高考数学 一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差正态分布知能训练轻松闯关理北师大版11254138

第第 9 9 讲讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布1若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的数学期望EX()A2B2 或12C.12D1解析：选 C.因为分布列中概率和为 1，所以a2a221，即a2a20，解得a2(舍去)或a1，所以EX12.2(20 xx江西省八校联考)在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100，2)(0)，若在80，120内的概率为 0.8，则落在(0，80)内的概率为()A0.05B0.1C0.15D0.2解析：选 B.P(080)121P(80120)12(10.8)0.1.3(20 xx嘉峪关质检)签盒中有编号为 1，2，3，4，5，6 的六支签，从中任意取 3 支，设X为这 3 支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A5B5.25C5.8D4.6解析：选 B.由题意可知，X可以取 3，4，5，6，P(X3)1C36120，P(X4)C23C36320，P(X5)C24C36310，P(X6)C25C3612.由数学期望的定义可求得EX3120432053106125.25.4(20 xx河北省监测)已知某高级中学高三学生有 2 000 名，在第一次模拟考试中数学成绩服从正态分布N(120，2)，已知P(100140)12P（100120）20.05，所以从 140 分及以上的试卷中抽0.052 0002 0001005 份5某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_解析：记不发芽的种子数为Y，则YB(1 000，0. 1)，所以EY1 0000.1100.又X2Y，所以EXE(2Y)2EY200.答案：2006(20 xx邯郸一模)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于 0.022 8 来设计的设男子身高X服从正态分布N(170，72)(单位：cm)，参考以下概率P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为_cm.解析：因为P(2X2)0.954 4，所以P(X2)10.954 420.022 8，所以车门的高度至少设计为2才符合要求，即为 17027184 cm.答案：1847(20 xx高考山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如 137，359，567 等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数， 且只能抽取一次 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1 分；若能被 10 整除，得 1 分(1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数字是 5 的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C3984，随机变量X的取值为：0，1，1，因此P(X0)C38C3923，P(X1)C24C39114，P(X1)1114231142.所以X的分布列为X011P231141142则EX023(1)11411142421.8甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都为13，且面试是否合格相互不影响.(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数X的分布列和数学期望.解：(1)用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A，B，C相互独立，且P(A)12，P(B)P(C)13，所以至少有一人面试合格的概率为1P(ABC)1112113 113 79.(2)由题意可知，X的可能取值为 0，1，2，3.P(X0)P(ABC)P(AB C)P(ABC)49；P(X1)P(A BC)P(AB C)P(A BC)49；P(X2)P(ABC)118；P(X3)P(ABC)118.所以X的分布列为X0123P4949118118EX049149211831181318.9袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，EY1，DY11，试求a，b的值解：(1)X的取值为 0，1，2，3，4，其分布列为X01234P1212011032015所以EX0121120211033204151.5，DX(01.5)212 (11.5)2120(21.5)2110(31.5)2320(41.5)2152.75.(2)由DYa2DX得 2.75a211，得a2，又EYaEXb，所以当a2 时，由 121.5b，得b2；当a2 时，由 121.5b，得b4，所以a2，b2或a2，b4.1(20 xx南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，2)(满分为 100分)，已知P(X75)0.3，P(X95)0.1，现从该市高三学生中随机抽取 3 位同学(1)求抽到的 3 位同学该次体能测试成绩在区间80，85)，85，95)，95，100内各有 1位同学的概率；(2)记抽到的 3 位同学该次体能测试成绩在区间75，85内的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望EY.解：(1)由题知，P(80X85)12P(X75)0.2，P(85X95)0.30.10.2，所以所求概率PA330.20.20.10.024.(2)P(75X85)12P(X75)0.4，所以Y服从二项分布B(3，0.4)，P(Y0)0.630.216，P(Y1)30.40.620.432，P(Y2)30.420.60.288，P(Y3)0.430.064，所以随机变量Y的分布列是Y0123P0.2160.4320.2880.064EY30.41.2.2(20 xx西安地区八校联考)某公司准备将 1 000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择若投资甲项目一年后可获得的利润1(万元)的概率分布列如下表所示：1110120170Pm0.4n且1的期望E1120；若投资乙项目一年后可获得的利润2(万元)与该项目建设材料的成本有关， 在生产的过程中， 公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0p1)和 1p.若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与2的关系如下表所示：X012241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求2的分布列；(3)若E1E2，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围解：(1)由题意得m0.4n1，110m1200.4170n120，解得m0.5，n0.1.(2)2的可能取值为 41.2，117.6，204，P(241.2)(1p)1(1p)p(1p)，P(2117.6)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(2204)p(1p)，所以2的分布列为：241.2117.6204Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得：E241.2p(1p)117.6p2(1p)2204p(1p)10p210p117.6，由E1E2，得 12010p210p117.6，解得：0.4p0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)