重庆市 中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习

第5节二次函数的综合应用(10年15卷13考，1道，12分)命题点1(10年12考，仅20102012年未考)1. (2013重庆A卷25题12分)如图，对称轴为直线x1的抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(3，0)(1)求点B的坐标；(2)已知a1，C为抛物线与y轴的交点若点P在抛物线上，且SPOC4SBOC.求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值第1题图2. (2008重庆28题10分)已知：如图，抛物线yax22axc(a0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ，当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第2题图3. (2014重庆B卷25题12分)如图，已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PMy轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当BCM的面积最大时，求BPN的周长；(3)在(2)的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得CNQ为直角三角形，求点Q的坐标第3题图4. (2014重庆A卷25题12分)如图，抛物线yx22x3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM的面积；(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)若FG2DQ，求点F的坐标第4题图5. (2015重庆B卷26题12分)如图，抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左边)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式；(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH周长的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标第5题图拓展训练 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D.(1)判定ABC的形状；(2)在线段BC下方的抛物线上有一点P，当BCP面积最大时，求点P的坐标及BCP面积的最大值；(3)如图，过点E作EHx轴于点H，将EHD绕点E逆时针旋转一个角度(090)，DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当KET为等腰三角形时，求此时KT的值命题点2二次函数的实际应用(10年4考，20092012连续考查)6. (2009重庆25题10分)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系y50x2600，去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量3.9万台4.3万台(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？(2)由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值(保留一位小数)(参考数据：5.831，5.916，6.083，6.164)7. (2012重庆25题10分)企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1x6，且x取整数)之间满足的函数关系如下表：月份x(月)123456输送的污水量y1(吨)12000600040003000240020007至12月，该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7x12，且x取整数)之间满足二次函数关系式y2ax2c，其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z1(元)与月份x之间满足函数关系式：z1x，该企业自身处理每吨污水的费用z2(元)与月份x之间满足函数关系式：z2xx2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多，并求出这个最多费用；(3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a30)%.为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值(参考数据：15.2，20.5，28.4)第7题图答案1. 解：(1)点A(3，0)与点B关于直线x1对称，点B的坐标为(1，0)；(2分)(2)a1，yx2bxc，抛物线过点(3，0)，且对称轴为直线x1，解得，抛物线解析式为yx22x3，点C的坐标为(0，3)，(4分)设点P的坐标为(x，y)，由题意得SBOCOBOC13，SPOC4SBOC46，(6分)当x0时，SPOCOCx3x6，x4，y4224321；(7分)当x0时，SPOCOC(x)3(x)6，x4，y(4)22(4)35，(8分)点P的坐标为(4，21)或(4，5)；(9分)如解图，设点A、C所在直线的解析式为ymxn(m0)，第1题解图把A(3，0)、C(0，3)代入，得，解得，yx3，设点Q的坐标为(x，x3)，其中3x0，QDx轴，且点D在抛物线上，点D的坐标为(x，x22x3)，QDx3(x22x3)x23x(x)2，(11分)30，当x时，QD有最大值，线段QD长度的最大值为.(12分)2. 解：(1)抛物线yax22axc与y轴交于点C(0，4)且经过A(4，0)，可得，解得，(2分)所求抛物线的解析式为yx2x4；(3分)(2)设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EGx轴于点G，如解图.由x2x40，解得x12，x24，点B的坐标为(2，0)，(4分)第2题解图AB6，BQm2，QEAC，BQEBAC，BEQBCA，BQEBAC，即，EG，(5分)SCQESCBQSEBQBQCOBQEG(m2)(4)m2m(6分)(m1)23.2m4，当m1时，SCQE有最大值3，此时Q(1，0)；(7分)(3)存在在ODF中，若DFDO，A(4，0)，D(2，0)，ADODDF2，又在RtAOC中，OAOC4，OAC45，DFAOAC45，ADF90，此时，点F的坐标为(2，2)，由x2x42，解得x11，x21，此时，点P的坐标为：P(1，2)或P(1，2); (8分)若FOFD，过点F作FMx轴于点M，如解图，第2题解图由等腰三角形的性质得：OMOD1，AM3，在等腰直角AMF中，MFAM3，F(1，3)，由x2x43，解得x11，x21；此时，点P的坐标为：P(1，3)或P(1，3)；(9分)若ODOF，OAOC4，且AOC90，AC4，点O到AC的距离为2，而OFOD22，此时不存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形；综上所述，存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P(1，2)或P(1，2)或P(1，3)或P(1，3)(10分)3. 解：(1)当y0时，即x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，(2分)当x0时，y3，C(0，3)，(3分)点A、B、C的坐标分别是A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)；(4分)(2)设BCM的面积为S，点M的坐标为(a，a22a3)，则OC3，OB3，ONa，MNa22a3，BN3a，根据题意，得SBCMS四边形OCMNSMNBSCOB(OCMN)ONMNNBOCOB3(a22a3)a(a22a3)(3a) 33a2a(a)2，当a时，SBCM有最大值，(6分)此时，ONa，BN3a，OCOB3，COB90，PBN45，PNBN，根据勾股定理，得PB，BPN的周长PNBNPB3；(8分)(3)抛物线yx22x3的对称轴为直线x1，与x轴交于点E(1，0)，如解图，第3题解图设Q(1，y)，根据勾股定理CN2CO2ON2()232，过点Q作QDy轴于点D，则D(0，y)，利用勾股定理可得：CQ2CD2DQ2(y3)212y26y10，NQ2QE2EN2y2，CNQ为直角三角形，有以下三种情况：当CN2CQ2NQ2，即NCQ90时，y26y10y2，解得y，Q(1，)；当CN2NQ2CQ2，即CNQ90时，y2y26y10，解得y，Q(1，)；当CQ2NQ2CN2，即CQN90时，y26y10y2，解得y，Q(1，)或(1，)综上所述，CNQ为直角三角形时，点Q的坐标为(1，)或(1，)或(1，)或(1, )(12分)4. 解：(1)抛物线的解析式为yx22x3，令x0，得y3，则C(0，3)，(1分)令y0，得x22x30，解得x13，x21，A(3，0)，B(1，0)；(3分)(2)由x1得，抛物线的对称轴为直线x1，(4分)设点M(x，0)，P(x，x22x3)，其中3x1，P、Q关于直线x1对称，设Q的横坐标为a，则a(1)1x，a2x，Q(2x，x22x3)，(5分)MPx22x3，PQ2xx22x，C矩形PMNQ2(MPPQ)2(22xx22x3)2x28x22(x2)210，当x2时，C矩形MNPQ取最大值(6分)此时，M(2，0)，AM2(3)1，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，则，解得，直线AC的解析式为yx3，将x2代入yx3，得y1，E(2，1)，EM1，(7分)SAEMAMME11；(8分)第4题解图(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，M横坐标为x2，此时点Q(0，3)，与点C重合，OQ3，将x1代入yx22x3，得y4，D(1，4)，如解图，过点D作DKy轴于点K，则DK1，OK4，QKOKOQ431，DKQ是等腰直角三角形，DQ，(9分)FG2DQ24，(10分)设F(m，m22m3)，G(m，m3)，点G在点F的上方，FG(m3)(m22m3)m23m，FG4，m23m4，解得m14，m21，当m4时，m22m3(4)22(4)35，当m1时，m22m3122130，F点的坐标为(4，5)或(1，0)(12分)5. 解：(1)当y0时，即0x22x3，解得x11，x23.A(1，0)，B(3，0)当x0时，y3，C(0，3)(1分)yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为x1，顶点(1，4)，点C关于直线x1的对称点D(2，3)(2分)设直线AD的解析式为ykxb(k0)，代入A(1，0)，D(2，3)，得，解得，直线AD的解析式为yx1；(3分)(2)对于yx1，当x0时，y1，OE1OA，AOE为等腰直角三角形FGAD，FHx轴，FHGEAO，FGHEOA，FHGEAO，FGH是等腰直角三角形，FGGHFH11.(4分)设F(t，t22t3)，则点H的纵坐标为t22t3，代入yx1，得xt22t2，H(t22t2，t22t3)，FH(t22t2)tt2t2，(5分)CFGHFGGHFHFH(1)FH(1)(t2t2)(1)(t)2(1)，(6分)当t时，CFGH最大(1)；(7分)(3)()当点P在AM上方时，如解图，过点M作MPAM交y轴于P点，过P点作AM的平行线、过A点作PM的平行线，交点为点Q，直线AQ交y轴于点T.由作法知四边形AMPQ为平行四边形，且AMP90，四边形AMPQ是符合题意的矩形作MRy轴于点R，设AM交y轴于点S.A(1，0)，M(1，4)，RMOA1，又MRSAOS，MSRASO，MRSAOS(AAS)，SORSOR2，SMSA.(8分)MSRPSM，MRSPMS，PMSMRS，PS.(9分)SMSA，PSMTSA，PMSTAS90，PMSTAS(ASA)，PMAT，PSST.OS2，OT2，T(0，)在矩形AMPQ中，PMAQ，AQAT.QTAM，点Q、T关于AM成轴对称，T(0，)为所求的点；(10分)第5题解图()当点P在AM下方时，如解图作矩形APQM，延长QM交y轴于点T.同()可知MQAPTM，且AMQT，则点Q关于AM的对称点为点T，此时ST与解图中的SP相等，即TS，又OS2，OTOSTS，T(0，)(11分)综上所述，点T坐标为(0，)或(0，)(12分)拓展训练解：(1)结论：ABC是直角三角形理由如下：对于抛物线yx2x2，令y0，即x2x20，解得x或2，A(，0)，B(2，0)，令x0得y2，C(0，2)，OA，OC2，OB2，AB，AC，BC4，AC2BC2，AB2，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形；(2)如解图，设P(m，m2m2)，解图SBCPSOCPSOBPSOBC2m2(m2m2)22(m)2，m，即P(，)时，PBC的面积最大，最大为.(3)如解图，解图EF垂直平分BC，E(，)即E(，1)，tanEOH，EOH30，OEH60，在RtBOC中，tanCBO，CBO30，EFBC，FEB90，EDB60，EHOB，DEH30，OED30，EH1，DEH30，DH，当点K与点O重合，点T与点D重合时，EKT为等腰三角形，易知TETKEB；如解图中，当TEKE时，作KNCE于N，EQOC于Q，则四边形OQEH是矩形，解图易知：HE1，CKN30，QEH90，KET30，TEH60QEK，KNDE，EKNDEK，又KETDEH，DEKTEH，EKNTEH，ETEK，KNEEHT90，KENETH(AAS)，KNEH1，在RtCNK中，易知CN，CK，EN2，THEN2，OT2，OK2，KT2OK2OT28，KT；当TKEK时，ETKTEK30，EKT120，而T在OB上，K在OC上，EKT最大为90120，EKTK不成立KT的值为或.6. 解：(1)设p与x的函数关系为pkxb(k0)，根据题意，得，解得，p 0.1x3.8，(2分)设月销售金额为w万元，则wpy(0.1x3.8)(50x2600)(3分)化简，得w5x270x9880，w5(x7)210125，当x7时，w取得最大值，最大值为10125万元，答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大值为10125万元，(4分)(2)去年12月份每台的售价为 501226002000元，去年12月份月销售量为0.1123.85万台，(5分)根据题意， 得2000(1m%)5(11.5m%)1.513%3936，(8分)令m%t，原方程可化为7.5t214t5.30，解得t1，t2，t11.339(舍去)，t20.528.答：m的值约为52.8.(10分)7. 解：(1)y1(1x6，且x取整数)，(1分)y2x210000(7x12，且x取整数)；(2分)(2)当1x6，x取整数时，Wy1z1(12000y1)z2x(12000)(xx2)1000x210000x3000.(3分)a10000，x5，1x6，当x5时，W最大22000(元)；(4分)当7x12，且x取整数时，W2(12000y2)1.5y22(12000x210000)1.5(x210000)x219000，(5分)a18975.5，去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；(6分)(3)由题意得12000(1a%)1.51(a30)%(150%)18000.(8分)设ta%，整理得10t217t130，解得t.28.4，t10.57，t22.27(舍去)，a57.答：a的整数值为57.(10分)