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当方程不易求解时的三种策略 导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.用导数研究函数的单调性，往往需要解方程.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？本文将介绍三种策略解决这种问题.1 策略1猜猜出方程的根例1 求函数的最小值.解 可得.接下来，须求函数的单调区间，所以须解不等式及，因而须解方程.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解.易知是增函数，所以方程至多有一个实数解，且可观察出此实数解就是ln2，所以函数在上分别是减函数、增函数，得.例2 设.(1)若函数在上有极值，求实数的取值范围；(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.解 (1)(过程略)所求实数的取值范围是(0,1).(2)方程即.设，可得所求实数的取值范围即函数的值域.得.接下来，须求函数的单调区间，所以须解不等式及，因而须解方程.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解：可得，且，所以函数在上分别是增函数、减函数，得.进而可得函数的值域是，所以所求实数的取值范围是.2 策略2设设出方程的根例3 (高考新课标全国卷文科第21题)设函数.(1)求的单调区间；(2)若为整数，且当时，求的最大值.解 (1).当时，恒成立，所以函数在上是增函数；当时，所以函数在上分别是减函数、增函数.(2)可得题设即恒成立.令，得.由(1)的结论知，函数是增函数.又，所以函数的唯一零点(也可把该零点叫做函数的隐零点，这种设法类似于解析几何中的“设而不求”的解法).当时，；当时，.所以.又由，得，所以.由，得.所以所求的最大值是2.注 由此解法，还可求得：整数的取值范围是不大于2的整数，实数的取值范围是，其中是方程的正数解.例4 已知函数有两个极值点.(1)求的取值范围；(2)求的取值范围.解 (1)得，所以方程即.设，得.进而可得出函数的单调区间，再由此作出函数的图象如图1所示：图1因为当且仅当时，所以由图1可得的取值范围是.(2)由，得，所以由图1可得的取值范围是(0,1)，进而可得的取值范围是(0,1).同理可得，由图1可得的取值范围是，进而可得的取值范围是.例5 (北京市朝阳区高三文科二模第20题)已知函数，其中 (1)当时，判断在区间上的单调性； (2)当时，若不等式对于恒成立，求实数的取值范围 解 (1)因为，所以所以在区间上是单调递增函数 (2)令，得.因为在区间上，所以因为，且函数在上单调递增，所以方程在上必有一根，记为.得因为在上单调递减，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减.得又因为，且，所以，.所以依题意得，当时，恒成立.即时，恒成立令，得 即解得或所以所求实数的取值范围是.3 策略3证证明方程无根例6 若存在使不等式成立，则实数的取值范围是 .解 .题设即存在使不等式成立.设，得题设即使不等式成立.设，下面须求函数的最小值.得，须解方程，但此方程不易求解.可大胆猜测方程无解(若方程无解，则的值恒正或恒负(否则由勘根定理知方程有解)，得是增函数或减函数，此时研究函数就很方便)，证明如下：进而可得，所以函数是增函数，得其最小值为. 所以题设即，由此可得答案.例7 已知R，函数.(1)求函数的极小值；(2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围；(3)设，若使得，求实数的取值范围.解 (1)(过程略)当且仅当时，取极小值，且极小值是1.(2)(过程略)所求实数的取值范围是.(3)题意即关于的不等式在上有解，也即关于的不等式有解.设，下面须求函数的最小值.得，但不易求解方程.可大胆猜测方程无解，证明如下：由，可得，所以，得是减函数，所以函数的值域是，进而可得所求实数的取值范围是.
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