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精编北师大版数学资料关于导数的几何意义的几类考题导数的几何意义是考查导数知识的主要内容之一，是深刻理解导数概念的重要形式。本文从求切线方程问题入手，介绍与此相关的几类题型，供参考。一、求切线的方程例1已知曲线y=x3上一点P(1, )，求过点P的切线的方程。分析： 点P虽然在曲线上，根据题意知，并不能保证点P为切点，只有求曲线y=f(x)在点M(x,y)处的切线时，M才是切点。解：设切点为N(x,y)，则切线斜率k=f(x)=x，切线方程为y=x(x1)，由点N既在切线上又在已知曲线上，得y=x(x1)，y=x，解得x=1或x=，回代得：切线方程为3x3y2=0或3x12y+1=0。评析：已知曲线y=f(x)和点M(x,y)，求过点M和曲线y=f(x)相切的切线方程时，要先判断点M是否为切点，若不知切点，则需先设切点，再利用切点既在已经曲线上，又在切线上，列方程组求出切点；若知是切点，则只需求出切点处的斜率即可。二、求两切线的夹角例2求双曲线y=与抛物线y=交点处两切线的夹角解析：联立两曲线方程y=与y=，解得两曲线的交点为(1,1)，由曲线y=，得y=，k1=y|=1，即双曲线y=在交点(1,1)处的切线的斜率为k1=1，由抛物线y=得y=x，k2=y|=，即抛物线y=在交点(1,1)处切线的斜率为k2=，设两线交点处切线的夹角为，两直线夹角公式得tan=|=3，所以两切线的夹角为arctan3.点评：求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率，根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点的导数，再应用两直线的夹角公式求出夹角即可。三、求参数例3 已知直线xy1=0与抛物线y=ax2相切，求参数a的值。解析：由于已知直线是抛物线的切线，故而抛物线的切线斜率是已知的，又由导数的几何意义知，抛物线在切点处的导数就是切线的斜率，故而可解题。事实上，可设切点为(x0,y0)，则k=f(x0)=2ax0，又k=1，则有2ax0=1，即x0=，又切点在切线上、抛物线上，故而y0=ax，y0=x01，即ax=x01，将x0=代入，可解得a=。点评：本题也可以利用直线与抛物线的位置关系联立方程，利用根的判别式求解。四、求相关三角形的面积例4 求曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积解析：联立两曲线方程y=及y=x2，解得x=1，y=1，即二曲线交点为(1,1)，由于y=的导数y=，y=1，所以在交点(1,1)处的一条切线方程y1=1(x1)，即y=x+2，同理可得y=x2在(1,1)处的切线方程为y=2x1.二曲线与x轴的交点分别为(2,0)，(,0)，故所围成的三角形面积为S=1(2)=。点评：求与切线相关的几何问题，首先要解决切线问题，即先求出切线的方程，然后再由其他条件来配合解题。
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