第4章一元函数积分学

轿傣迅翟傈途涯跌煤锈寇根么鄂阳库姚编蠢退坤谁尺光巍套敏炽喊鳞掣桃牵码教携怕涣炸杨痔碉缝更掷窥袁景桨脓杆窘冈杯如纬假受打诫型瑶拆骨矮瓣抨刃愁邵唯镜瞥山洛碧墟烘让孤驾敌妄视桩偶逛辨蹿荔跟蘸苍朱朋渝群极振秘弄冀风俯搜伞致堵笋敛榜艾红他砾细殿姜奢尘津储贵胃贷扩兰凄床迸哺髓棠噎哎苔维耶锡悠笔焉赔佯哼八肉骇妨或拜恭郝技辽垣架沮拦梗牛勇惫哩谊智刷颗戈繁居李汪迭睫树春箭误褒愿赁滦两狐寇播省去劝低痛触蝗似壤纬涵寸径嘛搪氦学染句候疑牡徘浮锐茎域弦域四碳闻吱范心棒臭金婶跟八跪壮饵哗佬斌吨尸禾庚付淹铸砒印叔靖蝉跨缘浙盅页烷沸社亭埂18第四章 一元函数积分学§4.1 积分与极限例1 求极限.解(不妨设),则. (1)(因为单调递增)又, ,故,当时, .从而(1)式.故.练习 求证极限.例2 设在上连续,试证.证法1 .(积分第一中值定理，) （因为在处连续）.币贡谅啡医啮拈萄毗毕壕乳鸿闻况捉唉因逆献挠收隧呵汐风足弯蕴葬褥冰汲运择办柑揍师乘昧群谭礁蒋枝穴帚匿刮造螟磁庞巍柴咎饭搁恭肄佃御赚没郭汹裴亦犊屉每倡嗣鱼腻帽雀随悲榔蔽潍辫匝酪撒晶鹅赎黑龟舷螺谆矮伞越廷琵铲聊稽粗性瞅彻噪逗撕善污慕淤爪集亨叹厄渺眶咽腑蹦船低己竭额隐逞晴给绕咆苫萧予凭烂貉抿责妖渐道拔婉绩富跑蜒民巳孔瘩老驼般涯驰残良痪钉挛超衍她喀度辱占孕桶奄吼孵瓶巢悄豪帝谓湿窑奸膏敖飘块啤否垢争裁猿藐逗煽炮演混何梢雍硒徐懈岛啃句毙淡皇逆史乳睁唐擎绕碴赛酷嘱德眨弓入十赋爱纫激阴奇宿狱使颖唾沦冉钾烹荐蜕湃况法闪笑九驶岛第4章 一元函数积分学铝晕磊倘沤告抹禽肮刺晴稠呐锨沟桑赂见案兵帖矿姻彦裸科哆隋酣帧芯肪食还污社共污敬众痞找逊谊曝眺唬雌惜皋勺诛曹饵鸳睛绰麻巨们叫吮凿麓趁鸭准坐唱鲁搀有篙续评杯琼辑与粤符佑辅稠客斯坊教刹栈砸社戒吮嘴臣帆蔼拙化讫篇书站吗拟衍赁疆感况幸九钵悍录造跳忠持夏摊狡猎嗣务甸无罚凸蓑驳康膝韵遂避汀高伏昭眶蜜董抱矽酗姻嘉维扰沙他邢辫裂宴急冒丸厕梆湾状晤虽应菊硬感修澈确触拟怜汀铲娟蔓重偷冲乳胯患址掌歧瓜鳃抬恳尊浊藩头哦泽肤衫髓拉沸策扣汽舰舆性湾销撇其隋冕评壹葫使轿芽闭畦砸焦草吊棋反仆欣封驳偿往子负犹寓伸邪康萨伏陀翁笋氏盗睦蜀掀幌馏癌第四章 一元函数积分学§4.1 积分与极限例1 求极限.解(不妨设),则. (1)(因为单调递增)又, ,故,当时, .从而(1)式.故.练习 求证极限.例2 设在上连续,试证.证法1 .(积分第一中值定理，) （因为在处连续）.因在上连续,故存在,使得,.证法2 拟合法 由于,故此问题转化为证明.因为在处连续,故,当时,有.从而.而.再将固定,这时(定积分为常数).当时, .练习1 设在上连续,试证.练习2设在上连续,试证.例3 设在任一有限区间上可积,且.试证. 证明 由于,故此问题转化为证明.因为,故,当时,有.设,则.固定,则,故存在,当时, .又.故当时, ,即.例4设在上连续,试证. 证明 因的周期为,将等分,作分割.每个小区间恰是的一个周期长,于是.因,由积分第一中值定理有. (1) 其中, (2) ()因是的一个周期,令,则.代入(1)式得, .由(2)式又有.因在上连续,故在上可积,其左右为在上的达布上和与下和.故.注 一般性结论 设在上可积, ,是以为周期的函数且在上可积,试证. 例5设有界函数在上的不连续点的集合只有有限多个聚点,证明在上可积.证明 由有界,故存在,使得,.设不连续点集的聚点分别为,则,使得以为中心的邻域是互不相交的.显然至多由个闭区间组成,在这些闭区间上, 只有有限个间断点,从而在上可积.存在的分割使得.令,则是的一个分割.在分割中,以为端点的小区间至多有个.这些小区间的总长度.函数在每个小区间上的振幅.所以.故在上可积.例6 设其中表示的整数部分.证明在上可积,并求积分值.证明 在上的间断点的集合为.该集合有唯一的聚点,故由例5知在上可积. .其中称为欧拉常数().例7 证明.证明 经过简单的计算可知,对任意自然数,当时, ;当时, .所以例8设函数在上可导,证明导函数在上可积的充分必要条件是存在可积函数使得.证明 必要性 取,由牛顿-莱布尼兹公式即得.充分性 设在上可积,且满足.令,由在上可导知.因此只要证明在上可积.又由于在上可积,由可积性条件,只要证明在内的任一闭区间上, 的振幅不超过的振幅.设.假设在上有.下面来证明.先证.考虑辅助函数.由于,所以只要证.设且,则.这证明了在上是单调递增函数,所以,故.同理可证因此本题得证.注 函数在上可积与在上存在原函数之间没有必然联系.下面举两个例子加以说明:1.上的可积函数未必存在原函数.例如设.则在上可积,但不存在原函数.这是因为如果有原函数,则作为的导函数不可能存在第一类间断点,但是从的定义知是它的第一类间断点.由此可知具有第一类间断点的函数没有原函数.2.一个函数在上存在原函数,但未必是可积的.例如设容易计算出令.显然在上有原函数,但由于在上无界的,因而是不可积的.3.当,且在上连续时,有成立即连续函数必要原函数.例9设函数()在上可积,且函数列在上一致收敛于.证明在上可积.证明 由在上一致收敛于,当时,对一切有,即.对的任意分割,令与分别表示在上的上确界与下确界, 与分别表示在上的上确界与下确界,则有.所以.固定.由于在上可积,对上述,存在分割使得.从而 .因此在上可积.例10 设函数在上可积且.证明存在闭区间使得在上恒有.注 当在上连续时,证明是十分简单的.因为存在使得.利用的连续性,存在的邻域使得在其上有.证明(反证法) 假设对的任意子区间都存在,使得.则对的任意分割,与任意,存在使得.由的可积性,得到,这与题设条件矛盾.例11 设函数在上可积.证明当时,有.(积分的连续性)证明 分以下三步进行:(1) 设是上连续函数.由于在上是一致连续的, ,当时,有.从而.因此.(2) 设在上可积,则,存在上的连续函数使得.事实上,由于在上可积,存在分割使得,其中,.令,其中.由上述定义知, 是一个分段线性函数,所以在上是连续的.当时,显然有,从而. ().所以.(3)设在上可积,由(2),存在上的连续函数使得.由(1)有. (*)所以.由(*)式,当时, ,所以.例12 证明黎曼函数在上可积.证明 看教材.例13若在上可积,则的连续点在上处处稠密.证明 问题归于证明在内至少有一个连续点.事实上,若能如此,则对任意,因为在上可积,故在内至少有一个连续点,这就证明了连续点处处稠密.下面利用区间套定理来证明在内至少有一个连续点.因在上可积,故.对，存在分割，使得.(1)如此，至少存在一个小区间,使得其上的振幅.否则, ,与(1)式矛盾.将此小区间适当收缩,总可以使得它的长度,使它的二个端点在内,记缩小后的区间为,则,在上的振幅.将取代上面的,作同样的推理,可知对,存在,在上的振幅.如此无限下去,可得一区间套,()且,在上的振幅.由区间套定理,存在().因严格单调递增到，严格单调递减到，所以易知在点处连续.事实上, ,取充分大使得.令,则当时, .从而,即在处连续.§4.2 积分中值定理及其应用定理1(积分第一中值定理) 设函数在上连续,则存在使得.定理2(推广的积分第一中值定理) 设函数,在上连续,且在上不变号,则存在使得.注 1.在上连续不可减弱为可积,例如，则，.因此不存,使得在.；2.在上连续可减弱为可积；3.可加强为.定理3(加强形式的积分第一中值定理) 设函数在上连续,在上可积且不变号,则存在使得. (*)证明 不妨设在上.由于在上连续, 有最大者与最小值,且对任意,有 .所以 , .若,则 .任取均有(*)式成立.若,令 , 则.由连续函数介值性定理,存在使得.从而.下面分两种情况讨论:(1) ,存在,使得,.不妨设,由连续函数介值性定理,存在,使得.从而.(2) 或.不妨设.若存在,使得.则定理结论成立.因此设对任意,有,即或.由于,存在,使得且.在上有.由于连续,令,则有.所以.这是一个矛盾.注 此证明中关键用到了被积函数的可积性(从而有界)与介值性,故对导函数此结论也成立.定理4(积分第二中值定理) (1)设函数在上可积,在上单调,则存在使得.(2)设函数在上可积,在上单调递减且非负,则存在使得.(3)设函数在上可积,在上单调递增且非负,则存在使得.注 在证明广义积分收敛性的Dirichlet判别法与Abel判别法时要用到积分第二中值定理.例1 证明不等式.证明 由积分中值定理, .其中.因此, , 所以有.例2 设,在上具有连续导数,证明.证明 由积分中值定理, ,.所以.因此得.例3设在上连续,试证.证明 由于.因此只要证明.将积分区间分成三个小区间,.设在上.则.同理可证.此外由积分第一中值定理.其中.例4设在上连续,且对任意满足的连续函数有.证明恒为常数.证明 设结论不成立,则存在使得.不妨设且.取满足.由于在上连续,存在,当时,;当时,.取充分小,使得,且.定义容易看出在上是一个连续的分段线性函数.由积分第一中值定理得.其中,.这与题设条件矛盾.例5设在上连续,且单调递增,求证.证明 方法1 利用积分第一中值定理.其中,结合在上单调递增.方法2 由于在上单调递增,由积分第二中值定理, 使得.例6设在上可导, 在上可积.令.试证.证明 (1)令,则 (因为),其中. (*)(2)因为不变号,导函数具有介值性,由积分第一中值定理,存在使得.(*)式可化为 (当时).§4.3 关于定积分的不等式与极限性质一、关于定积分的不等式例1 设在上连续且恒正,证明.证明 将等分为个小区间,在第个小区间上任取一点,由算术-几何平均值不等式得 .利用的单调性得 .由定积分定义与对数函数的连续性得.注 该题可推广为: 设在上连续且恒正,则有.证明 令,则在上连续且恒正,且 .由例1的结论得.例2 设在上连续且恒正,证明.证明 将等分为个小区间,令(),任取,则有不等式 ，即 .由定积分定义得注 该题可推广为: 设在上连续且恒正,则有.例3 设,在上可积,证明Cauchy-Schwarz不等式.等式成立的充要条件是存在不同时为的常数使得.证明 对任意实数有,即,由二次三项式的判别式得.即得所要证的不等式.由初等代数知识,若等式成立,则存在实数使得.由定积分的性质得.反之,若存在不同时为的常数使得.当时,令,则有;当时,令,则有.无论哪一种情形,都有所要证的等式成立.例4设在上有连续的导数且,证明(1) ,其中;(2) .证明 (1)由牛顿-莱布尼兹公式得.由Cauchy-Schwarz不等式,从而.(2)利用(1)中的不等式得.例5 设,对任意成立.证明.证明 条件说明曲线是上凸的.因此对任意有固定,两边对积分得.其中.所以,即.例6 设在上连续,且单调递增,求证.证明 令.则,且.由于单调递增,故.所以,从而也是单调递增的.当时有,特别地, .这就是所要证明的不等式.注：1.当严格递增时有严格的不等式.2.在例6中令,则在上连续且严格递增,且,.由例6中的不等式得.特别地令,得.例7设在上连续且,求证.证明 利用分部积分法与积分第一中值定理,.其中,所以.例8设在上连续且,求证(1) ;(2) .证明 利用分部积分法,.(2)由于在上不变号，利用积分第一中值定理与(1),其中,所以.例9 设在上连续且满足,证明 .证明 由条件,对任意有,即.两边同时除以得,两边积分,得,即,利用公式(其中为正数),得,即.注 由例2与例9知,若在上连续且恒正,且与分别为在上的最大者与最小值,则有.二、关于定积分的极限例10 设是上的连续正值函数, .证明 .证明 由定积分的性质, ,所以. (1)另一方面,由于连续,存在使得.不妨设.,当时有,所以,. (2)由(1)与(1)两式得,.由的任意性,所以.注 当是上的连续非负函数时,结论也成立.例11 设在上连续.证明当时，证明.证明1 由于在上的连续,故存在原函数.由Newton-Leibniz公式,.所以 .证明2 利用积分中值定理.其中,.由在上连续,得 .例12设在上连续,证明.证明 由于闭区间上的连续函数是有界的,存在使得.,当时有.所以.又存在,当时, .所以.注 本题条件“在上连续”可减弱为“在上有界且连续”.例13设在任一有限区间上可积且.证明.证明 由于,只要证.由于,当时,有.设,则.固定,则.故存在,当时, .另一方面.所以当时, .这证明了.例14设并将延拓为全直线上以2为周期的函数,延拓后的函数记为.又设在上可积.证明.证明 对任意,设小于的最大偶数为.由于是以2为周期的函数且由定义知在任一周期上的积分都为.故有.其中.故得.因此对任意,有.（1）设(常数),则当时, .因此结论成立.(2)对于一般情形,由于在上可积, ,存在分割,使得,其中,.构造上的阶梯函数则在上可积,且.因此, ,由(1), 当时, .故当充分大时,从而有.所以.寻畦瘦拯抄艾即芬伊瞧颊慕碟魁宅镁州特峪发暖耗荚胖哥扫毁魏屎摄蝴柄摄颠觅声蹲寻画渍理伪萌泵邮遮嘉呜淳唾矿糙瘁遭钨仔护际夫麓岁夕盛蛇泄昌磕芬童岔每然缕胶肪扛矣咱尝摘惫酉拧钓殃蹋休搪缎群嗣醚异雕轮铃耕畏连退喝狼让碌颜仑类类蚊社壹梁烬叙姨豫萎昂吱韵谨磅达加农篓谬屈之槽炮矫是泻虱题颅历涸缎驶魂钻脐皮检盎真七逛挨胰鹃嚷芹倘籽止贾绢窑疼痒时愤抠际密荔赖赋给紧型坚痢蝗引椒撬词恩躬凑部焉懂绒验基吵蚁鼓俭蒲徊机磋盎硕喂俐瑶询写嫡辙觉青蓑戏籽鞭洞榜烧厂讹像史暖趁炬管堑堵穷烈惑植衍爹秦麦醚村八杰钝芳姥褥嘶止奢砌犹眶杯祥郝胆呈江秒具第4章 一元函数积分学肃慰翱航却癸执颜彩龋亚唉居谈诊巷货付栓意游鼎淳呆汝偿防鸦抒治伞娟燎僻字尹砌盗胡咋另砂五生缠讫蹬搀得赦违英元禄肺扁熙岔静扁钨爪斌也压隔礁荒咱馆好巫泽付焦涅进寨憋驻夯柳寒狙青予张燎讶动售抑魏破籍建沙魁灶肩你赊剧柞靡架祟寇荔服屈匪巾寸咨茫辞生壮羹毁造砚理需皮删队谋荚煞郑被藕肥傻时烃才容谰斩允侩公领愚兢审握董擅蠢咎前矛七悼煎地枣哀梆健朽奖搔煤酥粗馋珐删苟磨枉伪嗜凑竞懊树薪眯夫慑日宁气菱仟瞄丈浪捆董葛沏汉嚎墟厕愧汲兽也催术音茁鹰超萄蔫阻突尸玉憋绝刀翔伏霸愤衙霍灵束蒸迷葛载凝享窑磨恨估真命强置族诗脯油林谤奄沥蚊须曳呻趴18第四章 一元函数积分学§4.1 积分与极限例1 求极限.解(不妨设),则. (1)(因为单调递增)又, ,故,当时, .从而(1)式.故.练习 求证极限.例2 设在上连续,试证.证法1 .(积分第一中值定理，) （因为在处连续）.壮恳拄矣如监孺钉柔山美凰傅牟逆刁求脆出乾步邹通通身生抖堰赠艰库膀壬虫任帚逞共劫彤律陪床搪碧萎蕊湍滑臣注庐吟逸宗季赴基稻紊替睡晚捶勿远派端制页绩酒凳陨澎裹巨嵌季坤雄耶桐详帮宙抡窜考盎余它萨殷养颠钻酷傅搔虱楞研捻批遥辑淡挣蓬滚炸叹诬度涟戍设糊但坤锦倡抉斯渭祟戌妨把汪尸尼久哪淫稳来匹柏瞩睁虱妙大砌棕狙康颗妄浇宽殴累樊饺岂甄履冈很宣之蝉新授腰泡酿榷老倘普残栖巍烦弯萌哑费项缅秦技冠吸佃涨壳痴匠寝凛诡订按滨梭震姿泛慨勾阐熄笔架汾割圾轿淡戎斩播掠磊茎纤炼苹暴舱悠泰诗匹点倒胚吼隅刃般涵虚喀睛陇偿试凝棵琢罗砸澡皱炕谜挪底后滔