新版高中数学北师大版选修22教案：第1章 聚焦反证法

新版数学北师大版精品资料聚焦反证法反证法是间接证明的一种基本方法，常常是解决某些“疑难”问题的有力工具对于一些用直接证明的方法难以证明的结论，常采用反证法熟练掌握并运用反证法，对提高同学们的解题能力大有裨益下面就反证法的要点进行归纳整理1定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾它可以用下面的程序来表示：“否定推理矛盾肯定”“否定”假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立“推理”从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理“矛盾”通过推导，推出与实际“需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等“肯定”由于推理过程正确故矛盾是由假设所引起的，因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的3应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法4宜用反证法证明的题型：易导出与已知矛盾的命题；一些基本定理；“否定性”命题；“惟一性”命题；“必然性”命题；“至少”、“至多”命题等5注意事项：（）应用反证法证明命题时，反设必须恰当如“都是”的否定是“不都是”、“至少一个”的否定是“不存在”等（2）用反证法证明时最好在开篇注明“下面用反证法证明”，以告知读者按反证法的思路阅读或评卷下面举例说明“反证法”在证题中的应用例1设的公比分别为假设是等比数列，则有只需证由于，而从而有，而，故有，即，这与已知相矛盾因此假设不成立，故不是等比数列点评：当遇到结论为否定形式的命题时，常常采用反证法例2求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交已知：平面，如图1所示求证：直线和平面相交证明：假设和平面不相交，即或（1）若，因为，所以，这与相矛盾（2）如果，因为，所以和确定一个平面，显然平面与平面相交设，因为，所以又，从而且故，这与矛盾由（1），（2）可知，假设不成立故直线与平面相交例3求证：正弦函数没有比小的正周期证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数都有成立令，得，即，从而对任意实数都有，这与矛盾所以正弦函数没有比小的正周期例4今有50位同学，男女各一半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位同学左右两侧的两位同学为一男一女？证明结论解：不存在这样的座位安排证明：假设存在这样的安排，则每一位同学必与一同性别的同学相邻，若以表示男同学，表示女同学，则每一对相邻而坐的男性（女性）同学的左右两侧必为两对相邻而坐的女性（或男性）同学，如图2所示，因此男性或女性同学数应是偶数，这和男性或女性同学数各占25矛盾，所以这种安排方法不存在