资源描述
精品资料2.1.1 合情推理互动课堂疏导引导1.归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式.归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.磁率 归纳推理有以下几个特点：(1)归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;(2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测的性质;(3)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的. 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,仍是科学研究的最基本的方法之一.2.运用归纳推理的一般步骤： 首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);最后,对所得出的一般性命题进行检验.在数学上,检验的标准是否能进行严格的证明.3.类比推理(以下简称类比)是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.4.类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,它以原有认识作基础,类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能.5.在运用类比推理时,其一般步骤为：首先,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);然后,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.疑难疏引 两个系统可作类比的前提是,它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致,因此,类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚,这不同于比喻.6.两种推理的区别与联系 数学真理知识的发现、发掘和推陈出新,离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程.归纳推理和类比推理常常被认为是发现数学真理的重要方法,前者是从特殊过渡到一般的思想方法,后者是由此及彼及由彼及此的联想方法.两种推理的思维过程可概括为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想 提出猜想 归纳、类比 浏览中外数学史，可发现许多有深远意义的极为重要的数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的.杰出的数学家欧拉、高斯等人都是运用归纳与类比的大师.归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，因此，在数学教学中加强这方面有趣而生动的训练，有助于培养我们的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.案例 做下面的实验 假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度(浓度)是否改变？(1)将所有杯中的糖水倒在一起；将任意多杯糖水倒在一起.(2)将某一杯水中再加入一小匙糖，糖全都溶化. 类比这一实验，你能得到数学上怎样的关系式？【探究】(1)上述实验结果表明，将任意多杯甜度相同的糖水倒在一起后，糖水甜度不变，据此类比，若将, ,看作倒前糖水浓度，则倒后甜水的甜度为.即由=，可得=(b+d+n0)(2)设某一杯浓度为,加入糖的质量为m(m0).因糖全部溶解后的浓度为，因糖水变甜，故可得到(ab,m0)答案：(1)得到数学上的等比定理， 若=，则=,(b+d+n0)(2)得到不等式，若a、b均为正数，且ab,m为正数(m0)则.规律总结1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程概括为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想活学巧用例1 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， 由此猜想凸n边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线, 凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条; 凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条; 于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+(n-2)=(n-3)(n4,nN*).例2 意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的算经一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢? 我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, 这就是斐波那契数列,此数列中a1=a2=1,你能归纳出当n3时an的递推关系式吗?解：从第3项开始,逐项观察、分析每项与其前面几项的关系易得：从第3项起,它的每一项等于它的前面两项之和,即an=an-1+an-2(n3,nN*).例3 根据所给数列前几项的值：,猜想数列的通项公式.解：; 于是猜想该数列的通项公式：an=.点评：根据数列中前几项给出数列的一个通项公式,主要是对数列特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知数列进行分解、组合,从而发现其中的规律.例4 类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a, a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c), (a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a.(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a+0=a.例5 类比圆的下列特征,找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中,以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的4个点确定一个球;(3)球有表面积与体积;(4)在空间直角坐标系中,以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.例6 求一个质数，当它分别加上10和14时仍为质数.分析：我们可以采用归纳推理，先由具体的数计算开始，再归纳猜想一般性的结论.解：用归纳法进行试验：2+10=12，2+14=16，质数2不合要求；3+10=13，3+14=17，质数3符合要求；5+10=15，5+14=19，质数5不合要求；7+10=17，7+14=21，质数7不合要求； 归纳上述结论，可以猜想，3是符合要求的质数.点评：归纳推理是通过对一些个别、特殊情况的观察与分析，导出一般结论的推理方法，利用归纳猜想，可以探索数学规律，探究解题途径.但是结论的正确性还有待于逻辑上的证明.本题中由于质数的变化无规律，不能用解析式把它表示出来，因此若能证明除了3之外的所有自然数分别加上10和14不能都是质数，也就证明了除3以外的所有质数加上10和14不能都是质数.事实上，自然数可分为三类：3n,3n+1,3n+2(n是正整数)；(3n+1)+14=3(n+5)是合数；(3n+2)+10=3(n+4)是合数；3n+1和3n+2这两类自然数中的质数都不符合要求，而3n这类自然数中，只有当n=1时，3n才能是质数，其余都是合数，因此符合条件的质数只有3.例7如图所示，直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点.如果在这个平面内再画第三条直线l3，那么这三条直线最多可能有_个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有_个交点.由此我们可以猜想：在同一个平面内，6条直线最多可有_个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有_个交点，用含n的代数式表示. 解：通过画图，将所得交点个数排列如下：直线条数 交点个数 2 1 3=2+1 1+2 4=3+1 1+2+3 由此发现规律：6条直线相交，最多可得交点：1+2+3+4+5=15(个)n条直线相交，最多可得交点：1+2+3+(n-1)=(个) 以上均未要求证明，如果要证明可采用数学归纳法等方法.
展开阅读全文