高中数学新人教版必修2教案：第2章2.3.2平面与平面垂直的判定含答案

（人教版）精品数学教学资料2.3.2平面与平面垂直的判定1理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点)基础初探教材整理1二面角阅读教材P67“练习”以下至P68“观察”以上的内容，完成下列问题1定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图2313)直线AB叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面记法：AB，在，内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作l或PlQ.图23132二面角的平面角(1)定义：在二面角l的棱l上任取一点O，如图2314所示，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角(2)直二面角：平面角是直角的二面角图2314如图2315，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小等于_图2315【解析】PA平面ABC，PAAB，PAAC，故BAC为二面角BPAC的平面角，又BAC90.二面角BPAC的大小为90.【答案】90教材整理2平面与平面垂直的判定阅读教材P68“观察”以下至P69“例3”以上的内容，完成下列问题1平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：图2316记作：.2判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n【解析】因为mn，n，则m，又m，故，所以C正确【答案】C小组合作型二面角如图2317，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值图2317【精彩点拨】解答本题的关键是作出二面角的平面角，利用BA1C1与B1A1C1均为等腰三角形，根据二面角的平面角定义可作出平面角求解【自主解答】取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1是二面角BA1C1B1的平面角因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tan BOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.1求二面角的大小关键是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算2为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等再练一题1在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，求二面角VABC的大小. 【解】如图，作VO平面ABCD，垂足为O，则VOAB，取AB中点H，连接VH，OH，则VHAB.VHVOV，AB平面VHO，ABOH，VHO为二面角VABC的平面角易求VH2VA2AH2()224，VH2.而OHAB1，VHO60.故二面角VABC的大小是60.平面与平面垂直的判定如图2318，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：图2318(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.【精彩点拨】(1)要证DEDA，只需证明RtEFDRtDBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线【自主解答】(1)取EC的中点F，连接DF.ECBC，易知DFBC，DFEC.在RtEFD和RtDBA中，EFECBD，FDBCAB，RtEFDRtDBA.EDDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊EC，MNBD，N点在平面BDMN内EC平面ABC，ECBN.又CABN，BN平面ECA.BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA.即平面BDM平面ECA.(3)BD綊EC，MN綊EC.MNBD为平行四边形DMBN.由(2)知BN平面ECA，DM平面ECA.又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.1证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直2根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直再练一题2如图2319所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，CDAD.求证：平面PDC平面PAD.图2319【证明】PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，CD平面PAD.又CD平面PDC.平面PDC平面PAD.探究共研型线面、面面垂直的综合应用探究1如图2320，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，你能证明PD平面ABCD吗？图2320【提示】PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC.同理可证PDAD，AD平面ABCD，DC平面ABCD，且ADDCD，PD平面ABCD.探究2上述问题中条件不变，请证明：平面PAC平面PBD.【提示】由探究1知PD平面ABCD，PDAC，而四边形ABCD是正方形，ACBD，又BDPDD，AC平面PBD.AC平面PAC，平面PAC平面PBD.探究3通过以上探究，试总结证明线、面之间的垂直关系转化特征【提示】线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握如图2321所示，已知三棱锥PABC，ACB90，CB4，AB20，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.图2321(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积【精彩点拨】(1)由ABC是直角三角形以及PDB为正三角形，寻找线线垂直，得线面垂直，进而求面面垂直(2)先找出二面角的平面角，再求其值(3)关键是由垂直找到三棱锥的高，再求其体积【自主解答】(1)证明：D是AB的中点，PDB是正三角形，AB20，PDAB10，APPB.又APPC，PBPCP，AP平面PBC.又BC平面PBC，APBC.又ACBC，APACA，BC平面PAC.BC平面ABC，平面PAC平面ABC.(2)PAPC，且PAPB，BPC是二面角DAPC的平面角由(1)知BC平面PAC，则BCPC，sinBPC.(3)D为AB的中点，M为PB的中点，DM綊PA，且DM5，由(1)知PA平面PBC，DM平面PBC，SBCMSPBC2，VMBCDVDBCM5210.1利用判定定理，证明两个平面垂直，实质是转化为证明线面垂直，进一步转化为线线垂直问题求解2求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等再练一题3在如图2322所示的四面体ABDC中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BCCD1.(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求二面角CABD的大小图2322【解】(1)证明：CDAB，CDBC，ABBCB，CD平面ABC.又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)ABBC，ABCD，BCCDC，AB平面BCD.ABBD.CBD是二面角CABD的平面角在RtBCD中，BCCD，CBD45.二面角CABD的大小为45.1已知l，则过l与垂直的平面()A有1个B有2个C有无数个D不存在【解析】由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个【答案】C2空间四边形ABCD中，若ADBC，ADBD，那么有()A平面ABC平面ACDB平面ABC平面ABDC平面ABC平面BCDD平面ADC平面BCD【解析】ADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面BCD.【答案】D3如图2323，在正方体ABCDA1B1C1D1中，图2323(1)二面角D1ABD的大小是_；(2)二面角A1ABD的大小是_【解析】(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB平面AD1，则ABAD1.又ABAD，所以D1AD即为二面角D1ABD的平面角，在RtD1AD中，D1AD45.所以二面角D1ABD的平面角为45.(2)与(1)同理，A1AD为二面角A1ABD的平面角，所以二面角A1ABD的大小为90.【答案】(1)45(2)904下列四个命题中，正确的序号有_. ，则；，则；，则；，则.【解析】不正确，如图所示，但，相交且不垂直【答案】5在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa，求证：平面ABD平面BCD.【证明】如图所示，ABD与BCD是全等的等腰三角形，取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.AEC为二面角ABDC的平面角在ABD中，ABa，BEBDa，AEa.同理CEa.在AEC中，AECEa，ACa，由于AC2AE2CE2，AECE，即AEC90，平面ABD平面BCD.版权所有：高考资源网()