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北京市重点中学2015 2016学年度高考模拟试题(一)高三数学(理科)2016.2本试卷分第卷和第卷两部分,第卷l至2页,第卷3至5页,共150分考试时间120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并回交第卷(选择题 共40分)一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.若复数Z满足,其中i为虚数为单位,则Z= A .1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i2. 若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 A. B. C. D.23. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为A.2 B.1 C.0 D. 4. “x>1”是“(x+2)<0”的A、充要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件5. 如图所示几何体的三视图,则该三视图的表面积为是俯视图A. B. C. D. 6. 若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于A.6 B.7 C.8 D.97. 函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A., B.,C., D.,8. 集合,定义集合 ,则中元素的个数为 A77 B49 C45 D30第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9. 的展开式中的系数是_(用数字作答).10. 已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 .11. 在极坐标中,圆上的点到直线距离的最大值是 12. 在三角形ABC中,B=,AB=,A的角平分线AD=,则AC=_.13. 梯形ABCD中,ADBC,ADAB,AD1,BC2,AB3,P是BC上的一个动点,当·取最小值时,则tanDPA的值为 14. 如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点(B在A的上方), 且()圆的标准方程为 ;()过点任作一条直线与圆相交于两点,下列三个结论:; ; 其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分13分)已知函数()求的值;()求函数在区间上的最小值,并求使取得最小值时的x的值16. (本小题满分13分) 若是一个三位正整数,且的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称为“三位递增数”(如137,359,567等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得分;若能被10整除,得1分.(I)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ;(II)若甲参加活动,求甲得分的分布列和数学期望.17. (本小题满分14分)第17题图九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接 ()证明:试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;()若面与面所成二面角的大小为, 求的值18. (本小题满分14分)已知函数(1)若,讨论函数的单调性;(2)若方程有两个相异实根,求实数的取值范围19. (本小题满分13分)已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,原点到过点的直线的距离是.()求椭圆C的方程;()设动直线与椭圆C有且只有一个公共点,过作的垂线与直线交于点,求证:点在定直线上,并求出定直线的方程.20. (本小题满分13分)对于数列an,从第二项起,每一项与它前一项的差依次组成等比数列,称该等比数列为数列an的“差等比数列”,记为数列bn. 设数列bn的首项b1=2,公比为q(q为常数). (I)若q=2,写出一个数列an的前4项;(II)a1与q满足什么条件,数列an是等比数列,并证明你的结论; (III)若a1=1,数列an+cn是公差为q的等差数列,且c1=q,求数列cn的通项公式;并证明当1q2时,c52q2 .参考答案AACBD DCC9. 10. 11.6 12. 13. 14. ; 15. 解:因为= ()=7分()因为 , 所以 当 ,即时,函数有最小值是当时,函数有最小值是 13分16. 解:()125,135,145,235,245,345;4分。()X的所有取值为-1,0,1.5分。甲得分X的分布列为:X0-11P11分13分。17解;(解法1)()因为底面,所以, 由底面为长方形,有,而,所以. 而,所以. 又因为,点是的中点,所以. 而,所以平面. 而,所以.又,所以平面. 由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为. ()如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面 的交线. 由()知,所以. 又因为底面,所以. 而,所以. 故是面与面所成二面角的平面角, 设,有,在RtPDB中, 由, 得, 则 , 解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时,. (解法2)()如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设,则,点是的中点,所以,于是,即. 又已知,而,所以. 因, , 则, 所以.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,第17题解答图2第17题解答图1即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为. ()由,所以是平面的一个法向量;由()知,所以是平面的一个法向量. 若面与面所成二面角的大小为,则,解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时,. 18. 解:(1)定义域为求导得2分。令得或4分当时,令得,于是函数在上单调递增;令得,于是函数在上单调递减;6分当时,令得或,于是函数在和上单调递增;令得,于是函数在上单调递减;8分19. ()由于抛物线 的焦点坐标为,所以,因此, 2分因为原点到直线:的距离为,解得:,4分所以椭圆的方程为5分 ()由,得方程,()6分 由直线与椭圆相切得且,整理得:,8分将代入()式得,即,解得,所以,10分又,所以,所以,所以直线方程为,11分联立方程组,得,所以点在定直线上13分20. 解:()因为数列是等比数列,且,所以 ,所以,. (写出满足条件的一组即可) 2分()因为数列是等比数列,首项,公比为,所以, 所以,. 因为数列是等比数列,所以,即 所以. 所以当时,数列是等比数列. 5分()因为是公差为的等差数列,所以 又,所以所以,所以 所以所以. 因为,所以,. 所以所以 13分
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