高中数学北师大版选修22学案：4.3.1　平面图形的面积3.2　简单几何体的体积 Word版含解析

2019 年北师大版精品数学资料 3 定积分的简单应用定积分的简单应用 3.1 平面图形的面积平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积简单几何体的体积 1.会用定积分求平面图形的面积.(重点) 2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点) 3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点) 基础 初探 教材整理 1 平面图形的面积 阅读教材 P87P88“例 3”以上部分，完成下列问题. 1.当 xa，b时，若 f(x)0，由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积 Sabf(x)dx. 2.当 xa，b时，若 f(x)g(x)0，由直线 xa，xb(ab)和曲线 yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积 Sabf(x)g(x)dx.(如图 4- 3- 1) 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)曲线 ysin x，x2，32与 x 轴围成的图形的面积为232sin xdx.( ) (2)曲线 yx3与直线 xy2，y0 围成的图形的面积为01x3dx12(2x)dx.( ) (3)曲线 y3x2与直线 y1 围成的图形的面积为22(4x2)dx.( ) 【答案】 (1) (2) (3) 教材整理 2 简单旋转几何体的体积 阅读教材 P89P90“练习”以上部分，完成下列问题. 旋转体可看作由连续曲线 yf(x)，直线 xa，xb 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为 Vabf(x)2dx. 由 yx2， x1 和 y0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.6 B.4 C.5 D.45 【解析】 V01y2dx01(x2)2dx5x5105. 【答案】 C 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 利用定积分求平面图形的面积 (1)求由直线 yx3，曲线 yx26x13 所围图形的面积 S； (2)求由曲线 yx2，直线 y2x 和 yx 围成的图形的面积. 【精彩点拨】 (1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积 S. (2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下. 【自主解答】 (1)作出直线 yx3，曲线 yx26x13 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组yx26x13，yx3，得交点坐标为(2，5)和(5，8). 因此，所求图形的面积 S25(x3)dx25(x26x13)dx25(x27x10)dx13x372x210 x5292. (2)法一：由yx2，yx和yx2，y2x解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0，1，2.故所求的面积 S01(2xx)dx12(2xx2)dx x2210 x2x3321 12048311376. 法二：由于点 D 的横坐标也是 2， 故 S02(2xx)dx12(x2x)dx x2220 x33x22212832 131276. 法三：因为14y2y2， 23y32y24 yy2. 故所求的面积为 S01yy2dy14yy2dy 14y21023y32y2441 142381416 231476. 求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积. 再练一题 1.由抛物线 yx2x，直线 x1 及 x 轴围成的图形的面积为( ) 【导学号：94210075】 A.53 B.1 C.52 D.23 【解析】 由图可知，所求面积 S10(x2x)dx 01(xx2)dxx33x2201x22x331056161. 【答案】 B 求简单几何体的体积 求由曲线 y12x2与 y 2x所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【精彩点拨】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可. 【自主解答】 曲线 y12x2与 y 2x所围成的平面图形如图阴影部分所示. 设所求旋转体的体积为 V，根据图像可以看出 V 等于曲线 y 2x，直线 x2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为 V1)减去曲线y12x2，直线 x2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为 V2). V102( 2x)2dx202xdx212x2|204， V20212x22dx402x4dx415x5|2085，所以 VV1V2485125. , 1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即 Vab f2(x)dxab g2(x)dx，而不能写成 Vabf(x)g(x)2dx. 2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式 Vabf2(x)dx 求解. 再练一题 2.设平面图形由0，2上的曲线 ysin x 及直线 y12，x2围成，求此图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【解】 先画草图. 设 f(x)sin x，x0，2，g(x)12. 则 f(x)与 g(x)的交点为6，12. V62sin2x122dx621cos 2x214dx 621412cos 2x dx14x14sin 2x2621238. 探究共研型 定积分的综合应用 探究 1 设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，试求 a 的值. 【提示】 由已知得 S0axdx23x32a023a32a2，所以 a1223，所以 a49. 探究 2 若两曲线 yx2与 ycx3(c0)围成图形的面积是23，试求 c 的值. 【提示】 由yx2，ycx3，得 x0 或 x1c. 0 xcx3， S01c (x2cx3)dx13x314cx41c013c314c3112c323. c318，c12. 在曲线 yx2(x0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成图形的面积为112，试求切点 A 的坐标及过切点 A 的切线方程. 【精彩点拨】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程. 【自主解答】 设切点 A(x0，x20)，切线斜率为 k2x0， 切线方程为 yx202x0(xx0). 令 y0，得 xx02，如图， S0 x02x2dxx02x0 x2(2x0 xx20)dx112x30. 112x30112，x01.切点 A 的坐标为(1，1)，切线方程为 y2x1. 1.本题中求面积 S 时，易错误地写成 S0 x0 x2(2x0 xx20)dx.错误原因是没能分割好图形. 2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题. 再练一题 3.(2016 济南高二检测)如图 4- 3- 2，设点 P 在曲线 yx2上，从原点向 A(2，4)移动，如果直线 OP，曲线 yx2及直线 x2 所围成的面积分别记为 S1，S2. 图 4- 3- 2 (1)当 S1S2时，求点 P 的坐标； (2)当 S1S2有最小值时，求点 P 的坐标和最小值. 【解】 (1)设点 P 的横坐标为 t(0t2)，则 P 点的坐标为(t，t2)， 直线 OP 的方程为 ytx. S10t(txx2)dx16t3， S2t2(x2tx)dx832t16t3. 因为 S1S2， 所以 t43，点 P 的坐标为43，169. (2)SS1S216t3832t16t3 13t32t83，St22， 令 S0 得 t220. 因为 0t2，所以 t 2，当 0t 2时，S0； 2t0. 所以，当 t 2时，S1S2有最小值834 23， 此时点 P 的坐标为( 2，2). 构建 体系 1.用 S 表示图 4- 3- 3 中阴影部分的面积，则 S 的值是( ) 图 4- 3- 3 A.acf(x)dx B.acf（x）dx C.abf(x)dxbcf(x)dx D.bcf(x)dxabf(x)dx 【解析】 xa，b时，f(x)0， 阴影部分的面积 Sbcf(x)dxabf(x)dx. 【答案】 D 2.直线 yx，x1 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A. B.3 C.13 D.1 【解析】 V01x2dx3x3|103. 【答案】 B 3.由 yx2，y14x2及 x1 围成的图形的面积 S_. 【解析】 图形如图所示， S01x2dx0114x2dx0134x2dx 14x31014. 【答案】 14 4.由 yx2，yx 所围成的图形绕 y 轴旋转所得到的旋转体的体积 V_. 【导学号：94210076】 【解析】 V01(yy2)dy6. 【答案】 6 5.计算由曲线 y2x，yx2所围图形的面积 S. 【解】 由y2x，yx2得交点的横坐标为 x0 及 x1. 因此，所求图形的面积为 SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABD 01xdx01x2dx23x321013x310 231313. 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 学业分层测评学业分层测评( (十七十七) ) (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1.若 yf(x)与 yg(x)是a，b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 xa，xb 所围成的平面区域的面积为( ) A.abf(x)g(x)dx B.abg(x)f(x)dx C.ab|f(x)g(x)|dx D.abf（x）g（x）dx 【解析】 当 f(x)g(x)时， 所求面积为abf(x)g(x)dx； 当 f(x)g(x)时， 所求面积为abg(x)f(x)dx. 综上，所求面积为ab|f(x)g(x)|dx. 【答案】 C 2.由抛物线 yx2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.45 B.165 C.85 D.325 【解析】 V02(x2)2dx5x520325. 【答案】 D 3.如图 4- 3- 4，阴影部分的面积是( ) 图 4- 3- 4 A.2 3 B.2 3 C.323 D.353 【解析】 S31(3x22x)dx3x13x3x21-3323. 【答案】 C 4.曲线 yx21 与 x 轴所围成图形的面积等于( ) A.13 B.23 C.1 D.43 【解析】 函数 yx21 与 x 轴的交点为(1，0)，(1，0)，且函数图像关于 y 轴对称，故所求面积为 S201(1x2)dx2x13x310 22343. 【答案】 D 5.由 xy4，x1，x4，y0 围成的平面区域绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.3 【解析】 因为 xy4，所以 y4x， V14y2dx144x2dx 1614x2dx16x141 16141 12. 【答案】 B 二、填空题 6.由曲线 y x与 yx3所围成的图形的面积可用定积分表示为_. 【导学号：94210077】 【解析】 画出 y x和 yx3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组y x，yx3得交点的横坐标为 x0 及 x1.因此， 所求图形的面积为 S01( xx3)dx. 【答案】 01( xx3)dx 7.由曲线 yex2，直线 x0，x1 以及 x 轴所围成的图形绕着 x 轴旋转一周形成的几何体的体积是_. 【解析】 体积 V01exdx(e1). 【答案】 (e1) 8.由曲线 y x，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为_. 【解析】 由y x，yx2，得其交点坐标为(4，2).因此 y x与 yx2 及 y轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为04 x（x2）dx04(x x 2)dx 23x3212x22x40238121624163. 【答案】 163 三、解答题 9.(2016 济宁高二检测)已知函数 f(x)x3ax2bx(a， bR)的图像如图 4- 3- 5所示， 它与直线 y0 在原点处相切， 此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求 a 的值. 图 4- 3- 5 【解】 由题图知方程 f(x)0 有三个实根，其中有两个相等的实根 x1x20，于是 b0，所以 f(x)x2(xa)，有2740a0(x3ax2)dx x44ax33|a0a412， 所以 a 3. 又a0a0)所围成的图形面积为92a3， 则直线 l 的方程为( ) A.yax B.y ax C.yax D.y5ax 【解析】 显然，直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 ykx， 由ykx，yx22ax，得交点坐标为(0，0)，(2ak，2akk2)， 所以图形面积 S02akkx(x22ax)dx k2a2x2x332ak0 （k2a）32（2ak）33 （2ak）36. 又因为 S92a3，所以（2ak）3692a3， 解得 ka，所以直线 l 的方程为 yax.故选 A. 【答案】 A 3.一个半径为 1 的球可以看成是由曲线 y 1x2与 x 轴所围成区域(半圆)绕 x 轴旋转一周得到的，则球的体积为_. 【解析】 V11(1x2)dx 11(1x2)dx111dx11x2dx 22343. 【答案】 43 4.已知曲线 C：y2x33x22x1，点 P12，0 ，求曲线 C 的过点 P 的切线l 与曲线 C 围成的图形的面积. 【解】 设切线 l 与曲线 C 相切于点 M(x0，y0)，由于 y6x26x2， 所以有6x206x02y0 x012，y02x303x202x01， 解得 x00，于是切线 l 的斜率 k2， 方程为 y2x12，即 y2x1. 解方程组y2x33x22x1，y2x1， 得x32，y2或x0，y1.故切线 l 与曲线 C 围成图形的面积为 S032|2x33x22x1(2x1)|dx 032|2x33x2|dx， 即所求面积为2732.