高中数学北师大版必修5 第三章3.2 基本不等式与最大小值 作业 Word版含解析

学业水平训练 1已知 a，bR，且 a2b24，那么 ab( ) A有最大值 2，有最小值2 B有最大值 2，但无最小值 C有最小值 2，但无最大值 D有最大值 2，有最小值 0 解析：选 A.这里没有限制 a，b 的正负，则由 a2b24，a2b22|ab|，得|ab|2，所以2ab2，可知 ab 的最大值为 2，最小值为2. 2若 x4，则函数 yx1x4( ) A有最大值6 B有最小值 6 C有最大值2 D有最小值 2 解析：选 B.x4，x40，yx1x4(x4)1x44246.当且仅当 x41x4，即 x5 时，取“”号 3已知 x、y 为正实数，且 x4y1，则 xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.116 D.132 解析：选 C.x、y 为正实数，xy14x4y14x4y22116，当且仅当 x4y 且 x4y1，即 x12，y18时取等号 4点 P(x，y)是直线 x3y20 上的动点，则代数式 3x27y有( ) A最大值 8 B最小值 8 C最小值 6 D最大值 6 解析：选 C.点 P(x，y)在直线 x3y20 上， x3y2. 3x27y3x33y2 3x33y2 3x3y2 326.当且仅当 x3y，即 x1，y13时，等号成立代数式 3x27y有最小值 6. 5将一根铁丝切割成三段，做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 解析：选 C.设两直角边分别为 a、b，直角三角形的框架的周长为 l，则12ab2，lab a2b22 ab 2ab42 26.828(m)故选 C. 6已知 x，y 都是正数， (1)如果 xy15，则 xy 的最小值是_； (2)如果 xy15，则 xy 的最大值是_ 解析：(1)因为 x，y 都是正数，且 xy15，由基本不等式得 xy2 xy2 15.当且仅当 xy 15时，取等号 (2)因为 x，y 都是正数，且 xy15，由基本不等式得 xyxy2215222254.当且仅当 xy7.5 时，取等号 答案：(1)2 15 (2)2254 7一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长 400 千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v202千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_小时 解析： 从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间 y400v25v202v400v25v4002400v25v40010.当且仅当 v80 时，等号成立 答案：10 8有下面四个推导过程： a，b(0，)， baab2baab2； x，y(0，)， lg xlg y2 lg xlg y； aR，a0， 4aa24aa4； x，yR，xy0， xyyxxyyx 2xyyx2. 其中正确推导过程的序号为_ 解析：从基本不等式成立的条件考虑 a，b(0，)， ba，ab(0，)，符合基本不等式的条件，故推导正确； 虽然 x，y(0，)，但当 x(0，1)时，lg x 是负数，y(0，1)时，lg y 是负数， 故的推导过程是错误的； 的推导过程中 aR，不符合基本不等式的条件， 故4aa24aa4 是错误的 对于，由 xy0，求证：x22x132. 证明：x0，x120，x22x1x1x12x121x12122x121x121232.当且仅当 x121x12，即 x12时等号成立 10用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为 h 米，盖子边长为 a 米 (1)求 a 关于 h 的解析式； (2)设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时，V 最大？并求出 V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度) 解：(1)设 h是正四棱锥的斜高，由题设，得 a2412ha2，h214a2h2，消去 h， 解得 a1h21(a0) (2)由 V13a2hh3（h21）(h0)， 得 V13h1h.而 h1h2h1h2. 所以 V16，当且仅当 h1h，即 h1 时，等号成立 故当 h1 米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米 高考水平训练 1在区间12，2 上，函数 f(x)x2bxc(b，cR)与 g(x)x2x1x在同一点取得相同的最小值，那么 f(x)在区间12，2 上的最大值是( ) A.134 B4 C8 D.54 解析：选 B.g(x)x2x1xx1x13，当且仅当 x1 时，等号成立，即当 x1 时取最小值 3，所以 f(x)的对称轴是 x1，所以 b2.再把(1，3)代入即得 c4.所以 f(x)x22x4，易得在12，2 上的最大值是 f(2)4444. 2若实数 a，b，c 满足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，则 c 的最大值是_ 解析：2a2b2ab， 2ab2a2b2 2a2b2 2ab，即 2ab2 2ab. 2ab4. 又2a2b2c2abc， 2ab2c2ab2c，即 2c2ab()2c1 . 2c2c12ab4，即2c2c14，432c2c10， 2c43，clog2432log23， c 的最大值为 2log23. 答案：2log23 3(1)若 x、yR，且 2x8yxy0，求 xy 的最小值； (2)若 x1，求 yx23x3x1的最小值 解：(1)由 2x8yxy0，得 2x8yxy， x、yR，2y8x1， xy(xy)8x2y108yx2xy1024yxxy10224yxxy18. 当且仅当4yxxy，即 x2y 时取等号，又 2x8yxy0， 当 x12，y6 时，xy 取最小值 18. (2)法一：yx23x3x1（x1）2x2x1 （x1）2（x1）1x1(x1)1x11. x1，x10.y(x1)1x11213. 当且仅当 x11x1，即 x0 时，函数有最小值 3. 法二：令 x1t，则 xt1. yx23x3x1（t1）23（t1）3t t2t1tt1t1. x1，tx10. yt1t12t1t13. 当且仅当 t1t，即 t1，即 x0 时，函数有最小值 3. 4 某工厂拟建一座平面图为矩形， 面积为 200 m2， 高度一定的三段污水处理池(如图) 由于受地形限制，其长、宽都不能超过 16 m，如果池的外壁的建造费单价为 400 元/m，池中两道隔墙的建造费单价为 248 元/m，池底的建造费单价为 80 元/m2，试设计水池的长 x 和宽y(xy)，使总造价最低，并求出这个最低造价 解：设污水池长为 x m，则宽 y200 x m，且 0 x16，0200 x，设总造价为Q(x)，则 Q(x)400(2x2200 x)2482200 x80200800(x324x)16 0001 600 x324x16 00044 800.当且仅当 x324x(x0)，即 x18 时取等号，44 800 不是最小值 又0 x16，0200 x， 10 2x16，而 Q(x)在(10 2，16上单调递减， Q(x)Q(16)800(1632416)16 00045 000(元) 故水池长为 16 m，宽为 12.5 m 时，其总造价最低，最低造价为 45 000 元