人教版 高中数学 选修23 练习第二章章末复习课

人教版高中数学精品资料章末复习课整合整合网络构建网络构建警示警示易错提醒易错提醒1“互斥事件互斥事件”与与“相互独立事件相互独立事件”的区别的区别“互斥事件互斥事件”是说两个事件不能同时发生是说两个事件不能同时发生， “相互独立事件相互独立事件”是说是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响2对独立重复试验要准确理解对独立重复试验要准确理解(1)独立重复试验的条件：第一独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；每次试验是在同样条件下进行；第二第二，任何一次试验任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生有两种结果，即事件要么发生，要么不发生(2)独立重复试验概率公式的特点：关于独立重复试验概率公式的特点：关于 P(Xk)Cknpk(1p)nk，它是它是 n 次独立重复试验中某事件次独立重复试验中某事件 A 恰好发生恰好发生 k 次的概率次的概率其中其中 n 是重是重复试验次数复试验次数， p 是一次试验中某事件是一次试验中某事件 A 发生的概率发生的概率， k 是在是在 n 次独立试次独立试验中事件验中事件 A 恰好发生的次数恰好发生的次数，弄清公式中弄清公式中 n，p，k 的意义的意义，才能正确才能正确运用公式运用公式3(1)准确理解事件和随机变量取值的意义准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之对实际问题中事件之间的关系要清楚间的关系要清楚(2)认真审题认真审题，找找准关键字句，提高解题能力准关键字句，提高解题能力如如“至少有一个发至少有一个发生生”“”“至多有一个发生至多有一个发生”“”“恰有一个发生恰有一个发生”等等(3)常见事件的表示常见事件的表示已知两个事件已知两个事件 A、B，则则 A，B 中至少有一个中至少有一个发生为发生为 AB；都发生为；都发生为 AB；都不发生为；都不发生为AB；恰有一个发生为；恰有一个发生为(AB)(AB)；至多有一个发生为；至多有一个发生为(AB)(AB)(AB)4对于条件概率对于条件概率，一定要区分一定要区分 P(AB)与与 P(B|A)5(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望 E()的值可正也可负的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值而方差的值则一定是一个非负值它们都由它们都由的分布的分布列唯一确定列唯一确定(2)D()表示随机变量表示随机变量对对 E()的平均偏离程度的平均偏离程度D() 越大表明平越大表明平均偏离程度越大均偏离程度越大，说明说明的取值越分散的取值越分散；反之反之 D()越小越小，的取值越集的取值越集中中(3)D(ab)a2D()，在记忆和使用此结论时在记忆和使用此结论时，请注意请注意 D(ab)aD()b，D(ab)aD()6对于正态分布对于正态分布，要特别注意要特别注意 N(，2)由由和和唯一确定唯一确定，解决解决正正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为 x.专题一专题一条件概率的求法条件概率的求法条件概率是高考的一个热点条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分也可能是大题中的一个部分，难度中等难度中等例例 1坛子里放着坛子里放着 7 个大小个大小、形状相同的鸭蛋形状相同的鸭蛋，其中有其中有 4 个是绿个是绿皮的皮的，3 个是白皮的如果不放回地依次拿出个是白皮的如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋个鸭蛋，求：求：(1)第第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率；次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第第 1 次和第次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋的概率；次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下次拿出绿皮鸭蛋的条件下， 第第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率次拿出绿皮鸭蛋的概率解解： 设设“第第 1 次拿出绿皮鸭蛋次拿出绿皮鸭蛋”为事为事件件 A，“第第 2 次拿出绿皮鸭蛋次拿出绿皮鸭蛋”为事件为事件 B，则则“第第 1 次和第次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋次都拿出绿皮鸭蛋”为事件为事件 AB.(1)从从 7 个鸭蛋中不放回地依次拿出个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个的事件数为个的事件数为 n()A2742，根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理，n(A)A14A1624.于是于是 P(A)n（A）n（）244247.(2)因为因为 n(AB)A2412，所以所以 P(AB)n（AB）n（）124227.(3)法一法一由由(1)(2)可得可得，在第在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第第 2 次次拿出绿皮鸭蛋的概率为拿出绿皮鸭蛋的概率为 P(B|A)P（AB）P（A）274712.法二法二因为因为 n(AB)12，n(A)24，所以所以 P(B|A)n（AB）n（A）122412.归纳升华归纳升华解决概率问题的步骤解决概率问题的步骤第一步第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种，然后把所给问题归结为某一种第二步第二步，判断事件的运算判断事件的运算(和事件和事件、积事件积事件)，确定事件至少有一个确定事件至少有一个发生还是同时发生发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式分别运用相加或相乘事件公式第三步第三步，利用条件概率公式求解：利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：条件概率定义：P(B|A)P（AB）P（A）.(2)针对古典概型针对古典概型，缩减基本事件总数缩减基本事件总数 P(B|A)n（AB）n（A）.变式训练变式训练把一枚骰子连续掷两次把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数已知在第一次抛出的是偶数点的情况点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为是多少？下，第二次抛出的也是偶数点的概率为是多少？解解：“第一次抛出偶数点第一次抛出偶数点”记为事件记为事件 A， “第二次抛出偶数点第二次抛出偶数点”记记为事件为事件 B，则则 P(A)366612，P(AB)336614.所以所以 P(B|A)P（AB）P（A）141212.专题二专题二互斥互斥事件、独立事件的概率事件、独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响生与否对另一个事件没有影响例例 2如图所示如图所示，由由 M 到到 N 的电路中有的电路中有 4 个元件个元件，分别标为分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过电流能通过 T1，T2，T3的概率都是的概率都是 p，电流能通过电流能通过 T4的的概率是概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立电流能否通过各元件相互独立已知已知 T1，T2，T3中至少有中至少有一个一个能通过电流的概率为能通过电流的概率为 0.999.(1)求求 p；(2)求电流能在求电流能在 M 与与 N 之间通过的概率之间通过的概率解：解：记记 Ai表示事件：电流能通过表示事件：电流能通过 Ti，i1，2，3，4，A 表示事件：表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在表示事件：电流能在 M 与与 N 之间通过之间通过(1)，A1，A2，A3相互独立相互独立，P(A)P(1p)3.又又 P(A)1P(A)10.9990.001，P(A3)0.90.10.90.90.10.10.90.90.989 1.归纳升华归纳升华求解相互独立事件同时发生的概率时求解相互独立事件同时发生的概率时，要注意以下几个问题：要注意以下几个问题：(1)若事件若事件 A 与与 B 相互独立相互独立，则事件则事件A与与 B，A 与与B，A与与B分分别相互独立别相互独立， 且有且有 P(AB)P(A)P(B)， P(AB)P(A)P(B)， P(AB)P(A)P(B)(2)若事件若事件 A1，A2，An相互独立相互独立，则有则有 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)变式训练变式训练一个电路如图所示一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F 为为 6 个开关个开关，其闭合的概率都是其闭合的概率都是12，且是相互独立的且是相互独立的，则灯亮的概率是多少？则灯亮的概率是多少？解解：由题意知由题意知，四条线路是否闭合相互独立四条线路是否闭合相互独立，开关开关 A，B 与与 E，F闭合的概率相等闭合的概率相等，都是都是 P(AB)P(A)P(B)121214，所以四条线路都所以四条线路都不闭合的概率为不闭合的概率为 P111421122964，所以灯亮的概率为所以灯亮的概率为 P19645564.专题三专题三独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公要准确理解、熟练运用其概率公式式Pn(k)Cknpk(1p)nk，k0，1，2，n，高考以解答题为主高考以解答题为主，有有时也用选择题、填空题形式考查时也用选择题、填空题形式考查例例 3现有现有 10 道题道题，其中其中 6 道甲类题道甲类题，4 道乙类题道乙类题，张同学从中张同学从中任取任取 3 道题解答道题解答(1)求张同学所取的求张同学所取的 3 道题至少有道题至少有 1 道乙类题的概率；道乙类题的概率；(2)已知所取的已知所取的 3 道题中有道题中有 2 道甲类题道甲类题，1 道乙类题设张同学答道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是答对每道乙类题的概率都是45，且各题答且各题答对与否相互独立对与否相互独立用用 X 表示张同学答对题的个数表示张同学答对题的个数，求求 X 为为 1 和和 3 的概的概率率解：解：(1)设事件设事件 A“ 张同学所取的张同学所取的 3 道题至少有道题至少有 1 道乙类题道乙类题”，则有则有 A“张同学所取的张同学所取的 3 道题都是甲类题道题都是甲类题”因因为为 P(A)C36C31016，所以所以 P(A)1P(A)56.(2)P(X1)C1235125115C023502524528125；P(X3)C223522504536125.归纳升华归纳升华解决二项分布问题必须注意：解决二项分布问题必须注意：(1)对于公式对于公式 Pn(k)Cknpk(1p)nk，k0，1，2，n 必须在必须在满足满足“独立重复试验独立重复试验”时才能运用时才能运用，否否则不能应用该公式则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立关键有两点：一是对立性性，即一次试验中即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试即试验独立重复地进行了验独立重复地进行了 n 次次变式训练变式训练一位病人服用某种新药后被治愈的概率为一位病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9，服用服用这种新药的有甲、乙、丙这种新药的有甲、乙、丙 3 位病人位病人，且各人之间互不影响且各人之间互不影响，有下列结有下列结论：论：3 位病人都被治愈的概率为位病人都被治愈的概率为 0.93；3 人中的甲被治愈的概率为人中的甲被治愈的概率为 0.9；3 人中恰好有人中恰好有 2 人被治愈的概率是人被治愈的概率是 20.920.1；3 人中恰好有人中恰好有 2 人人未被治愈的概率是未被治愈的概率是 30.90.12.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_(把正确结论的序号都填上把正确结论的序号都填上)解析解析： 中事件为中事件为 3 次独立重复试验恰有次独立重复试验恰有 3 次发生的概率次发生的概率，其概其概率为率为 0.93，故故正确；由独立重复试验中正确；由独立重复试验中，事件事件 A 发生的概率相同发生的概率相同，知知正确；正确；中恰有中恰有 2 人被治愈的概率为人被治愈的概率为 P(X2)C23p2(1p)30.920.1，从而从而错误；错误；中恰好有中恰好有 2 人未被治愈相当于恰好人未被治愈相当于恰好 1 人被人被治愈治愈，故概率为故概率为 C130.90.1230.90.12，从而从而正确正确答案：答案：专题四专题四离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是也是高考的热点内容高考的热点内容例例 4一批产品需要进行质量检验一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品检验方案是：先从这批产品中任取中任取 4 件做检验件做检验，这这 4 件产品中优质品的件数记为件产品中优质品的件数记为 n.如果如果 n3，再再从这批产品中任取从这批产品中任取 4 件检验件检验，若都为优质品若都为优质品，则则这批产品通过检验；这批产品通过检验；如果如果 n4，再从这批产品中任取再从这批产品中任取 1 件做检验件做检验，若为优质品若为优质品，则这批产则这批产品通过检验；其他情况下品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为的优质品率为 50%， 即取出的每件产品是优质品的概率都为即取出的每件产品是优质品的概率都为12， 且各件且各件产品是否为优质品相互独立产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为已知每件产品的检验费用为 100 元元，且抽取的每件产品都需要且抽取的每件产品都需要检验检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位单位：元元)，求求 X 的分的分布列及数学期望布列及数学期望解解：(1)设第一次取出的设第一次取出的 4 件产品中恰件产品中恰有有 3 件优质品为事件件优质品为事件 A1，第第一次取出的一次取出的 4 件产品全是优质品为事件件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的第二次取出的 4 件产品都件产品都是优质品为事件是优质品为事件 B1，第二次取出的第二次取出的 1 件产品是优质品为事件件产品是优质品为事件 B2，这批这批产品通过检验为事件产品通过检验为事件 A， 依题意有依题意有 A(A1B1)(A2B2)， 且且 A1B1与与 A2B2互斥互斥，所以所以 P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2)41611611612364.(2)X 可能的取值为可能的取值为 400， 500， 800， 并且并且 P(X400)14161161116，P(X500)116，P(X800)14.所以所以 X 的分布列为：的分布列为：X400500800P111611614E(X)400111650011680014506.25.归纳升华归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：明确随机变明确随机变量量X 取哪些值；取哪些值；计算随机变量计算随机变量 X 取每一取每一个值时的概率；个值时的概率；将结果用表将结果用表格形式列出格形式列出计算概率时要注意结合排列组合知识计算概率时要注意结合排列组合知识(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E(X)x1p1x2p2xipixnpn求出均值求出均值，然后利用然后利用 D(X)错误错误!xiE(X)2pi求出方差求出方差变式训练变式训练甲甲、乙两名射手在一次乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的射击中得分为两个相互独立的随机变量随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6环环，且甲射中且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为环的概率分别为 0.5，3a，a，0.1，乙射乙射中中10，9，8 环的概率分别为环的概率分别为 0.3，0.3，0.2.(1)求求，的分布列；的分布列；(2)求求，的数学期望与方差的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并以此比较甲、乙的射击技术解：解：(1)由题意得：由题意得：0.53aa0.11，解得解得 a0.1.因为乙射中因为乙射中 10，9，8 环的概率分别为环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，所以乙射所以乙射中中7 环的概率为环的概率为 1(0.30.30.2)0.2.所以所以，的分布列分别为：的分布列分别为：10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由由(1)得：得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于由于 E()E()，D()D()，说明甲射击的环数的均值比乙高说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好所以甲比乙的射击技术好.专题五专题五正态分布及简单应用正态分布及简单应用高考主要以选择题高考主要以选择题、 填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键抓住其对称轴是关键例例 5为了解一种植物的生长情况为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高抽取一批该植物样本测量高度度(单位：单位：cm)，其频率分布直方图如图所示其频率分布直方图如图所示.(1)求该植物样本高度的平均求该植物样本高度的平均数数x和样本方和样本方差差s2(同一组中的数据用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表该组区间的中点值作代表)；(2)假设该植物的高度假设该植物的高度 Z 服从正态分布服从正态分布 N(，2)，其其中中近似为样近似为样本平均数本平均数 x， 2近似为样本方差近似为样本方差 s2， 利用该正态分布求利用该正态分布求 P(64.5Z96)(附附： 11010.5.若若 ZN(，2)，则则 P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4)解解：(1)x550.1650.2750.35850.3950.0575，s2(5575)20.1(6575)20.2(7575)20.35(8575)20.3(9575)20.05110.(2)由由(1)知知，ZN(75，110)，从而从而 P(64.5Z75)12P(7510.5Z7510.5)120.682 60.341 3，P(75Z96)12P(75210.5Z75210.5)120.954 40.477 2，所所以以P(64.5Z96)P(64.5Z75)P(75Z96)0.341 30.477 20.818 5.归纳升华归纳升华求解正态分布的问题求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性要根据正态曲线的对称性，还要结合还要结合 3原原则以及正态曲线与则以及正态曲线与 x 轴之间的面积为轴之间的面积为 1.变式训练变式训练某镇农民年收入服从某镇农民年收入服从5 000 元元，200 元的正态元的正态分布则该镇农民平均收入在分布则该镇农民平均收入在 5 0005 200 元的人数的百分比是元的人数的百分比是_解析：解析：设设 X 表示此镇农民的平均收入表示此镇农民的平均收入，则则 XN(5 000，2002)由由 P(5 000200X5 000200)0.682 6.得得 P(5 000X5 200)0.682 620.341 3.故此镇农民平均收入在故此镇农民平均收入在 5 0005 200 元的人数的百分比元的人数的百分比为为34.13%.答案：答案：34.13%专题六专题六方程思想方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的在求离散型随机变量的分布列分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想即根据题设求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想即根据题设条件列出相关未知数的方程条件列出相关未知数的方程(或方程组或方程组)求得结果求得结果例例 6甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等求至少有一个一等品的概率品的概率解解：记记 A，B，C 分别为甲分别为甲、乙乙、丙三台机床各自加工的零件是一丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件等品的事件由题设条件有由题设条件有P（AB）14，P（BC）112，P（AC）29，即即P（A）1P（B）14，P（B）1P（C）112，P（A）P（C）29.由由得得 P(B)198P(C)，代入代入得得27P(C)251P(C)220.解得解得 P(C)23或或 P(C)119(舍去舍去)将将 P(C)23分别代入分别代入可得可得 P(A)13，P(B)14.故甲故甲、 乙乙、 丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记记 D 为从甲为从甲、乙乙、丙加工的零件中各取一个检验丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个至少有一个一等品的事件一等品的事件则则 P(D)1P(D)11P(A)1P(B)1P(C)123341356.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品至少有一个一等品的概率为的概率为56.归纳升华归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：常利用分布列的性质：p10，i1，2，3，n；错误错误!i1，列出方程或不等式求出未知数列出方程或不等式求出未知数(2)在求两个或多个概率时在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数或方程组求出未知数变式训练变式训练若离散型随机变量若离散型随机变量的分的分布列为：布列为：01P9a2a38a求常数求常数 a 及相应的分布列及相应的分布列解：解：由离散型随机变量的性质得由离散型随机变量的性质得9a2a38a1，09a2a1，038a1，解得解得 a23(舍去舍去)或或 a13.所以所以，随机变量的分布列为：随机变量的分布列为：01P2313