高考数学理新课标版考前冲刺复习课时作业：第2部分专题5第3讲圆锥曲线中的综合问题 Word版含答案

课时作业1(2016合肥第二次质检)双曲线 M：x2y2b21 的左、右焦点分别为 F1、F2，记|F1F2|2c， 以坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆与曲线 M 在第一象限的交点为 P， 若|PF1|c2，则点 P 的横坐标为()A.312B.322C.332D.3 32A解析 由点 P 在双曲线的第一象限可得|PF1|PF2|2，则|PF2|PF1|2c，又|OP|c， 所以F1PF290， 由勾股定理可得(c2)2c2(2c)2， 解得 c1 3.易知POF2为等边三角形，则 xPc2312，选项 A 正确2(2016福建毕业班质量检测)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()A.512B.33C.22D.63D解析 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|a，所以|OA|22a，所以点 A 的坐标为a2，a2 ，又点A 在椭圆上，所以a24a2a24b21，所以 a23b2，所以 a23(a2c2)，所以 3c22a2，所以椭圆的离心率 eca63，故选 D.3(2016云南第一次统一检测)设 F1、F2是双曲线 C：x29y2m1 的两个焦点，点 P 在 C上，且PF1PF20，若抛物线 y216x 的准线经过双曲线 C 的一个焦点，则|PF1|PF2|的值等于_解析 依题意，抛物线的准线方程为 x4，所以设双曲线方程的焦点坐标为 F1(4，0)、F2(4，0)，点 P 为双曲线右支上一点，由双曲线定义得|PF1|PF2|6，又PF1PF20，所以PF1PF2，所以在 RtPF1F2中，|PF1|2|PF2|282，联立，解得|PF1|PF2|14.答案 144(2016兰州诊断考试)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P，PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的取值范围是_解析 设椭圆的长轴长为 2a，双曲线的实轴长为 2m，则 2c|PF2|2a10，2m102c，所以 ac5，m5c，所以 e1e2cc5c5cc225c2125c21， 又由三角形的性质知 2c2c10， 由已知 2c10，c5，所以52c5，125c24，025c2113.答案13，5(2016河北省“五校联盟”质量检测)定圆 M：(x 3)2y216，动圆 N 过点 F( 3，0)且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程；(2)设点 A，B，C 在 E 上运动，A 与 B 关于原点对称，且|AC|BC|，当ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程解 (1)因为 F( 3，0)在圆 M：(x 3)2y216 内，所以圆 N 内切于圆 M.因为|NM|NF|4|FM|，所以点 N 的轨迹 E 为椭圆，且 2a4，c 3，所以 b1，所以轨迹 E 的方程为x24y21.(2)当 AB 为长轴(或短轴)时，SABC12|OC|AB|2.当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 ykx，A(xA，yA)，联立方程x24y21ykx得，x2A414k2，y2A4k214k2，所以|OA|2x2Ay2A4（1k2）14k2.将上式中的 k 替换为1k，可得|OC|24（1k2）k24.所以SABC2SAOC|OA|OC|4（1k2）14k24（1k2）k244（1k2）（14k2） （k24）.因为（14k2） （k24）（14k2）（k24）25（1k2）2，所以 SABC85，当且仅当 14k2k24，即 k1 时等号成立，此时ABC 面积的最小值是85.因为 285，所以ABC 面积的最小值是85，此时直线 AB 的方程为 yx 或 yx.6(2016长春质检)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且离心率为12，点 P 为椭圆上一动点，F1PF2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为 A1，过右焦点 F2的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，连接 A1A，A1B 并延长分别交直线 x4 于 R，Q 两点，问 F2RF2Q是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解 (1)已知椭圆的离心率为12，不妨设 ct，a2t，则 b 3t，其中 t0，当F1PF2面积取最大值3 时，点 P 为短轴端点，因此122t 3t 3，解得 t1，则椭圆的方程为x24y231.(2)设直线 AB 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立xmy1x24y231，可得(3m24)y26my90，则 y1y26m43m2，y1y2943m2，直线 AA1的方程为 yy1x1（2）x(2)，直线 BA1的方程为 yy2x2（2）x(2)，则 R4，6y1x12 ，Q4，6y2x22 ，F2R3，6y1x12 ，F2Q3，6y2x22 ，则F2RF2Q96y1x126y2x22 36y1y2m2y1y23m（y1y2）990，即F2RF2Q为定值 0.7(2016石家庄第一次模考)已知抛物线 C：y22px(p0)过点 M(m，2)，其焦点为 F，且|MF|2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点，过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆 F：(x1)2y21 相切，切点分别为 A，B，求证：A，B，F 三点共线解 (1)抛物线 C 的准线方程为 xp2，所以|MF|mp22，因为 42pm，即 42p2p2 ，所以 p24p40，所以 p2，抛物线 C 的方程为 y24x.(2)证明：设 E(0，t)(t0)，已知切线不为 y 轴，设 EA：ykxt，联立ykxty24x，消去y，可得 k2x2(2kt4)xt20.因为直线 EA 与抛物线 C 相切，所以(2kt4)24k2t20，即 kt1，所以1t2x22xt20，得 xt2，即 A(t2，2t)设切点 B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点 O(O 为原点)，B 关于直线 EF：ytxt对称，则y0 x0（t）1y02tx02t，解得x02t2t21y02tt21，即 B2t2t21，2tt21 ，直线 AF 的斜率为 kAF2tt21(t1)，直线 BF 的斜率为 kBF2tt2102t2t2112tt21(t1)，所以 kAFkBF，即 A，B，F 三点共线当 t1 时，A(1，2)，B(1，1)，此时 A，B，F 三点共线综上：A，B，F 三点共线8已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是点 F1、F2，其离心率 e12，点 P 为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为 4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若 A、 B、 C、 D 是椭圆上不重合的四个点， AC 与 BD 相交于点 F1， ACBD0， 求|AC|BD|的取值范围解 (1)由题意得，当点 P 是椭圆的上、下顶点时，PF1F2面积取最大值，此时 SPF1F212|F1F2|OP|bc，所以 bc4 3，因为 e12，所以 b2 3，a4，所以椭圆的方程为x216y2121.(2)由(1)得椭圆的方程为x216y2121，则 F1的坐标为(2，0)，因为ACBD0，所以 ACBD，当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC|BD|6814，当直线 AC 的斜率 k 存在且 k0 时，则其方程为 yk(x2)，设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立yk（x2）x216y2121，消去 y，得(34k2)x216k2x16k2480，所以x1x216k234k2x1x216k24834k2，所以|AC|1k2|x1x2|24（k21）34k2，此时直线 BD 的方程为 y1k(x2)，同理，由y1k（x2）x216y2121，可得|BD|24（k21）3k24，所以|AC|BD|24（k21）4k2324（k21）3k24168（k21）2（3k24） （4k23），令 tk21(k0)，则 t1，所以|AC|BD|16812t1t2，因为 t1，所以 0t1t214，所以|AC|BD|967，14.由可知，|AC|BD|的取值范围是967，14.