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高一数学集合知识点总结一知识归纳：1集合的有关概念。1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）其中每一个对象叫元素注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则ab）和无序性（a,b与b,a表示同一个集合）。集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1）子集：若对xA都有xB，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）3）交集：AB=x| xA且xB4）并集：AB=x| xA或xB5）补集：CUA=x| x A但xU注意：? A，若A?，则? A ；若 ， ，则 ；若 且 ，则A=B（等集）3弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。4有关子集的几个等价关系AB=A A B；AB=B A B；A B C uA C uB；ACuB = 空集 CuA B；CuAB=I A B。5交、并集运算的性质AA=A，A? = ?，AB=BA；AA=A，A? =A，AB=BA；Cu (AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuACuB；6有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n1个非空子集，2n2个非空真子集。二例题讲解：【例1】已知集合M=x|x=m+ ,mZ,N=x|x= ,nZ,P=x|x= ,pZ，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合M：x|x= ,mZ；对于集合N：x|x= ,nZ对于集合P：x|x= ,pZ，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。分析二：简单列举集合中的元素。解答二：M=， ，N=， , , ，P=， , ，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。= N， N，M N，又 = M，M N，= P，N P 又 N，P N，故P=N，所以选B。点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合 ， ，则（ B ）AM=N BM N CN M D解：当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B【例2】定义集合A*B=x|xA且x B，若A=1,3,5,7,B=2,3,5，则A*B的子集个数为A）1 B）2 C）3 D）4分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A=a1，a2，an有子集2n个来求解。解答：A*B=x|xA且x B， A*B=1,7，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。变式1：已知非空集合M 1,2,3,4,5，且若aM，则6?aM，那么集合M的个数为A）5个 B）6个 C）7个 D）8个变式2：已知a,b A a,b,c,d,e,求集合A.解：由已知，集合中必须含有元素a,b.集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.评析 本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有 个 .【例3】已知集合A=x|x2+px+q=0,B=x|x2?4x+r=0,且AB=1,AB=?2,1,3,求实数p,q,r的值。解答：AB=1 1B 12?41+r=0,r=3.B=x|x2?4x+r=0=1,3, AB=?2,1,3,?2 B, ?2AAB=1 1A 方程x2+px+q=0的两根为-2和1， 变式：已知集合A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0,且AB=2,AB=B，求实数b,c,m的值.解：AB=2 1B 22+m?2+6=0,m=-5B=x|x2-5x+6=0=2,3 AB=B 又 AB=2 A=2 b=-(2+2)=4,c=22=4b=-4,c=4,m=-5【例4】已知集合A=x|(x-1)(x+1)(x+2)0,集合B满足：AB=x|x-2，且AB=x|1分析：先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。解答：A=x|-21。由AB=x|1-2可知-1,1 B，而(-,-2)B=。综合以上各式有B=x|-1x5变式1：若A=x|x3+2x2-8x0，B=x|x2+ax+b0,已知AB=x|x-4，AB=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。变式2：设M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0，若MN=N，求所有满足条件的a的集合。解答：M=-1,3 , MN=N, N M当 时，ax-1=0无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若PQ，求实数a的取值范围。分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在 有解，再利用参数分离求解。解答：（1）若 ， 在 内有有解令 当 时，所以a-4,所以a的取值范围是变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。三.随堂演练选择题1 下列八个关系式0= =0 00 0 其中正确的个数（A）4 （B）5 （C）6 （D）72集合1，2，3的真子集共有（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个3集合A=x B= C= 又 则有（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个4设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U（C）A CUB= （D）CUA B=5已知集合A= ， B= 则A =（A）R （B） （C） （D） 6下列语句：（1）0与0表示同一个集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 1，1，2； （4）集合 是有限集，正确的是（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）（C）只有（2） （D）以上语句都不对7设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么SX=（A）X （B）T （C） （D）S8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为（A）R （B） （C） （D） 填空题9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为10.若A=1,4,x,B=1,x2且A B=B，则x=11.若A=x B=x ,全集U=R，则A =12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是13设集合A= ,B=x ,且A B，则实数k的取值范围是。14.设全集U=x 为小于20的非负奇数，若A （CUB）=3，7，15，（CUA） B=13，17，19，又（CUA） （CUB）= ，则A B=解答题15(8分)已知集合A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1, 若A B=-3，求实数a。16(12分)设A= ， B= ，其中x R,如果A B=B，求实数a的取值范围。四.习题答案选择题1 2 3 4 5 6 7 8C C B C B C D D填空题9(x,y) 10.0, 11.x ,或x 3 12. 13. 14.1,5,9,11解答题15.a=-116.提示：A=0，-4，又A B=B，所以B A（）B= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)0，得a-1()B=0或B=-4时， 0 得a=-1（）B=0，-4， 解得a=1综上所述实数a=1 或a -1
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