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2019年编人教版高中数学数学选修22(人教A版)13导数在研究函数中的应用13.4 函数与导数综合问题一、选择题1方程2x36x270 在区间(0,2)内根的个数为()A0个 B1个 C2个 D3个解析:设f(x)2x36x27,则f(x)6x212x,当x(0,2)时,f(x)2或x2;由f(x)0得2x2.所以f(x)在3,2上单调递增,在2,2上单调递减,在2,3上单调递增又f(3)17,f(2)24,f(2)8,f(3)1,所以最大值M 24,最小值m8,所以Mm32.答案:328已知函数f(x)(x22x)ex,下列说法中正确的有_(填序号)f(x)在R上有两个极值点f(x)在x处取得最大值f(x)在x处取得最小值f(x)在x处取得极小值f(x)在R上有三个不同的零点解析:f(x)ex(x22),令f(x)0得x.当x时,f(x)0;当x时,f(x)0;当x时,f(x)0,故函数在x处取得极小值,在x处取得极大值,又f()(22)e0,f()(22)e0,函数在R上有三个不同的零点答案:三、解答题9在曲线yx3x2上,哪一点的切线与直线 yx1垂直?解析:设切点为(x0,y0),对yx3x2求导得y3x21,切线的斜率ky|xx03x14,解得x01或x01,所以切点为(1 , 4)或(1,0)10设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间;解析:f(x)的定义域为(,),f(x)exa.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(,)上单调递增若a0,则当x(,ln a)时,f(x)0;当x(ln a,)时,f(x)0,所以,f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增(2)若a1,k为整数,且当x0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值解析:由于a1,所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时,(xk)f(x)x10等价于kx(x0)令g(x)x,则g(x)1.由(1)知,函数h(x)exx2在(0,)上单调递增而h(1)0,h(2)0,所以h(x)在(0,)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,)上存在唯一的零点设此零点为a,则a(1,2)当x(0,a)时,g(x)0;当x(a,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,)上的最小值为g(a)又由g(a)0,可得eaa2,所以g(a)a1(2,3)由于式等价于kg(a),故整数k的最大值为2.
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