32，得，得 m2 32 2，所以，所以m2 32 2或或 m2 32 2. 5(2017 全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为cos 4. (1)M 为曲线为曲线 C1上的动点，点上的动点，点 P 在线段在线段 OM 上，且满足上，且满足|OM| |OP|16，求点，求点 P 的轨迹的轨迹 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)设点设点 A 的极坐标为的极坐标为 2，3，点，点 B 在曲线在曲线 C2上，求上，求OAB 面积面积的最大值的最大值 解：解：(1)设设 P 的极坐标为的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为的极坐标为(1，)(10) 由题设知由题设知|OP|，|OM|14cos . 由由|OM| |OP|16 得得 C2的极坐标方程为的极坐标方程为 4cos (0) 因此因此 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点设点 B 的极坐标的极坐标为为(B，)(B0) 由题设知由题设知|OA|2，B4cos ，于是，于是OAB 的面积的面积 S12|OA| B sinAOB4cos sin 3 2 sin 23322 3. 当当 12时，时，S 取得最大值取得最大值 2 3. 所以所以OAB 面积的最大值为面积的最大值为 2 3. 6 (2018 全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中， 曲线中， 曲线 C1的方程为的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的的极坐标方程为极坐标方程为 22cos 30. (1)求求 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若若 C1与与 C2有且仅有三个公共点，求有且仅有三个公共点，求 C1的方程的方程 解：解：(1)由由 xcos ，ysin 得得 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y24. (2)由由(1)知知 C2是圆心为是圆心为 A(1，0)，半径为，半径为 2 的圆的圆 由题设知，由题设知，C1是过点是过点 B(0，2)且关于且关于 y 轴对称的两条射线记轴对称的两条射线记 y轴右边的射线为轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为轴左边的射线为 l2. 由于点由于点 B 在圆在圆 C2的外面，故的外面，故 C1与与 C2有且仅有三个公共点等价于有且仅有三个公共点等价于l1与与 C2只有一个公共点且只有一个公共点且 l2与与 C2有两个公共点，或有两个公共点，或 l2与与 C2只有一个只有一个公共点且公共点且 l1与与 C2有两个公共点有两个公共点 当当 l1与与 C2只有一个公共点时，只有一个公共点时，A 到到 l1所在直线的距离为所在直线的距离为 2，所以，所以|k2|k212，解得，解得 k43或或 k0. 经检验，当经检验，当 k0 时，时，l1与与 C2没有公共点；没有公共点； 当当 k43时，时，l1与与 C2只有一个公共点，只有一个公共点，l2与与 C2有两个公共点有两个公共点 当当 l2与与 C2只有一个公共点时，点只有一个公共点时，点 A 到到 l2所在直线的距离为所在直线的距离为 2，所，所以以|k2|k212，故，故 k0 或或 k43. 经检验，当经检验，当 k0 时，时，l1与与 C2没有公共点；没有公共点； 当当 k43时，时，l2与与 C2没有公共点没有公共点 综上，所求综上，所求 C1的方程为的方程为 y43|x|2. B 级级 能力提升能力提升 7 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系 xOy 中， 以中， 以 O 为极点，为极点， x 轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 2sin 2acos (a0)；直；直 线线 l 的参数方程为的参数方程为 x222t，y22t(t 为参数为参数)直线直线 l 与曲线与曲线 C 分别交分别交于于 M，N 两点两点 (1)写出曲线写出曲线 C 的直角坐标方程和直线的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；的普通方程； (2)若点若点 P 的极坐标为的极坐标为(2，)，|PM|PN|5 2，求，求 a 的值的值 解：解：(1)由由 2sin 2acos (a0)，得，得 22sin 2acos (a0)， 所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x2y22y2ax， 即即(xa)2(y1)2a21. 由直线由直线 l 的参数方程得直线的参数方程得直线 l 的普通方程为的普通方程为 yx2. (2)将直线将直线 l 的参数方程的参数方程 x222t，y22t. 代入代入 x2y22y2ax，化简得，化简得 t2(3 2 2a)t4a40. (3 2 2a)24(4a4)0，解得，解得 a1. t1t23 2 2a，t1t24a4. 又因为又因为 a0，所以，所以 t10，t20. 因为点因为点 P 的直角坐标为的直角坐标为(2，0)，且在直线，且在直线 l 上，上， 所以所以|PM|PN|t1|t2|3 2 2a5 2， 解得解得 a2，此时满足，此时满足 a0，且，且 a1，故，故 a2. 8(2019 珠海检测珠海检测)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的参数方的参数方程为程为 xt，y4t2(t 为参数为参数)，以原，以原点点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线坐标系，曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为 2msin cos . (1)求求 C1的普通方程和的普通方程和 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若若 C1与与 C2交于交于 P，Q 两点，求两点，求1kOP1kOQ的值的值 解：解：(1)由由 xt，y4t2(t 为参数为参数)，消去参数，消去参数 t，得，得 x214y， 则则 C1的普通方程为的普通方程为 x214y. 由由 2msin cos ，得，得 msin cos 2， 将将 xcos ，ysin 代入，得代入，得 myx20， 即即 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xmy20. (2)由由 xt，y4t2(t 为参数为参数)，可得，可得yx4t(x0)， 故故 4t 的几何意义是抛物线的几何意义是抛物线 x214y 上的点上的点(原点除外原点除外)与原点连线的与原点连线的斜率斜率 由由(1)知，当知，当 m0 时，时，C2：x2，则，则 C1与与 C2只有一个交点，故只有一个交点，故 m0. 把把 xt，y4t2(t 为参数为参数)代入代入 xmy20， 得得 4mt2t20， 设此方程的两根分别为设此方程的两根分别为 t1，t2， 则则 t1t214m，t1t212m， 所以所以1kOP1kOQ14t114t2t1t24t1t214m4 12m18.