数学学习诀窍

数学学习诀窍听一遍不如看一遍,看一遍不如做一遍,做一遍不如讲一遍,讲一遍不如辩一辩数学教学心理学(喻平编著)第一章 数学教学心理学研究的历史沿革1.1国外数学教育心理学研究概况数学教育心理学作为专门研究领域始于20世纪70年代。在第3届国际数学教育大会（ICME）召开期间，国际数学教育心理学组织（PME）于1976年在德国的卡尔斯鲁厄成立，第1届数学教育心理学大会与1977年由弗赖登塔尔（Freudenthal）在荷兰的乌特列支组织召开。1.1.1代数的教与学的研究代数的教与学的研究始终是数学教育心理学共同体研究的重要分支，从1977年第1届数学教育心理学大会到2005年第29届数学教育心理学大会，这个期间共有33篇关于代数研究的报告。早期的研究主要关注代数的概念和过程、解代数应用题以及从算术学习转变到代数学习过程中学生所遇到的困难。字母、符号的学习是被研究的主要课题，用于分析研究数据的基本理论框架多源于皮亚杰（Piaget）的认知发生原理。随着进一步的研究，研究的范围进一步拓展，它涵盖了表征符号、技术工具的应用、关于代数内容的不同观点，以及用于思考代数学习、教学和用于分析数据的各种不同理论框架。 1.算术学习到代数学习的转变早期，一般把代数课程看成是给定的课程，主要关注学生在遇到代数符号和代数运算时的思维和方法，因为从算术向代数的转变过程中，这些符号和记号的意义会发生转变。早期关于学生解释代数符号方式的研究趋向于关注认知水平，关注算术体验和思维方式，关注符号应用的困难，如带有乘法意义的等号，以及括号的使用。早期很多研究都关注初学代数的学生解方程的方法：本能方法，包括使用数字事实、计数技巧以及隐藏法。尝试错误法。标准方法。学生在解方程中所出现的错误也是研究者的兴趣所在，例如，忽视将这一对数字结合起来的减号运算；方程变形的错误，以及错误的检验行为。之后，研究已经开始深入探究学生解不等式的方法，学生解方程组的方法，他们发现已经学习过一元一次方程的学生更乐于使用“加减法”而不是“代入法”。在解应用题的过程中，有学者探讨了真实的、现实的情境影响，也研究了在解决长度和面积问题的过程中，画不正确的直线图所导致的后果，他们发现：真实性因素和画图活动对学生的解题活动没有产生有益的影响，事实上，真实问题反而使学生远离了问题潜在的数学结构。建构主义的理论框架在20世纪80年代得到了蓬勃发展，建构主义认为知识是认知主体主动建构的，而不是从环境中被动接受的，这个观点吸引了众多数学教育心理学研究者的研究兴趣，这一理论也使得代数研究者把注意力从学生所犯的错误转移到他们是如何理解代数概念和过程的。尽管研究的焦点仍然属于认知的范畴，但是它比早期的研究范围要更为广阔。 20世纪90年代，社会文化理论观点在数学教育心理学共同体之外发展起来，并开始在数学教育心理学共同体内形成。对于很多从事代数教学心理的研究者来说，较为早期的建构主义、认知方向的研究开始转向研究影响代数学习的社会因素分析，并开始对文化工具的调节作用产生兴趣。这种转变也导致课堂文本的研究得到迅速发展，课堂文本的研究开始关注教师与学生、学生与学生之间的互动。 2代数学习中工具的作用20世纪80年代，代数研究主要关注字母和符号，这种研究开始经历一些变革，尽管函数研究在最初几年一直被认为是一个独立的研究领域，但是，这两个领域的研究开始在代数已经领域中发生了融合。带有图形的、表格的、符号表征形式的函数开始被看成是真实的代数研究对象。尤其是图形表征形式开始被看成是融合字母-符号表征形式和意义的工具。有些数学家和数学教育家主张：计算技术对中学数学和大学数学的内容和难度可能会产生重要影响。早期一些富有远见的研究者就已经提出了这一观点，即在数学教学中，计算技术有利于更为全面地整合数学对象的多元表征形式。对这个时期的研究产生重要影响的是技术工具的应用，技术工具可以应用于代数学习中。技术工具的使用不仅促进函数研究从多元表征形式研究向学校代数领域发展，也成功地扩大了学习代数的学生获得代数意义的源泉。代数不仅仅成为关于方程式和解方程式的研究，也逐步发展成为涵盖函数（及其表征形式）及其转变的研究，并且也涵盖了这些函数所能模拟的真实世界情境。社会-文化观点也被应用于学习研究设计和数据分析中，两者的综合产生了新的问题，这些问题主要涉及在课堂中用这些工具进行学习的本质以及不同参与者的作用。 3.代数思维研究主题涉及小学生代数思维，关注代数教师及教学，关注物理环境的动态模式和其他动态代数环境。随着以方程式为主题的代数研究逐步扩展到研究函数和各种各样的函数表征形式所模拟的真实世界情境，代数可以被更多的学生所理解，甚至小学生也可以理解代数，这个观点被不断地完善，关于小学阶段代数思维发展的研究，在20世纪90年代中期的数学教育心理学大会上首次出现。大约同一时间，关于代数教师的研究也发展迅猛。在数学教育心理学发展的整个过程中，代数学习者成为代数研究者关注的焦点。与此同时，20世纪90年代中期，研究主要关注代数学习中的动态环境、物理环境的探索和模式化与技术工具的整合，可以在这些研究中看到与技术相关的代数研究中出现的进展。新的技术观点正在形成，试图更加准确地思考代数学习的各个方面，这些方面正在被研究，尤其是手势、身体运动以及语言在代数学习中所起到的作用。早期的算术研究所关注的一些重要主题，大部分内容主要涉及自然数、数列以及计数的学习。皮亚杰理论、计数为主的方法，主导着关于自然数概念的研究，但是这两种方法并不是相互冲突的，在更广的理论视野中，它们是互补的。皮亚杰理论把逻辑推理看成是自然数概念建构的基础，而计数为主的方法则主张数字概念衍生于计数技巧，但是这种计数技巧形成于数量化的过程之中。研究涉及范围包括：第一，计算策略的认知分析，如儿童在个位数的乘法和除法研究领域中计算策略的特征和发展、儿童多位数的计算、学习成绩较差的学生所获得的简单的算术策略。第二，在不同环境中发展算术能力，关注3个主题：具有高度教育意义的环境的设计、应用和评价，这些环境兼容了数学专业知识的性质观和数学学习作为社会文化情境中的主动的、联合的意义建构的观点。教师知识、信念和活动在这类学习环境中的作用。校外情境中的算术知识和技巧的获得和使用，这些知识与技巧与学校数学存在潜在的联系，促进学校数学的发展。显然，所有这些内容不仅仅在算术领域中非常重要，在数学领域的学习中也是非常重要的。研究还涉及解决应用问题。为了考查学生如何解应用题，一些研究者始终关注基于图式测验的方法。这些方法充分应用了问题的图形表征形式，借此来测试或提高小学生所要学习的概念知识结构。同时，数学教育心理学研究共同体也越来越关注杂解数学问题的环境中认知和元认知（或者自我调节）策略的作用，以及不同类型的情感、情绪和信念之间的相互关系对解决问题的影响、开放性问题。数学建模也是一个重要的研究主题。主要强调问题的真实情境、解题策略和问题解决的态度。这些实验方案的共同特征包括：使用比传统教材中的问题更加实际的、更具挑战性的任务。教学方法和学习者活动的多样性，包括专家解题策略的模拟、小组研究和全班讨论的策略性因素。课堂环境的创造，这种环境有助于小学生进一步完善数学模式化的观点。促进小学生发展数学的信念和态度。 112几何与空间思维关于几何和空间思维的研究，主要关注的课题是思维水平、思维策略、视觉化、证明和技术等。1范希尔（Van Hiele）的几何思维模式范希尔夫妇提出了几何思维模式，这个模式由5个推理水平构成：认识（感知仅仅是视觉的）、分析（根据性质辨别图形）、分类或非正式的演绎（意识到性质的重要性）、正式演绎（建构几何证明）、严密性（这个要素表明从前一个水平进行运算和辨别是很困难的）。思维发展源自格式塔式的视觉水平，主要经过描述、分析、抽象和证明这几个水平，这些水平的复杂程度是逐渐增加的。范希尔夫妇认为：数学应该适应学生的思维水平，并提出了教和学的模式，这个模式提出了如何促进学生从一个思维水平发展到另一个思维水平的建议。随后，许多学者对范希尔的几何思维模式开展了不同侧面的研究。有人研究了这些思维水平的层次性，认为这些思维水平具有层次性，并ETAMT且是非连续的，每一个水平都取决于前一个水平的掌握，但是，布格（Burger）和沙尼斯（Shaughnessy）指出，这些水平是动态的、连续的，而不是静止的、间断的。范希尔的几何思维模式描述了学生几何能力的发展，因此对思维水平之间的转变就成为若干研究的焦点。有人认为很难对学生的思维水平进行分类，尤其是从水平2到水平3的转变，还有一些研究指出还存在一个更加基本的水平。这个思维水平要比范希尔的水平1（视觉思维）更为基本。 一些研究者已经提出了评价范希尔思维水平的不同方法，并且对这些不同方法进行了评价。古铁雷斯（Gutierrez）和詹姆（Jaime）对职前教师进行了多边形、测量和立方体的测验，并证明了范希尔水平1到水平4的层次性，但是研究者认为水平5（严密性) 要通过进一步的研究去确认。 2几何问题解决策略格杰里奥（Gorgorio）把空间问题的解决策略具体描述成以下几类：结构化策略，这种策略可以涉及过去的体验或者简化问题。过程化策略（视觉的或者语言的策略）。近似策略（整体策略或者部分策略）。她发现在使用结构化策略的时候存在一些性别差异。关于元认知策略的研究，有学者的研究表明，对于年纪较大的学生来说元认知策略对于他们解决问题的作用不大。有研究表明，在问题解决过程中，学生会使用各种话语和画图策略。他们以观察为基础作出简图，或者根据已知的概念形成一系列信息，通过画图和明确任务目标的方法可以简化一长串的信息。 3视觉推理古铁雷斯总结了关于视觉化的诸多争论。他注意到视觉化过程涉及以下几点：解释形成心理意象的外部表征。解释心理意象，从而生成信息。两种解释都得到视觉化能力的支持，如对图形的感知、心理旋转、空间位置的感知、空间关系的感知、关注除其他性质之外的图形性质的能力。这些视觉化过程（解释能力和视觉化能力）形成了视觉推理。一些研究者发现：学生使用图象来建构数学意义，并假设在数学课堂中，图像可以支持有意义的、联系性的数学发展。欧文斯（Owens）指出：在解决空间问题的过程中，年纪较小的 学生所使用的图像的范围是相似的。她把这些图像分成以下5个类型：初级的或者是正在形成的策略。感知策略（需要使用的材料）。静止的图像策略。模式和动态图像。有效策略（使用视觉知识和语言知识可以解释这个策略）。视觉图像是若干认知过程中的一个阶段，它有助于解决空间问题。其他认知过程是有选择的介入，如感知、聆听、观察、思维、概念化以及启发式方法，即确定问题的意义、发展缄默知识、自我监督和检验。在这个过程中，也伴随着成功、信心、兴趣、对开放情境的包容等情感因素。欧文斯研究的重要意义就在于这项研究是以课堂为依据的，这就表明在空间-视觉思维方面存在的分歧比之前所预测的还要大。近些年来，一些研究者已经把关注的焦点放在了动态几何技术上面。法国的格诺伯（Grenoble）研究小组，把动态几何软件的应用归纳为以下4种方法：借助于计算结果。使得画图变得更加简便，这类似于纸笔画图。使得数学任务变得更加容易，这种任务涉及猜测和归纳诸多例子，以期找到解决方法。改变要求使用性质而不是依靠感知来解决问题的状况。在动态几何软件环境中可以使学生获得新的数学任务。 113 高级数学思维20世纪80年代初，为了弥补之前数学教育心理学过度关注小学数学思维研究的缺陷，一些数学教育心理研究人员，主要是厄文克和塔尔（Ervynck，Tall），提出需要考虑“学校数学进一步促进大学数学的发展，并且使之与数学家的思维相联系”。这方面的研究最终促进高级数学思维（Advanced Mathematics Thinking ，AMT）研究小组的成立，该研究小组会议于1986年首次召开，并开始着手撰写同名学术专著高级数学思维（塔尔，1991）。因此，在数学教育心理学领域之内，从中学高年级的数学一直延伸至以定义和证明为基础的公理数学，其数学思维的整体范围被涵盖在术语“高级数学思维”之下。之后，在其他研究领域中，研究者就“高级数学思维”的意义各执己见，术语“高级的”是指数学，还是思维，还是数学和思维？事实上，正如斯腾伯格（Sternberg）在一本关于数学思维本质的著作中所做的结论那样，迄今为止，数学思维到底是什么还没有一个一致的说法。关于大学生学习不同特定主题的研究成果非常丰富，研究的范围包括计算法、线性代数、微分方程、函数、等价关系、超越数等。而且，研究者对数学家进行了观察和访谈，了解他们教授各种高等数学科目的情况，也对大学生进行了调查研究，了解他们对数学的教与学的看法，还探讨了数学专业博士生的学习经验。 1、概念意象和概念定义20世纪80年代初，当心理学家还在重新思考概念的本质和发展时，一些数学教育心理学者开始把关注的焦点转向数学概念是如何定义和如何使用之间的区别。维纳（Vinner）和赫什科威兹（Hershkowitz）提出了概念定义和概念意象这两个术语，以便于区分概念的正规的、公共的定义和个体相应的心理结构之间的差异，概念的心理结构由学生头脑中的所有相关例子、反例、事实和关系组成。概念意象是指与一个概念相联系的个体所具有的全部认知结构，它包括所有相关的心理图像、性质和过程。个体的概念意象建立在多年的经验基础之上，在个体遇到心得刺激时，概念意象会随之发生相应的变化。概念定义则被用来界定一个概念的语句形式。概念定义可以是个人的、也可以用正规的方式进行界定，用正规方式进行界定的就是概念定义，它在很大程度上被数学共同体机构化了，比如，极限的 定义就是一个例子。关于概念意象和概念定义的研究，研究者主要关心如何促进学生概念意象的发展，从而促进他们能正确理解正规的概念定义。学生的概念意象不仅包括他们已有的重要知识，也建立在这种知识基础之上。通过不同的经验，包括日常经验，学生可以获得这种重要知识，在对不同的相关数学任务做出反馈时，很多学生容易生成（部分的）自己的概念意象，而不是概念定义，这种趋势不一定是不好的。但是，很多数学概念，如一致的收敛函数序列的概念，都是通过正规的概念定义介绍给大学生的，并且使用这类定义给出正例和反例的能力有助于建立个体自己的概念意象。 2、数学定义和日常定义之间的区别德维利尔斯（De Villiers）认为定义有下列两种类型：描述性定义，它通过通过选择一些特殊性质，描述已知物体。在这种情况下，概念是人所熟知的，并且在之后才被定义。建构性定义，它根据熟悉的事物模拟新的事物。通过排除、归纳、专门化、代替或增加定义的特征，一个概念的给定定义发生了变化，这时建构性定义就会产生，在这个过程中，一个新的概念就会被建构出来。数学定义的特征包括以下几个方面：存在的（应该存在的一个例子）。非矛盾的（内部一致）。清晰的（定义一个唯一的概念）。与相同概念的其他定义是逻辑等价的。层次分明的（如仅仅根据基本的或者之前被定义的术语）。变化中的不变性，即表征的不变性。而且，定义应该：关注创造定义的目的。被很好地定义。以可用的形式被陈述。虽然他们对其他观点还尚未达成一致，但是他们认为定义应该是：最小的（简洁的、没有多余的条件）。精雕细琢的（很难清楚表达的、主观的标准）。学生容易理解的（教学思想）。为了观察中学数学教师和12年级的学生是如何看待定义的这些特征的，希尔（ Shir）和扎斯拉维斯基（ Zaslavsky）进行了一项研究，他们建构了正方形的8个等价定义，首先观察个体对这个问卷的反馈，然后再观察群体对该问卷的反馈，这项研究从属于一个更大型的研究。在这些教师中，关于为什么接受或拒绝所提供的正方形定义，他们给出的理由各不相同，21%的教师同意：“所有的长方形都有固定的周长，正方形是具有最大面积的长方形”；92%的教师同意：“正方形是一个四边形，在这个四边形中，所有的边都是相等的，所以的角度都是90度”。这两种定义对于正方形来说都是合适的。研究者认为：尽管这种活动被设计成一种研究工具，但是这种活动有助于创造丰富的学习环境，从而便于学生更加容易地发现数学定义的不同特征。 3、概念获得除了解释和理解形式的数学定义和使用下定义的活动，还有其他认识概念的方法，如比较这个概念的各种各样的等价定义、转变这个概念的（多元的）表征形式、认知这个概念的多元性质、生成与其他概念之间的联系。除此之外，个体可以获得给定概念的运算（过程）观，或者那个概念的结构（对象）观。前者意指一个更加具有计算性质和程序性质的观点，而后者意指一个更加正规的、静止的、类似于物体的观点。斯法德（Sfard）注意到，结构观念的形成是一个漫长而痛苦的过程，他假设结构观念体现在三个具有层次性的阶段：内化、凝聚、物体化。在内化阶段，学习者关注熟练地进行计算和解题过程（如用各种各样的特定函数进行代数运算）；在凝聚阶段，学习者更加注意把过程作为一个整体进行思考，而不是关注细节（如从输入和输出的角度观察函数）。概念获得的最初两个阶段发生的转变是逐步的，而物体化需要一种本体论的转变，即需要用一个全新的视野迅速辨别熟悉事物的能力。为此，斯法德提出了两个教学原则：不应该用结构术语介绍新的概念。只要学生可以不用结构方法就能解决问题，就不应该使用结构方法。杜宾斯基（Dubinsky）等研究了类似的过程-对象之间的区别，提出概念形成的心理过程为：行动、过程、对象和图式（APOS）。塔尔等人认为，从算术到代数再到微积分，再到具有形式定义和证明公理数学，这之间需要一个漫长的过程。不同的过程概念以不同的方式发挥作用，这就导致在不同阶段需要对认知进行再建构。当基本算术符号具有过程和概念的双重意义时，它们之间存在微妙的差别。两个整数的和是另一个整数，但是除法产生了一个全新的实体分数。之后，从算术向代数的转变导致一个新的过程概念的产生，在这个过程概念中， 这个表达式就是一个答案，这个答案含有求值的潜在过程。从代数向微积分的转变产生了新的问题，如带有极限符号的问题 ，表示有潜力的无限过程。然而，在形式水平上，过程概念所起到的作用是非常微弱的。群的概念，不是一个过程概念，而是一个由定义所给出的更大的结构，这个定义特别强调它必须具有的性质。显然，建构形式意义的过程是逻辑过程，概念以形式的方式被建构，这就产生了由计算和操作的初级数学思维向需要下定义和证明的高级数学思维的转变。 114数学教与学中 的视觉化问题对数学直观的研究跨越了心理学表象研究、思维科学研究以及数学科学研究之间的学科边界，成为数学教育心理学研究中一个新命题。因而，在数学教育领域，它是年轻的，大概从20世纪70年代末80年代初才开始，但是，到了20世纪90年代，它俨然已成为国际数学教育的一个重要的研究领域，并将继续成为国际数学教育研究的焦点， PME届次 年份 论文数 主题12 1988 1 研究综述13 1989 4 视觉心象，视觉记号，计算机技术的影响14 1990 5 大学生不愿意使用视觉加工，心象与数学推理，表征与数学直观化 15 1991 15 心象图式类型，视觉推理，影响视觉心象使用的课堂因素16 1992 11 问题解决中的直观化，意象，直观化与意象思维17 1993 12 几何思维和空间思维，表征与直观化，问题解决中的直观化风格18 1994 21 几何思维和空间思维，表征与直观化，课程发展中的直观化19 1995 不详 课程发展中的直观化，学生不愿意使用直观化20 1996 16 三维几何中直观化，学生不愿意使用直观化21 1997 不详 不愿意使用直观化，计算机环境，测量22 1998 19 几何，表征，计算机，问题解决，测量，空间思维和直观化23 1999 20 意象与直观化，代数问题解决中的直观化，动态几何软件，空间心象结构24 2000 16 函数极限，数学模型，二次方程，几何构图，概率，复数运算等，特定数学内容领域27 2003 19 计算机技术，记号表示，数学家对直观策略的使用，隐喻，认知模型，手势28 2004 7 问题解决，实数，分数和小数29 2005 9 手势，符号学，直观化能力的发展 1、认知风格维度从认知风格维度进行的研究，主要表现为对学生个体差异的关注，以及按这种差异类型，对学生群体进行分类。从这个角度切入直观化的研究，始于20世纪70年代末，首推克鲁切茨基（Kruteskii）的研究，他应用临床研究方法，发现存在3种不同的数学气质：分析型，几何型，调和型紧随其后的是莫斯（Moses）等人的研究，他们提出，依据直观能力，学生所构成的群体应是一连续体。苏维森（Suwarsono）研制了测量学生个体数学认知能力的量表MPI （Mathematical Processing Instrument）。此后，大多数关于直观化研究的学者都在调查中采用这个工具。与此同时，展开了心理学家和教育学家对直观者-言语者这种认知风格分类价值的争论，并一直持续着。这缘起于有些学者将直观者等同于高表象表征能力，言语者等同于低表象表征能力。于是，研究转而围绕“直观倾向性与空间能力”的关系研究。一直到2002年，这方面的研究才有了新的突破。科泽夫尼科夫（Kozhevnikov）与赫加蒂（Hegarty）等提出并证实了存在两种不同的直观表征：图像的与图示的，并认为，将学生分为直观分析者（即上述的几何型）与言语分析者（即上述的分析型）的分法过于笼统了。他们的系统研究进一步证实并深化了这个结论，存在两种不同性质的直观者肖像型和空间型。 2认知策略维度将直观化作为数学学习的一种认知策略的研究，具体：分析它在数学学习乃至某一具体内容学习中的价值，研究直观策略或能力与数学成绩、问题解决成绩、概念建构等相关性，剖析其作用是如何体现的，等等。比如谢尔曼（Sherman）的研究，考虑的是数学成绩的差异与空间直观化能力的相关性。德利法斯（Dreyfus）在论直观推理在数学和数学教育中地位一文中阐述直观化在数学学习中的地位。路斯（Lucy）的实验考虑新颖算术问题的可视化程度（难与易两个水平）与问题解决成绩的相关性，结果发现，对于新颖的算术应用题，容易直观化的问题比难直观化的问题出错少，但这一规律不适用于有经验的问题解决者。格杰里奥的实验聚焦于空间旋转问题，分析问题特点（比如复杂性）对不同策略（直观与非直观）选择的影响。结果发现，当问题（指空间旋转问题）只要求学生进行解释（有可供选择的解答）时，如果已给对象是简单的，那么学生趋向于使用直观加工策略；如果对象是复杂的，那么学生趋向于使用非直观策略。当问题要求学生进行建构时（比如绘图），如果已给对象是复杂而且没有任何提示，学生往往使用直观策略，反之，则使用非直观策略。劳瑞（Lowrie）的主要研究目的也是围绕问题的复杂性与策略选择之间的关系，但他同时还考虑不同策略使用以及性别差异对解题成功的影响。研究发现，在解难题或新的问题时，学生往往采用直观方法；在解不难的问题时，则采用非直观方法；问题解决的直观方法与非直观方法的选择，与性别无关。麦克理（Mcleay）的研究设计则将问题的呈现方式（语言、阅读、图表）与学生的策略选择（语言、图表、绘图书面解释）结合起来考虑。结果发现，当问题是以自然语言表述，要求以心象形式加工，最后以言语形式表述结果时，这种情况是最难的，而其余3种组合形式之间没有显著差异。他认为，造成这一现象的原因有两个：首先，拙劣的直观者形成心象存在困难；其次，某些学生可能不能理解问题情境。问题解决的研究，主要考虑的是群体的差异而不是个体之间的差异。它往往以某一种学习能力的学生为对象，比如朗达（Rhonda）主要考虑数学学习困难生（高空间能力组与低空间能力组）的直观化问题，研究发现，不管问题以什么方式呈现给学生，高空间能力组的直观者在问题解决成绩上都显著高于低空间能力组的直观者。加尔德伦（Garderen）以学习困难（LD）、学习中等（AA）、学习优秀（G）3种能力水平的学生为被试，结果表明，对于3种水平的学生而言，G组学生比另两组学生更多地使用图式表征；LD组学生比其余两组学生更多地使用图形表征。德斯皮娜（Despina）等在专家与新手之间进行比较研究。他们的研究结果表明，专家和新手都将直观表征作为可行的解题策略，但是认为其有效性所作用的问题域却不一样。新手大多认为直观化在几何问题中的应用效果是最明显的，而专家认为它所作用的问题范围更大。此外，专家比新手更频繁地运用直观表征，比如，利用直观表征有效地探究问题，更好地理解问题情境，指导解决方案的确立。有人从直观解题过程角度研究问题，包括直观表征类型、作用及功能，直观解题过程的认知分析等。欧文斯依据普雷斯梅杰（Presmeg）对心象的5种分类，依次分析了案例中个体的表现，并论证每种心象的作用。他得出的结论是，每一种心象都是重要的，他们分别在不同场合以不同方式发挥着重要作用，不能错误地认为某种心象比另一种心象处于更高的水平。赫加蒂认为，应将直观表征分为视觉表征与空间表征，然后再探讨它们与问题解决成绩的关系。视觉表征是空间对象视觉外貌的编码，是一种图形表象，空间表征是问题中所表述的空间关系的编码，属于图式表象。直观表象形式的差异可以以某一种理论为基础进行编码，也可以对具体问题进行分类、整理，从中提取出类别。因此，这种类别可以是一般化的，也可以是非常具体的与问题的情境紧密相关。普雷斯梅杰等研究影响直观化使用的认知因素，她以任务访谈的个案分析法，对数学教育研究班的4名研究生解答MPI中的3个问题的过程，进行详细的田野考察记录与分析。数据来源由3部分组成：访谈的文字记录稿，田野考察记录稿，以及被访谈者的题目解答。通过分析，得出了下列结论：直观化存在于问题解决的4个阶段准备、解答、结论、回顾；先前知识、空间推理能力和隐喻是影响学生直观化的认知因素，同时，解题过程中的情感及元情感也影响了学生的直观化的运用。 115数学中的技术使用使用技术来支持数学教学已经成为一种趋势，技术的出现带来了学习视野的转变，技术逐步给学生的学习带来互动性和动态性的体验。在早期的研究中，研究者的主要兴趣在于使用编程来理解特定的情境知识。例如，理解与变量概念相联系的知识。那时，在数学表达式和变量的教学中，计算机语言，如Logo、Pascal、Basic和其他软件得到了广泛的应用，计算机语言的繁荣对这个领域中的研究产生了影响，这时研究者主要把编程看成是学习表达式和变量的媒介进行研究，20世纪80年代末发生了一个重要转变，那时的研究开始关注多元表征和代数教学之间的联系。20世纪80年代后期，多元表征及其相互联系的重要性愈发突出，那时，研究者开始探讨代数学习困难的原因，以及合适的课程和教学应对可能是什么。因为代数本身的结构及其表征的多元性是非常复杂的。但是，表征因素是最基本的。数学意义可以被自然而然地理解：在不参考另外一个表征系统的情况下，一个特定表征系统内的转换；数学表征系统之间的转译；数学表征和非数学表征系统之间的转变（如自然语言、直观表象，等等）；把行为、过程和概念凝聚和物化为现象性对象，之后，现象性对象可以作为新的活动、过程和概念的基础。因此，意义形成于特殊表征系统之内，或者与特殊表征相联系。从这些观点来看，代数研究的核心目的就是判断个体是如何学习和应用这些表征性，从而生成有用的心理表征形式。对于明显设计技术的内容来说，基于计算机的模型使得多元表征形式具有可用性，另外不仅有助于呈现表征形式，而且尤其有助于作用那些表征形式上活动的实现。因此，出现了所谓的“动态代数”，动态的代数观得到了迅速发展，很多软件和游戏被设计用来支持这个观点，动态性是新开发媒体的基本特征。另外，符号-图形计算器已经被应用于初等代数的教学当中，并得到了进一步的扩展，研究者关注的是图形计算器的使用在多大程度上有助于学生学习。许多研究指出，计算器语言作为获得表达数学模式的一般规则的工具，有助于学生掌握代数编码。有的研究主题集中在学习者与技术的互动方面，这就促使研究者对基于技术的数学学习过程进行理论反思。然后，研究关注的焦点转变到设计合理的任务以便达到一些教学目标，研究也开始关注教师的作用以及技术融入教师日常的教学实践。最后，为了更好地理解学生在怎样的环境下更利于学习，因而关注日常教学实践，教学约束开始成为分析技术整合的焦点。 116社会-文化视角从社会-文化视角研究数学教育心理学，主要是理论的研究，讨论的主要内容包括：文化心理学，包括以维果斯基（Vygotsky）理论、活动理论、情境认知实践共同体、社会互动、符号协调为理论基础的研究。人种学数学。社会学、教育社会学、后结构主义、解释学、批判理论。话语，包括心理分析观、社会语言学、符号学。数学教育中平等和社会公正问题。数学教育心理学发展的中间10年（19871996）出现了基于社会-文化观研究心理学的文献，特别是对建构主义的讨论刺激并激发了诸多争论，并且社会建构主义成为主要的研究焦点。相继出现了语言和沟通、性别和学习、学习的社会和文化情境等相关研究。这个领域的研究一直持续到现在，而且方兴未艾。 1.1.7数学学习中的非智力因素自从数学教育心理学建立以来，在近30年的研究中，越来越多的数学教育团体对情感的研究产生了浓厚的兴趣。从1970年到1994年，发表在数学教育研究杂志的文章，大约有100篇文章是关于情感问题的。鲁宾斯基（Lubienski）（1999）在ERIC数据库中搜索到3000多篇文章，大约有12%是与学生的情感相联系，她认为这是一个吸引了“众多研究者的注意力”的研究领域。事实上，对情感的重视不仅引起学术界的关注，而且也引起了各国政府的关注，例如，可以在具有重大影响的课程文件中找到对这个问题的论述。 情感的研究主要在情感因素测量、描述性研究、情感变量和认知变量的比较等方面。从研究方面来看，测量方法是用得最多的，所测量的情感变量的范围包括对数学的态度或关于数学的信念（如数学、问题解决的作用）以及数学学习者的自我观念（如喜欢数学、信心、兴趣）。其他被研究的情感维度包括焦虑、动机和成功导向。收集数据的方法主要是传统的纸笔方法和访谈法，也包括日志方式。随后，质性研究方法逐步增多。奇克森特米哈伊（Csikszentmihalyi）提出了经历取样法（The Experience Sampling Method , ESM），这种方法使得人们可以长期持续观察个体的活动，观察个体对这些活动的反馈和信念。这种数据的整合允许我们洞察与学生的行为活动相联系的动机、态度以及信念。此外，网上调查和访谈也成为研究情感的一种有效方法1.1.8 数学教师专业发展1教师的数学知识苏尔曼（Shulman）提出了知识的7个分类，即学科知识、一般教学知识、课程知识、学科教学知识、学生的知识、教育环境知识、教育目标和价值的知识。他强调在教学研究中，学科教学知识是需要研究的一个重要领域。艾尔巴斯（Elbaz）重点关注教师所知道的、而其他人不知道的内容，她把它称为实践知识，同时她也关注教师如何概括这些知识。她认为这种知识建立在第一手的经验基础之上，包括自我知识、环境知识、学科内容知识、课程发展和教学的知识，在实践中，这种知识作为规则、实践原则呈现。这些研究采用的是一种因素分解方法，从静态角度研究教师的知识结构缺乏与教学实践的联系。舍恩（Schon）辨别了反思性实践和技术理性之间的区别，他把前者归因于实践者。当实践者被要求开展行动时，如果他们没有把知识或正规知识与实践知识相互分离，那么他们就会在自己所知道的知识基础上行动。对于教师来说，这意味着实践反思必须处理学科知识和学科相关的教学知识。当教师解决专业问题时，他们就会进行实践反思，因此，实践反思可以看成是教师知识的主要部分。从这个意义上说，教师知识不仅“知道事情”，也知道如何辨别和解决专业问题，即知道“如何建构知识”。这些教师知识观也包括教师的信念和观念，把它看成是理解教师知道什么的相关因素。 2教师的数学教学知识许多研究是围绕在教学中了解学生认知状况开展的。例如，伊万（Even）和马科维斯（Markovits）研究了初中教师的学科教学知识，这些知识主要涉及教师对学生根据函数主题的问题、评论和假设所做出的反馈。他们指出：教师经常无法意识到学生的困难：“一些教师忽视了学生的思维方式和根源。相反，他们把学生的学习仅仅评价为正确的活错误的。”教师经常不会思考，如学生的错误观念、形式导向和意义导向、教师中心和学生中心、反馈的丰富性等问题。他们认为教师应当认识到理解学生思维的核心作用，但是大部分的教师没有这种意识。20世纪90年代，建立在认知心理学基础上的新的理论建构在数学教育心理学中出现。如建立在卡彭特（Carpenter）和芬内玛（Fennema）的研究基础上的认知指导教学理论，这一理论的主要观点就是理解学生数学认知的知识是数学教师知识的重要组成部分。平特（Ponte）提出了“专业知识”的概念，从本质上来说，就是行动中的认知，它建立在经验、对经验的反思和理论知识基础之上。在平特看来，专业知识与学术知识和常识截然不同，它应该在自己的领域内被研究，而不应该被看成是“有缺陷的”学术知识。他对3个初中教师和高中教师的案例进行了讨论，并分析了关于问题解决的不同观点和实践的可能原因，并指出：特殊认知和信心与课堂中的行为方式的普通一致的观点相互交织在一起。他提出了专业知识的4个基本组成部分：教师的观点和个人对数学的认识相联系。教师对学生认知的知识。教师关于课程的知识和态度。教师专业化发展的方式。 3专家和新手的比较20世纪90年代，基于信息-加工理论研究范式，很多研究者使用专家-新手的对比来辨别教师思维和决策。例如，罗宾逊（Robinson）等对初中教师和高中教师进行了研究，考察两个新手和一个专家教师使用联系方式呈现数学资料的过程。研究者得出结论：联系性对教师代数课的设计和教学产生影响，并且在教师对自己的课堂进行反思的过程中，专家教师在很大程度上与新手教师是不同的。专家型教师会考虑到教学中横向联系和纵向联系的重要性，相比之下，新手教师并不在他们的教学计划和具体教学中强调联系性。他们也趋向于关注自己的教学计划，不管发生什么事情，得出适合于自己的计划的结论，但是这个结论与课堂中实际发生什么事情没有丝毫联系。 4教师的信念和观念研究的第一个问题是关于信念和观念的概念。平特在研究教师关于数学问题解决的观念和实践的时候，描述了知识、信念和观念之间的区别。他解释道：“我把知识看成是人类所拥有的概念、意象和智能的一个广泛网络。信念就是每个人所掌握的无可辩驳的个人真理，这些信念衍生于经验或者幻想，它具有一个强大的、有效的、评价的组成部分观念是潜在的概念的组织框架，从本质上来看，观念具有认识的本质。信念和观念是知识的一部分。”有的研究者把信念看成是相对不完善的知识的组成部分，它不是经验现实所遇到，不要求内部一致性。在另外一方面，观念被看成是组织化的建构，它构成人们解决任务的方法，在思维和行动中，它起到了根本作用。研究的第二个问题是用于评价信念和观念的理论模式。关于信念和观念的研究方法，大部分的研究使用传统的问卷和量化分析，也有学者使用访谈和课堂观察。这些研究往往基于特定的理论模式，尤其是佩里（Perry）的图式理论和欧内斯特（Ernrst）的模式。从20世纪90年代开始，欧内斯特的观点被许多研究作为基础。卡里洛（Carrillo）和康特里拉斯（Contreras）报告了这项研究，他们测验了分析教师的数学观和数学教学观的框架。这个框架包括了4种“教学趋势”的数学教学观念的模式传统的、技术的、自发的、研究性的，并把每个趋势的35个案例分成6类方法论、学科重要性、学习观念、学生的作用、教师的作用和评价。这个框架也包含欧内斯特提出的3个趋势的数学观念的模式：工具主义的、柏拉图式的、问题解决的，每个趋势包含21个案例，这21个案例可以分成3类：知识类型、数学知识的目标、数学发展的方式。研究者对6名职前中学教师进行了个案研究，这些个案具体解释了这种分析性工具的使用。维勒尔（Valer）和戈麦斯（Gomez），对一位大学教师的信念系统的影响进行了研究，这名大学教师参加了一项关注图形计算器的课程改革方案。他们主要思考了教师信念系统的5个要素：数学观、数学教学目标观、学习观、教学观、教学资源的作用观。他们也思考了欧内斯特对教师的分类。在第一学期，她被认为是“工业训练者”的教师类型，因为她的信念是把数学看成是不可置疑的、被接受的真理，认为数学教育的目标就是基本技巧的机械化训练。在第二学期，这个教师的行为转变成“公共教育者”，但是她的信念系统仍然反映了她是一个“工业训练者”。研究的第三个问题是教师的信念和观念的要素。格劳斯（Grouws）古德（Good）等对初中高年级的教师进行了访谈，试图判断这些教师关于问题解决及其教学的观念。他们发现了4种解题观念，即把问题解决理解为：应用题，问题情境的表征模式是决定性因素。解决问题，学生发现他们正在解决的数学问题的答案。解决实际问题，教师能察觉到真实的生活情境。解决思维问题，需要把思维渗透到解题过程中。前三种解题观念关注问题的本质及其计算要素，而最后一种解题观念主要涉及如何找到解题方法的过程。对于技术的使用来说，平特研究了参加教学改革研究方案的中学数学教师的观念和态度，研究指出：参与者主要关注计算机融入课堂的动态性，其中一些参与者对使用这个工具进行跨学科活动感兴趣。伯蒂诺（Bottion）等人的研究表明：教师关于计算机作用的信念主要是他们数学教学信念的投影。如果数学教学被解释成知识的传递，而不是学生实际参与，此时与计算机的使用似乎毫无联系。对建构知识感兴趣的教师发现：计算机会对他们的需要做出反馈。关于数学本质的信念在接受或拒绝计算机中影响较小，但是对选择所使用的软件工具类型起到作用。 5数学教师的实践有的研究者基于认知心理学视角进行研究。比如，研究数学教师的认知水平及其与问题解决教学实践的关系。更多的是针对课堂互动的研究，探讨课堂教学中教师与学生的交流、学生与学生的交流会给教学效果带来怎样的影响。格洛夫斯（Groves）等人讨论了“进步性话题”的本质，并且考察了教师活动的关键特征，这些活动对作为研究共同体的数学课堂产生影响。他们得出结论：教师的以下活动应当得到鼓励，即关注课程的概念性要素和使用复杂的、具有挑战性的任务。开展课堂互动以便促进所有学生解决问题。关注数学推理和证明，并且把它作为学习的基础。20世纪90年代，社会文化理论建立在维果斯基的研究基础上，它在数学教育心理学共同体中非常显著，并且演化成其中一个更具发展前景的关于教师实践的研究分支。阿德勒（Adler）应用这个框架分析数学教学的复杂性，这些复杂性包括了多元语言课堂中的民主理想，他也关注教师干预的本质。他研究了六年级的课堂教学事件，也讨论了研究参与型教学是否能够体现自身，因为它简化了数学知识的发展。研究者得出结论：在一些情形中，教师没有把自己扮演成学生的参照点，教师不能协调课堂上的数学交流，这种状况不利于形成参与型课堂文化。“脚手架”的概念、社会文化建构、社会文化观等理论用于实践的研究也比较多，得到一些有一定意义的结果，如脚手架能够在不同的水平上发挥作用，因为脚手架始于物理学习环境的创造，首先在认知需要的低水平上进行互动，然后向更加复杂的互动形式发展，如生成联系、发展表征工具、生成概念话语，最成功的脚手架是动态脚手架和反思脚手架。基斯蒂（Khisty）认为“有效教师”具有以下共同特征：鼓励学生之间的相互支持。形成高期望。擅长把数学的概念情境化。使用探索性问题和陈述，把读和写作为学习工具。教师实践的一些研究涉及教师研究自我或者与研究者的合作工作。例如，杰维斯基（Jaworski）发展了“教学三人组”的理论框架，用它来模拟教师的作用，考虑到课堂的复杂性。教学三人组包括：学习管理，它描述了教师在自己和学生所构成的课堂学习环境中的作用，还包括课堂小组、任务和活动的设计、标准的确定。对学生的敏感性，这种敏感性主要涉及教师关于学生的知识，关于他们的需要和教师与学生的互动方式以及指导小组互动的方式。数学挑战，这个挑战就是指让学生在数学活动中生成数学思维，包括任务设计、问题提出和对元认知监控。他们认为这3个领域紧密联系，并且相互依赖，当3个类别最为和谐时，教学最有效。教师实践的一些研究定位在课程的实施方面。例如，研究课程目标的实现、教师对课程内容的有效组织形式、教师对课程改革的适应性等问题。 6教师合作和共同体建构最近一些研究者已经开始使用温格（Wenger）“实践共同体”的观点。参与这个共同体的成员共同研究问题，这种研究把群体作为分析的单元来使用，这有助于考察教师参与专业发展的活动，考察卷入到共同体形成过程中所遇到的挑战，有助于探索参与专业活动的方式所发生的变化。研究者假设：实践共同体中的参与是鼓励教师发展的一个因素，实践共同体中的这些活动能够提高数学教师水平，提高教学效率。这些方案强调学校社区作为数学教育和专业发展变化的单元，可以与校本发展的研究联系起来。其中一个研究领域是关注这些共同体如何形成，关注教师之间的网络如何建立，他们如何得到支持，以及什么因素影响或阻碍他们的创造。共同体和网络的构成和支持是一项困难的任务，因为它涉及个体的、社会的、组织的因素。例如，麦克格罗（Mc Graw）等人描述了两种行为，首先，共同研究课堂教学；其次，在群体会议中的书面讨论、协商。这两种行动研究能支持专业发展方案中的实践共同体的发展。 12 国内数学教学心理研究概况国内数学教学心理学以论著形式出现的成果，要比国外的研究晚十几年（这里不是以桑代克于1922年出版的算术心理学作比较，而是以斯根普于1977年出版的学习数学的心理学为参照），毛鸿翔，季素月在1988年出版了数学教学与学习心理学，这是国内第一本数学教学心理学的论著问世，标志着这一领域系统性研究的发端。在此之前，有各种关于数学学习或教学心理研究的文章散见于期刊，但研究不是系统的。30年来，我国数学教学心理的研究涉及数学学习中的认知因素（包括数学学习迁移、数学学习中的元认知、数学认知结构、数学能力与数学思维等）、数学学习中的非认知因素、数学知识学习（包括数学概念与命题学习、数学问题解决）、数学教师心理等方面。研究领域比较宽泛，成果较多，本节不对这些研究及成果进行详细综述，因为相关内容的研究概况已散见本书的各章节。在此，我们只是对国内数学教学心理学研究的基本特征作一总结，然后提出一些思考。 1.2.1 我国数学教学心理研究的特征1内容层面：由少到多、由窄变宽、由浅入深的推进从研究内容来看，数学教学心理的研究经历了一个由点到面、由表及里的演变过程，这可以从两个维度透视。第一，从“应当怎么做”到“为什么应当这么做”的研究范式变革。早期的研究，着眼于一些零星的问题。以数学能力的研究为例，开始人们关心的只是数学中的3大能力，即运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，研究这些能力要素的内涵以及如何在教学中培养和提升学生的能力，主要是从教学的角度去研究问题，而且这些研究多是基于经验，讨论“应当怎么做”而不是研究“为什么应当这样做”。随着研究的深入，研究的范围扩大了，对数学能力的认识逐步加深，表现在：其一，是对3大能力认识的不断深化。林崇德将数学3大能力与数学思维品质两个概念结合在一起，他以数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力这3种能力作为一个维度，以思维的品质作为一个维度没，其中思维品质包括思维的灵活性、思维的深刻性、思维的敏捷性、思维的批判性、思维的独创性，从而构成一个以3种能力为“经”，以5种思维品质为“纬”的数学能力结构系统。这样，对数学能力的认识就上升了一个层次，而且这种描述就研究来说更具有可操作性。其二，在对数学能力要素完备性方面有了新的拓展。许多研究者采用因素分析法，对数学能力成分作了更深入的探讨。比如，王权对小学生的数学能力结构进行了研究，该研究设置了11个分测验，包括口算、数概念、笔算、简捷算法、基本应用题、发展应用题、几何概念、几何应用题、代数概念、代数应用题、计量知识，通过探索性因素分析得出小学生数学能力结构的4种因素：基本演绎推理能力、识别数量关系的能力、空间想象能力、运算速度。刘英兰采用因素分析法，用自编的“小学生数学推理能力测题”，对杭州等地640名被试做了测试，随即用其中270名被试资料进行探索性因素分析，用其余370名被试资料对可能模型进行了验证性因素分析，得出小学生数学推理能力结构成分包括5种分能力：可逆推理能力、类比推理能力、归纳推理能力、变换推理能力和演绎推理能力。显然，对数学能力结构要素进行细致分析，从学生学习的角度研究问题，从“学”到“教”的研究逻辑思路，使研究深入到了“为什么应当这么做”的层面。 第二，从研究学生学习的认知因素，到研究学生学习的情感因素，再到研究学生学习的认知信念的拓展，即出现从研究“知与不知”到研究“愿与不愿”，再到研究“信与不信”深化过程。开始的研究热点是认知问题，即关注学生学习数学的智力、能力因素，研究数学思维、数学认知结构、数学学习迁移、数学学习中的元认知因素，而后逐步扩充到非智力因素领域，包括研究学生的学习风格，应当指出，虽然前期的研究也有不少非智力因素探讨的文献，但研究多是浮于表面，而后期的研究逐渐进入深层。近年来，关于学生学习信念和教师教学信念的问题引起了学术界的高度关注，一个主要原因是国外学者在这一领域的研究拉动了国内的研究。例如，关于教师认识信念问题，它是教师教学观念研究的一种拓展，虽然国内研究起步较晚，但也有了一些成果而且正在逐步深化。教师的认识信念与教师的教学行为直接相关，“教师的认识信念系统是一个涉及知识信念、认知信念、文化信念、学习信念以及对信念的自我调节等因素的复杂结构。教师认识信念的形成受个体的学习活动经验、科学观和社会环境的影响。教师的认识信念会对自我的教学理念、教学设计、教学行为、教学组织