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海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(文)答案及评分参考 2015.4一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1)A (2)C (3)D (4)B (5)C (6)B (7)D (8)D二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分。有两空的小题,第一空2分,第二空3分)(9) (10)0 (11)12;-54 (12) (13) (14)100110;4三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分) 解:()因为 , 所以 . 1分因为 是与的等差中项, 所以 , 即.所以 . 3分所以 是以1为首项,2为公比的等比数列.所以 . 6分()由()可得:. 所以 , . 所以 是以1为首项, 为公比的等比数列. 9分所以 数列的前项和. 11分因为 ,所以 .若,当时,.所以 若对,恒成立,则.所以 实数的最小值为2. 13分 (16)(共13分)解:(); 2分 6分 (). 9分 ()乙种酸奶平均日销售量为:(箱). 11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为:(箱). 13分 (17)(共13分)解:()方法一:因为 且,所以 . 2分又因为 , 4分所以 .所以 .所以 . 6分因为 ,所以 为等边三角形.所以 . 7分方法二: 因为 , 所以 . 1分因为 ,所以 .所以 . 3分所以 .所以 .所以 . 5分因为 , 所以 .所以 ,即. 7分()因为 ,且,所以 . 所以 9分(当且仅当时,等号成立). 11分因为 ,所以 .所以 .所以 .所以 当是边长为1的等边三角形时,其面积取得最大值.13分(18)(共14分)证明:()因为 四边形为矩形, 所以. 因为 平面平面,且平面平面,平面, 所以 平面. 3分 因为 平面, 所以 . 5分()证明:因为 四边形为矩形, 所以 .因为 , 所以 平面平面. 7分 因为 平面, 所以 平面. 9分()直线与相交,理由如下: 10分取的中点,的中点,连接,.所以 ,且.在矩形中,为的中点,所以 ,且.所以 ,且.所以 四边形为平行四边形. 所以 ,. 12分因为 四边形为梯形, 为的中点,所以 ,.所以 四边形为平行四边形.所以 ,且.所以且.所以 是平行四边形.所以 ,即.因为 ,所以 四边形是以,为底边的梯形.所以 直线与相交. 14分(19)(共13分)解:()因为 椭圆过点,所以 . 1分因为 , 所以 . 所以 椭圆的方程为 3分()方法一:依题意得.因为 椭圆上存在点关于直线对称,所以 直线与直线垂直,且线段的中点在直线上.设直线的方程为.由得 . 5分由,得.(*) 因为 , 7分所以 的中点坐标为. 又线段的中点在直线上,所以 .所以 . 9分代入(*),得或.所以 . 11分因为 ,所以 对于,线段中点的纵坐标恒为,即线段的中点总在直线上. 13分方法二:因为 点在直线上,且关于直线对称,所以 ,且.设(),的中点为.则. 6分又在椭圆上,所以 .所以 .化简,得 .所以 . 9分又因为 的中点在直线上,所以 .所以 .由可得.所以 ,或,即,或.所以 . 12分所以 对于,线段中点的纵坐标恒为,即线段的中点总在直线上. 13分(20)(共14分)解:(). 1分 当时,则函数的单调递减区间是. 2分当时,令,得. 当变化时,的变化情况如下:极小值所以 的单调递减区间是,单调递增区间是. 4分()因为 存在两条直线,都是曲线的切线,所以 至少有两个不等的正实根. 5分令得,记其两个实根分别为.则 解得. 7分当时,曲线在点处的切线分别为,.令.由得(不妨设),且当时,即在上是单调函数.所以 .所以 ,是曲线的两条不同的切线.所以 实数的取值范围为. 9分()当时,函数是内的减函数.因为 ,而,不符合题意. 11分当时,由()知:的最小值是.()若,即时,所以,符合题意.()若,即时,.所以,符合题意.()若,即时,有.因为 ,函数在内是增函数,所以 当时,.又因为 函数的定义域为,所以 .所以 符合题意.综上所述,实数的取值范围为. 14分
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