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精编北师大版数学资料第二章章末测试时间：90分钟分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1下列命题正确的是()A向量与是相等向量B共线的单位向量是相等向量C零向量与任一向量共线D两平行向量所在直线平行答案：C解析：利用向量的概念进行判定2向量a，b反向，下列等式成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C|a|b|ab|D|ab|ab|答案：C解析：当a，b反向时，由向量加法或减法的几何意义可知，|ab|a|b|.3以a(1,2)，b(1，1)为基底表示c(3，2)为()Ac4abBca4bCc4b Dca4b答案：B解析：设cx ay b，则(3，2)x(1,2)y(1，1)(xy,2xy)，所以xy3且2xy2，解得x1，y4.所以ca4b.4已知平面内三点A(1,0)、B(5,6)、P(3,4)，则·等于()A0 B16C16 D8答案：B解析：(4,4)，(2，2)，所以·16.5向量a(1,1)在向量b(3,4)上的射影为()A. BC. D答案：C解析：由a·b|a|b|cos，得|a|cos.6已知a(3，)，b(，cos)，ab且0°180°，则等于()A30° B60°C120° D150°答案：C解析：ab，3cos，cos，又0，120°.7给定两个向量a(2,1)，b(3,4)，若(axb)(ab)，则x等于()A. B.C. D.答案：D解析：axb(2,1)(3x,4x)(23x,14x)，ab(2,1)(3,4)(5，3)，(axb)(ab)，(23x)·5(14x)·(3)0，x.8已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)·c，则a与c的夹角为()A30° B60°C120° D150°答案：C解析：由条件知|a|，|b|2，ab(1，2)，|ab|，(ab)·c，×·cos，其中为ab与c的夹角，60°，aba，ab与a方向相反，a与c的夹角为120°.9在边长为1的正方形ABCD中，设a，b，c，则|abc|等于()A1 B.C2 D.答案：C解析：先求模的平方10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一个正六角星，如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中，分别为原点O到两个顶点的向量若将原点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为ab的形式，则ab的最大值为()A2 B3C4 D5答案：D解析：要求ab的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：(1)，(a，b)(1,0)；(2)3，(a，b)(3,1)；(3)2，(a，b)(1,2)；(4)(2)23，(a，b)(3,2)；(5)，(a，b)(1,1)；(6)，(a，b)(0,1)ab的最大值为325.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分把答案填入题中横线上11已知向量a，b满足|a|2011，|b|4，且a·b4022，则a与b的夹角为_答案：解析：设a与b的夹角为，由夹角余弦公式cos，解得.12已知向量a(1，t)，b(1，t).2ab与b垂直，则|a|_.答案：2解析：由(2ab)·b0，可得t±，所以|a|2.13如右图，在ABC中，BAC135° ，AB，AC1，D是边BC上一点，DC2BD，则·_.答案：解析：根据向量的加减法法则有：，()，此时·()()|2·|2×1×××2.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第1518小题各10分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤14已知点A、B、C的坐标分别为A(，2)、B(0,3)、C(，sin)，(，)若|，求角的值解：(，1)，(，sin3)|，|由|得sin.又(，)，.15已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a2b)(2ab)；(2)|4a2b|.解：(1)(a2b)·(2ab)2a23a·b2b22|a|23|a|·|b|·cos150°2|b|2242348·()2829648.(2)|4a2b| 8()16已知向量a与b的夹角为，|a|2，|b|3，记m3a2b，n2akb.(1)若mn，求实数k的值；(2)是否存在实数k，使得mn？说明理由解：(1)由mn得m·n0，即(3a2b)·(2akb)0，整理得：6|a|2(43k)a·b2k|b|20，27k36，k，当k时，mn.(2)若存在实数k，使mn，则有mn，即3a2b(2akb)，(32)a(2k)b.由题意可知向量a与b不共线，即存在实数k，使得mn.17如图所示，现有一小船位于d60m宽的河边P处，从这里起，在下游l80m的L处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿方向设v水，从A向作垂线，垂足为B，有向线段即表示最小划速的大小和方向|v划|min|v水|sin|v水|·5×5×0.63(m/s)，所以划速最小为3m/s.18已知点A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)(1)已知点D(2,3)，以、为一组基底来表示；(2)若(R)，且点P在第四象限，求的取值范围解：如图，·0.，·()·()····a2··a2·()a2·a2a2cos.故当cos1，即00(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
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