高一数学必修1知识点总结46147

高中数学必修1 知识点第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用；第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用；第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：2、集合的中元素的三个特性：（ 1）元素的确定性；（ 2）元素的互异性；3、集合的表示：（ 3）元素的无序性（）列举法：（）描述法：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）N ； 正整数集5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 不属于集合A 记作 aAN*或 N+ ； 整数集 Z ；有理数集Q； 实数集a 是集合 A 的元素，就说a 属于集合A 记作Ra A，相反，6、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系集合相等，子集，真子集，空集等定义规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1 交集、并集、全集与补集的定义2. 性质： A A = A ，A = , A B = B A，A A = A ， A = A , A B = B A. CU(C UA)=A (C UA) A= (C UA) A=U(4)(C UA) (CUB)=C U(A B) (5)(CUA) (C UB)=C U(A B)二、函数的有关概念1函数的概念： ( 看课本 )注意： 1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间 的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据 是： (1)分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 . （ 6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .( 注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同( 两点必须同时具备 )函数图像A、描点法： 根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换 :（ 1）将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到y= f(x) 的图象如：书上P21 例 5x（ 2） y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 yax与y a x1a（ 3） y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 ylog a x与 ylog a xlog 1xa、平移变换 :由 f(x)得到 f(x a)左加右减；由 f(x)得到 f(x)a上加下减(3) 作用： A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念与表示5映射定义 ：（看课本）说明 : 函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射f ： A B 来说，则应满足： （）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6、函数的表示法：解析法；图象法；列表法注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值* 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （ 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集*如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(xA), 则 y=fg(x)=F(x)， (x A) 称为 f是 g 的复合函数。7函数单调性（定义）（ 1）增函数注意： 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间 D 内的 任意两个自变量 x ，x ；当 x x时，总有 f(x)f(x ) （或 f(x) f(x2) ）。1212121（ 2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：u=g(xy=f(u)y=fg(x1 任取 x1，x2 D，且 x1 0 （ C 为常数）时，yf ( x) 与 yC gf (x) 的单调性相同；当 C 0 （C 为常数）时， yf ( x) 与 yC gf ( x) 的单调性相反；函数 f ( x) 、 g( x) 都是增（减）函数，则f ( x)g ( x) 仍是增（减）函数；若 f ( x)0, g( x)0 且 f (x) 与 g( x) 都是增（减）函数，则f ( x)gg( x) 也是增（减）函数；若 f (x)0, g( x)0且 f (x) 与 g(x) 都是增（减）函数，则f ( x)gg (x) 也是减（增）函数；8函数的奇偶性（定义）偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定 f( x) 与 f(x)的关系； 3作出相应结论：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) =0 ，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) =0 ，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称， (1)再根据定义判定 ; (2) 有时判定 f(-x)= f(x)比较困难，可考虑根据是否有 f(-x) f(x)=0或 f(x)/f(-x)= 1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定.函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称 .若 f ( x) 为偶函数，则f (x)f (x)f (| x |) .若奇函数f (x) 定义域中含有0，则必有 f (0)0 .定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成 “一个奇函数F (x) 与一个偶函数 G ( x) 的和（或差）” . 如设 f (x) 是定义域为R 的任一函数，f ( x)f ( x)， G( x)f ( x) f (x) .则 F ( x)2“内偶则偶，内奇同外” .2复合函数的奇偶性特点是：既奇又偶函数有无穷多个（f (x)0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.9、函数的解析表达式（ 1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（ 2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10函数最大（小）值（定义见课本p30 页）（ 1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（ 2） 利用图象求函数的最大（小）值；（ 3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间 a ，b 上单调递增， 在区间 b ，c 上单调递减则函数y=f(x)在 x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间 a ， b 上单调递减，在区间b ， c 上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值f(b)；第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算（这部分初中接触过，要注意分数指数幂的运算）（二）指数函数及其性质0a1图像定义域 R ,值域（ 0， +）（ 1）过定点（ 0， 1）, 即 x=0 时， y=1(2) 在 R上是减函数(2) 在 R上是增函数性质（ 3）当 x0 时 ,0y0 时 ,y1;当 x1当 x0 时 ,0y 0 ， a 1 1 ，M 0 ， N 0有：1、Mlog a Mlog a N2、 log aN3 、 log a M nn log a M（ nR）注意：换底公式log a blog c blg ba 0, a 1,c0, c1,b0log c alg a log a b1 log a b ?log b c ? log c dlog a d log am bnn log a blog b am（二）对数函数（概念）对数函数的图像与性质：对数函数y log a x(a0 ，且 a 1)0 a 1log （ M ? N ） logMaalog a Na 1yy图像0(1,0)x0(1,0)x定义域：（ 0，）值域： R过点 (1 ,0),即当 x 1 时 ,y 0性在(0,+ ) 上是减函数在(0,+ ) 上是增函数质当 x1 时， y1 时， y0当 x=1 时， y=0当 x=1 时， y=0当 0x0当 0x1 时， y0;a当 a,b 不同在 (0,1)内，或不同在 (1,+ )内时 , 有 logb0 ；当 a,b在 1 的异侧时 , logb 0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用1=log aa ，用 y=1 去截图象得到对应的底数。xa且 a 1) 互为反函数，图象关于y=x 对称。、 y=a (a0 且 a 1) 与 y=logx(a0（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x 是自变量，为常数2、幂函数性质归纳（ 1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（ 2） 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+）上是增函数特别地，当1 时，幂函数的图象下凸；当0 1 时，幂函数的图象上凸；（ 3） 0 时，幂函数的图象在（0， +）上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时， 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 +时，图象在x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴3、比较大小： (1)利用函数单调性 ( 同底数 ) ； (2)利用中间值（如 :0,1. ）； (3)变形后比较；(4)作差比较第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点 的概念：对于函数y=f(x),使 f(x)=0的实数 x 叫做函数的零点。 （实质上是函数y=f(x)与 x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程 f(x)=0有实数根 ? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ?函数 y=f(x)有零点3、零点定理 ：函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的，并且有 f(a)f(b)0,那么函数 y=f(x)在区间（ a,b ）至少有一个零点c，使得 f( c)=0, 此时 c 也是方程 f(x)=0的根。4、函数零点的求法：求函数 y=f(x) 的零点：（ 1） （代数法）求方程f(x)=0的实数根；（ 2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点： 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0) 1） 0，方程 f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点2） 0，方程 f(x)=0有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0，方程 f(x)=0无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点二、二分法1、概念 ：对于在区间 a,b上连续不断且 f(a)f(b)0的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间 a,b,验证 f(a)f(b)0，给定精确度；求区间 (a,b)计算 f(c),的中点c;(4)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0,则令 b=c（此时零点x0(a,c)）若 f(c)f(b)0,则令 a=c（此时零点x0(c,b)）判断是否达到精确度：即若|a-b|0）的根的分布两个根都在（m,n ) 内两个有且仅有一个在（m,n) 内x1 (m,n) x2 (p,q)ymmnn p qn xm0f ( m) 0bf(m)f(n)0mf ( n)0n2 af ( p)0f( m )0f( n )0f ( q)0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kykkxk00f(k)0bkbk2 a2 af ( k)0f ( k )0