人教版 高中数学 选修22习题 第三章　数系的扩充与复数的引入 章末复习课

人教版高中数学精品资料章末复习课1 1复数代数形式为复数代数形式为z za ab bi i，a a、b bR R，应用复数相等的条件时应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代必须先将复数化成代数形式数形式2 2复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z za ab bi i( (a a、b bR)R)z z为纯虚数的条为纯虚数的条件为件为a a0 0 且且b b0 0，注意虚数与纯虚数的区别注意虚数与纯虚数的区别3 3 不要死记硬背复数运算的法则不要死记硬背复数运算的法则， 复数加减可类比合并同类项复数加减可类比合并同类项， 乘法可类比多项式乘法乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化除法可类比分母有理化4 4a a2 20 0 是在实数范围内的性质是在实数范围内的性质，在复数范围内在复数范围内z z2 20 0 不一定成立不一定成立，| |z z| |2 2z z2 2. .5 5复数与平面向量联系时复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量必须是以原点为始点的向量6 6不全为实数的两个复数不能比较大小不全为实数的两个复数不能比较大小7 7复平面的虚轴包括原点复平面的虚轴包括原点专题一专题一复数的概念复数的概念熟练掌握复数的代数形式熟练掌握复数的代数形式、复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数问题的前复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数问题的前提提已知复数已知复数z zm m( (m m1)1)( (m m2 22 2m m3)3)i i，当当m m取何实数值时取何实数值时，复数复数z z是零是零、纯虚数纯虚数、2 25 5i?i?解：解：(1)(1)由题意可得由题意可得m m（m m1 1）0 0，m m2 22 2m m3 30 0，即即m m0 0 或或m m1 1，m m3 3 或或m m1 1，所以所以m m1.1.即当即当m m1 1 时时，复数复数z z为零为零(2)(2)由题意可得由题意可得m m（m m1 1）0 0，m m2 22 2m m3 30 0，解得解得m m0 0 或或m m1 1，m m3 3 且且m m1 1，所以所以m m0 0，即即m m0 0 时时，z z为纯虚数为纯虚数(3)(3)由题意可得由题意可得m m（m m1 1）2 2，m m2 22 2m m3 35 5，解得解得m m2 2 或或m m1 1，m m4 4 或或m m2 2，所以所以m m2 2，所以当所以当m m2 2 时时，复数复数z z为为 2 25 5i.i.归纳升华归纳升华当复数的实部与虚部含有字母时当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当况下是实数、虚数、纯虚数当x xy yi i 没有说明没有说明x x，y yR R 时时，也要分情况讨论也要分情况讨论设设 i i 是虚数单位是虚数单位，复数复数1 1a ai i2 2i i为纯虚数为纯虚数，则实数则实数a a的值为的值为( () )A A2 2B B2 2C C1 12 2D.D.1 12 2解析：解析：1 1a ai i2 2i i（1 1a ai i） （2 2i i）（2 2i i） （2 2i i）2 2a a（2 2a a1 1）i i5 5为纯虚数为纯虚数，所以所以 2 2a a0 0，所以所以a a2.2.答案：答案：A A专题二专题二复数复数的四则运算的四则运算复数的加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减复数的加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法而乘法类比多项式乘法，除法类除法类比根式的分母有理化比根式的分母有理化，要注意要注意 i i2 21.1.(1)(1)计算：计算：2 2 3 3i i1 12 2 3 3i i( (2 21 1i i) )2 2 016016（4 48 8i i）2 2（4 4i i8 8）2 21111 7 7i i；(2)(2)已知已知z z1 1i i，化简化简z z2 23 3z z6 62 2z z1 1. .解：解：(1)(1)原式原式i i（1 12 2 3 3i i）1 12 2 3 3i i2 21 1i i2 21 1 008008（4 48 8i i8 8i i4 4） （4 48 8i i4 48i8i）1111 7 7i ii i( (i i) )1 1 0080080 01 1i.i.(2)(2)z z2 23 3z z6 62 2z z1 1（1 1i i）2 23 3（1 1i i）6 62 2（1 1i i）i i3 3i i2 2i i（3 3i i） （2 2i i）（2 2i i） （2 2i i）7 7i i5 57 75 51 15 5i.i.归纳升华归纳升华复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时在四则运算时，不要死记结论对不要死记结论对于复数代数形式的加、减、乘运算于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行另外要类比分式的分母有理化的方法进行另外，在计算时也要注意下面结论的在计算时也要注意下面结论的应用：应用：(1)(1)(a ab b) )2 2a a2 22 2ababb b2 2；(2)(2)(a ab b)()(a ab b) )a a2 2b b2 2；(3)(1(3)(1i i) )2 22 2i i；(4)(4)1 1i ii i；(5)(5)1 1i i1 1i ii i，1 1i i1 1i ii i；(6)(6)a ab bi ii i( (b ba ai i) )计算：计算：（i i2 2） （i i1 1）（1 1i i） （i i1 1）i i3 32 2i i2 23 3i i_解析：因为解析：因为（i i2 2） （i i1 1）（1 1i i） （i i1 1）i i（i i2 2） （i i1 1）i i2 21 1i ii i1 1，3 32 2i i2 23 3i i（3 32 2i i） （2 23 3i i）（2 23 3i i） （2 23 3i i）1313i i1313i i，所以所以（i i2 2） （i i1 1）（1 1i i） （i i1 1）i i3 32 2i i2 23 3i ii i1 1( (i i) )1.1.答案：答案：1 1专题三专题三复数相等的充要条件复数相等的充要条件复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一是复数问题实数化这一重要数学思想的体现重要数学思想的体现设设 i i 是虚数单位是虚数单位，_ _z z是复数是复数z z的共轭复数若的共轭复数若z z_ _z zi i2 22 2z z，则则z z等于等于( () )A A1 1i iB B1 1i iC C1 1i iD D1 1i i解析：设解析：设z za ab bi i，则则_ _z za ab bi.i.由由z z_ _z zi i2 22 2z z得得( (a ab bi i) )( (a ab bi i) )i i2 2( (a a2 2b b2 2) )i i2 22 2a a2 2b bi i，所以所以a a2 2b b2 22 2b b，2 22 2a a，所以所以a a1 1，b b1.1.答案：答案：A A归纳升华归纳升华(1)(1)对于两个复数对于两个复数z z1 1a ab bi i，z z2 2c cd di i( (a a，b b，c c，d dR)R)，规定规定a ab bi ic cd di i 相等的充相等的充要条件是要条件是a ac c，b bd d. .(2)(2)根据复数相等的定义知根据复数相等的定义知，在在a ac c，b bd d两式中两式中，如果有一个不成立如果有一个不成立，那么那么a ab bi ic cd di.i.关于关于x x的方程的方程 3 3x x2 2a a2 2x x1 1(10(10 x x2 2x x2 2) )i i 有实根有实根，则实数则实数a a的值为的值为_解析：设方程的实数根为解析：设方程的实数根为x xm m，则原方程可变为则原方程可变为 3 3m m2 2a a2 2m m1 1(10(10m m2 2m m2 2) )i i，所以所以3 3m m2 2a a2 2m m1 10 0，1010m m2 2m m2 20 0，解得解得a a1111 或或a a71715 5. .答案：答案：1111 或或71715 5专题四专题四数形结合思想数形结合思想复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法法，即通过几何图形来研究代数问题熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和即通过几何图形来研究代数问题熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题就能有效地利用数形转换来解决实际问题已知复数已知复数z z的模为的模为 1 1，求求| |z z1 12 2i|i|的最大值和最小值的最大值和最小值解：解： 因为复数因为复数z z的模为的模为 1 1，所以所以z z在复平面上的对应点在以原点为圆心在复平面上的对应点在以原点为圆心，1 1 为半径的圆上为半径的圆上而而| |z z1 12 2i|i| |z z(1(12 2i i)|)|可以看成圆上的点可以看成圆上的点Z Z到点到点A A(1(1，2 2) )的距离的距离，如图所示如图所示所以所以| |z z1 12 2i|i|minmin| |ABAB| | |OAOA| | |OBOB| | 5 51 1，| |z z1 12 2i|i|maxmax| |ACAC| | |OAOA| | |OCOC| | 5 51.1.归纳升华归纳升华(1)(1)复数的几何意义主要体现在以下三个方面：复数的几何意义主要体现在以下三个方面：复数复数z z与复平面内的点与复平面内的点Z Z及向量及向量OZOZ的一一对应关系；的一一对应关系；复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；复数复数z zz z0 0模的几何意义模的几何意义(2)(2)复数数形结合法的应用：复数数形结合法的应用：求复数问题转化为解析几何的求点问题；求复数问题转化为解析几何的求点问题；复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化；复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化；利用利用| |z zz z0 0| |判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求也可以求| |z z| |的最的最值值设设z zC C，且满足下列条件且满足下列条件，在复平面内在复平面内，复数复数z z对应的点对应的点Z Z的集合是什么图形？的集合是什么图形？(1)1(1)1| |z z| |2 2；(2)|(2)|z zi|i|1 1；(3)|(3)|z z1|1| |z z1 1i|.i|.解：解：(1)(1)设设z zx xy yi i( (x x，y yR)R)，则则| |z z| |x x2 2y y2 2. .由题意由题意 1 1x x2 2y y2 22 2，即即 1 1x x2 2y y2 24.4.所以复数所以复数z z对应的点对应的点Z Z的集合是以原点的集合是以原点O O为圆心为圆心，以以 1 1 和和 2 2 为半径的两圆所夹的圆环为半径的两圆所夹的圆环，不包括边界不包括边界(2)(2)根据模的几何意义根据模的几何意义，| |z zi|i|1 1 表示复数表示复数z z对应的点到复数对应的点到复数 i i 对应的点对应的点(0(0，1 1) )的距离的距离为为 1.1.所以满足所以满足| |z zi|i|1 1 的点的点Z Z的集合为以的集合为以(0(0，1 1) )为圆心为圆心，以以 1 1 为半径的圆为半径的圆(3)(3)根据模的几何意义根据模的几何意义，| |z z1|1|表示复数表示复数z z对应的点到复数对应的点到复数 1 1 对应的点对应的点(1(1，0 0) )的距离的距离，| |z z1 1i|i|表示复数表示复数z z对应的点到复数对应的点到复数 1 1i i 对应的点对应的点(1(1，1)1)的距离的距离因为这两个距离因为这两个距离相等相等，所以所以| |z z1|1| |z z1 1i|i|以点以点(1(1，0 0) )和和(1(1，1)1)为端点的线段的垂为端点的线段的垂直平分线直平分线