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三校2014届十二月联考试题 数学试卷(理科)满分150分,考试时间为120分钟一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知为实数,且. 则“”是“”的 ( ).(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件w(2)已知,则等于 ( ). (A)4 (B)2 (C)0 (D)2(3)一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为 ( ) .(A)16 (B)14 (C)12 (D)10(4)已知是等差数列,若,则数列的公差等于 ( ).(A) (B) (C) (D)(5)已知,则函数与函数的图象可能是 ( ).(6)动圆过定点且与定圆相切,那么动圆的圆心的轨迹是 ( ).(A)圆,或椭圆 (B)圆,或双曲线, (C)椭圆,或双曲线,或直线 (D)圆,或椭圆,或双曲线,或直线(7)已知直线上存在点满足约束条件, 则实数的取值范围是 ( ).(A) (B) (C) (D)(8)如图,半径为的扇形的圆心角为,点在上,且,若,则 ( ).(A) (B) (C) (D)(9)已知直线与圆相切,其中,且,则满足条件的有序实数对共有的个数为 ( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(10)设是定义在上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是 ( ).(A) (B) (C) (D) 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.(11)已知一元二次不等式的解集为 ,则不等式的解集为 . (12)如图,直角中,以为圆心、为半径作圆弧交于点若圆弧等分的面积,且弧度,则= . (13)在中,,则的取值范围是_.(14)设分别表示不大于的最大整数,如.则集合表示的平面区域的面积为 .(15)对于平面直角坐标系内任意两点,定义它们之间的一种“折线距离”:则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号) 若,则;若点在线段上,则;在中,一定有;若为定点,为动点,且满足,则点的轨迹是一个圆;若为坐标原点,在直线上,则最小值为.三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.(16)(本小题满分12分)已知函数,.()设是函数图象的一条对称轴,求的值;()求函数的值域.(17)(本小题满分12分)前不久,省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”,芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):()指出这组数据的众数和中位数;()若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;()以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望(18)(本小题满分12分)已知是不相等的正常数,实数.()求证:,并指出等号成立的条件;()求函数的最小值,并指出此时的值(19)(本小题满分12分)已知椭圆:(),直线经过椭圆的上顶点和左焦点,设椭圆右焦点为.()求椭圆的标准方程;()设是椭圆上动点,求的取值范围,并求取最小值时点的坐标.(20)(本小题满分13分)已知函数()若,求函数的极小值;()试问:对某个实数,方程在上是否存在三个不相等的实根?若存在,请求出实数的范围;若不存在,请说明理由.(21)(本小题满分14分)设,圆:与轴正半轴的交点为,与曲线的交点为,直线与轴的交点为.()用表示和; ()求证:;()设,,求证:.理科数学参考答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案BBACB DDADC二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11. ; 12.; 13. ; 14. 5; 15. .三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.(16)(本小题满分12分)()由题知,因为是函数图象的一条对称轴,所以,即, 3分故,当为偶数时,当为奇数时,; 6分()由题知,10分所以的值域为. 12分(17)(本小题满分12分)解:()众数:8.6;中位数:8.75 ; 3分()设表示所取3人中有个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件,则 ; 7分()的可能取值为0,1,2,3.高考.资.源+网 高.考.资.源+网 ;.的分布列为:所以. 12分另解:的可能取值为0,1,2,3.高.考.资., 则,. 所以= (18)(本小题满分12分)解:()因为是不相等的正常数,实数,应用均值不等式,得: ,即有,5分当且仅当,即时上式取等号; 7分()由()知, 10分当且仅当,即时上式取最小值,即 12分(19)(本小题满分12分)()依题意, 所以, ,, 3分所以椭圆的标准方程为 5分()由椭圆定义知,则, 7分而,当且仅当时, ,当且仅当是直线与椭圆的交点时, =2,所以的取值范围是 9分设,由得 , 由 ,解得或 ,所求和 . 12分(20)(本小题满分13分)解:()定义域为,由已知得, 2分则当时, 在上是减函数,当时, 在上是增函数, 故函数的极小值为 5分()假设方程在上存在三个不相等的实根,设,由于在上图象连续不断,则有两个不同的零点 8分即有两个不同的解,设,则,设,则,故在上单调递增,则当时,即, 11分又,则故在上是增函数, 则至多只有一个解,故不存在 13分(21)(本小题满分14分)解:()由点在曲线上可得, 又点在圆上,则, 2分从而的方程为, 由点在上得: ,将代入化简得: . 5分() ,, 7分又, ,所以 ; 9分()先证:当时,.不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式.故当时, 不等式成立., 12分(等号仅在时成立)求和得: 14分
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