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（人教版）精品数学教学资料课后提升作业 十六抛物线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015陕西高考)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),所以p2=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是()A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F12,0,所以312-20+c=0,所以c=-32,故直线l的方程是6x-4y-3=0.3.(2016衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合,则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4【解析】选D.椭圆x26+y22=1的右焦点为(2,0),所以p2=2,所以p=4.4.(2016武汉高二检测)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-43B.-1C.-34D.-12【解析】选C.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-p2,且点A(-2,3)在准线上,故-p2=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF=3-0-2-2=-34.5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cosAFB=()A.45B.35C.-35D.-45【解析】选D.由y2=4x,y=2x-4得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则|FA|=5,|FB|=2,FAFB=(3,4)(0,-2)=-8,所以cosAFB=FAFB|FA|FB|=-852=-45.6.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直, l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48【解析】选C.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p0).因为当x=p2时,|y|=p,所以p=|AB|2=122=6.又P到AB的距离始终为p,所以SABP=12126=36.【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故42.7.(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p0)，设圆的方程为x2+y2=r2，题目条件翻译如图：设点A(x0,2)在抛物线y2=2px上，所以8=2px0.点D在圆x2+y2=r2上，所以5+=r2.点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上，所以x02+8=r2.联立解得：p=4，焦点到准线的距离为p=48.(2016天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()A.a0B.00,即a1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a1.【易错警示】忽视了y的取值范围是0,+),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.二、填空题(每小题5分,共10分)9.以双曲线x24-y25=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为_.【解析】由x24-y25=1知a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,双曲线的右焦点为(3,0),依题意,抛物线的焦点F(3,0),p2=3,所以p=6,所以抛物线的方程为y2=12x.答案:y2=12x10.(2016长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是_.【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,|PM|=|PN|-p2=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1.答案:35-1【补偿训练】抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且AFO=120(O为坐标原点),AKl,垂足为K,则AKF的面积是_.【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AHx轴于H,在RtAFH中,|FH|=x0-1,由AFO=120,得AFH=60,故y0=|AH|=3(x0-1).所以点A的坐标为(x0,3(x0-1),将此代入抛物线方程可得3x02-10x0+3=0,解得x0=3或x0=13(舍),故SAKF=12(3+1)23=43.答案:43三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,求抛物线的标准方程.【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.【解析】由已知得ca=2,所以a2+b2a2=4,解得ba=3,即渐近线方程为y=3x.而抛物线准线方程为x=-p2,于是A-p2,-3p2,B-p2,3p2,从而AOB的面积为123pp2=3,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.12.若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长.【解析】因为抛物线方程为y2=4x,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线为:x=-1,设线段AB的中点为M(2,y0),则M到准线的距离为:|MN|=2-(-1)=3,过A,B分别作AC,BD与准线垂直,垂足分别为C,D.根据梯形中位线定理,可得|AC|+|BD|=2|MN|=6.再由抛物线的定义知:|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6.即线段AB的长为6.【能力挑战题】已知抛物线C:y2=2px(p0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.(1)求抛物线C的方程.(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.【解析】(1)由题意得,3+p2=5,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),则x=x0+22,y=y02,即x0=2x-2,y0=2y,而点P(x0,y0)在抛物线C上,y02=8x0,所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),此即为所求点M的轨迹方程.关闭Word文档返回原板块
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