高中数学人教A必修4学业分层测评19 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 含解析

起 学业分层测评(十九) (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1(2016 开封质检)已知向量 a(3，1)，b(x，2)，c(0，2)，若 a(bc)，则实数 x 的值为( ) A43 B34 C34 D43 【解析】 bc(x，4)，由 a(bc)知 3x40， x43.故选 A 【答案】 A 2(2016 马鞍山质检)已知向量 a(1，2)，b(x，4)，且 ab，则|ab|( ) A5 3 B3 5 C2 5 D2 2 【解析】 ab，42x0， x2，ab(1，2)(2，4)(3，6)， |ab|3 5.故选 B 【答案】 B 3已知向量 a(1， 3)，b(2，2 3)，则 a 与 b 的夹角是( ) A6 B4 C3 D2 【解析】 设 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos ab|a|b|（1， 3） （2，2 3）2412， 解得 3.故选 C 【答案】 C 4若 a(2，3)，b(4，7)，则 a 在 b 方向上的投影为( ) 【导学号：00680059】 A655 B 65 C135 D 13 【解析】 a 在 b 方向上的投影为|a|cosa b|b|（2，3） （4，7）（4）2722（4）3765655. 【答案】 A 5已知正方形 OABC 两边 AB，BC 的中点分别为 D 和 E，则DOE 的余弦值为( ) A12 B32 C35 D45 【解析】 以点 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设边长为1，则 D1，12，E12，1 ，于是 cosDOE1，12 12，1121221221245. 【答案】 D 二、填空题 6已知OA(2，1)，OB(0，2)，且ACOB，BCAB，则点 C 的坐标是_ 【解析】 设 C(x，y)，则AC(x2，y1)， BC(x，y2)，AB(2，1) 由ACOB，BCAB，得 2（x2）0，2xy20，解得x2，y6， 点 C 的坐标为(2，6) 【答案】 (2，6) 7(2016 德州高一检测)若向量 a(2，2)与 b(1，y)的夹角为钝角，则 y的取值范围为_ 【解析】 若 a 与 b 夹角为 180，则有 ba(0) 即12y20，解得 y1 且 12，所以 ba(0)时 y1； 若 a 与 b 夹角 2， 时，则只要 a b0 且 ba(0) 当 a b0 有22y0 解得 y1. 由得 y1 或1y1 【答案】 (，1)(1，1) 三、解答题 8已知AB(6，1)，BC(4，k)，CD(2，1) (1)若 A，C，D 三点共线，求 k 的值； (2)在(1)的条件下，求向量BC与CD的夹角的余弦值 【解】 (1)因为ACABBC(10，k1)，由题意知 A，C，D 三点共线， 所以ACCD，所以 1012(k1)0，即 k4. (2)因为CD(2，1)，设向量BC与CD的夹角为 ，则 cos BCCD|BC|CD|124 2 53 1010. 9已知 a(1，1)，b(0，2)，当 k 为何值时， (1)kab 与 ab 共线； (2)kab 与 ab 的夹角为 120. 【解】 a(1，1)，b(0，2)， kabk(1，1)(0，2)(k，k2)， ab(1，1)(0，2)(1，1) (1)kab 与 ab 共线， k2(k)0，k1. 即当 k1 时，kab 与 ab 共线 (2)|kab|k2（k2）2， |ab|12（1）2 2， (kab) (ab)(k，k2) (1，1) kk22， 而 kab 与 ab 的夹角为 120， cos 120（kab） （ab）|kab|ab|， 即1222 k2（k2）2， 化简整理，得 k22k20，解之得 k1 3. 即当 k1 3时，kab 与 ab 的夹角为 120. 能力提升 1已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c 等于( ) A79，73 B73，79 C73，79 D79，73 【解析】 设 c(x，y)， 又因为 a(1，2)，b(2，3)， 所以 ca(x1，y2)， 又因为(ca)b， 所以有(x1) (3)2 (y2)0， 即3x2y70， 又 ab(3，1)， 由 c(ab)得：3xy0， 由解得x79，y73， 因此有 c79，73. 【答案】 D 2(2016 徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点 A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求： (1)AB，AC的坐标； (2)|ABAC|的值； (3)cosBAC 的值 【解】 (1)AB(0，1)(1，0)(1，1)， AC(2，5)(1，0)(1，5) (2)因为ABAC(1，1)(1，5)(2，4)， 所以|ABAC|（2）2（4）22 5. (3)因为ABAC(1，1) (1，5)4， |AB| 2，|AC| 26， cosBACAB AC|AB|AC|42 262 1313.