高中数学案例：老师我有想法

老师，我有想法 教育目的的实现以及教学计划的完成，基本上是在课堂教学中进行的。理想的课堂总是一个以理服人，以志激人，以情动人的乐园，然而现实中的课堂是复杂的、多变的，既有兴奋、愉悦、甘甜的知识获得，也有郁闷、焦虑、困惑的痛苦，还有我们无法预料的各种情况。其中，教师提问学生回答是最普遍的现象，但有时我们却忽略了一种最重要的东西。下面记录了笔者一堂推理与证明的复习课教学的小片段，笔者想以习题为载体复习这一章的知识和方法。一、学生老师，我有想法。题：已知x、x、xR且满足条件(1) x+x+x0；(2) xx+ xx+ xx0；(3) xxx0。问：x、x、x中有几个正数？学生通过分析题目的条件和结论的制约关系，运用合情推理展开思考，从其形式、结构和数量关系展开讨论。教师:谁有什么想法,可以大胆地说一说? 学生1：3个都为正数。 教师：你是怎样得到的？ 学生1：我的直觉告诉我。（学生哄笑，我也笑，表示赞同和鼓励。）教师：好的。说明他有极强的猜想能力，他的答案是对的。还有不同的想法吗？学生2：我发现x+x、xx比较“熟悉”，就类比到二元的问题：“若x+x0且xx0则x、x中有几个正数？”运用韦达定理构造方程:x( x+x)x+ xx=0得出x、x均为正根。就猜想x、x、x均为正数。（全班发出赞叹声）教师:非常好。（这也是我期待的结果，实现了我的初衷）然后师生共同求解：构造方程：x( x+x+x) x +（xx+ xx+ xx）x xxx=0根据条件（1）（2）（3）可知，当x0时，等式左边每项为非负数，其和为小于0，故当x0时无解。又因为x( x+x+x) x +（xx+ xx+ xx）x xxx=（xx）(xx)(xx)=0有三个根x、x、x，所以x、x、x均为正数。继而引导学生归纳：解决了简单的情况、特殊的对象（二元和三元），再归纳、联想推进的到一般的情形：若xR(i=1,2,3, n )且满足下列条件:x+x+x+ +x0xx+ xx +xx0xxxx+xxxx0xxxx0则x(i=1,2,3, n )均为正数。学生们沉浸在发现的喜悦中，课堂热情高涨，达到教师预期的目的，教学和谐有序地进行下去可以说这堂课取得了满意的效果，应该没有缺憾了吧。没想到下课时还有几位学生匆匆找到了我，似乎很委屈地对我说，“老师，我也有想法”。学生3：我发现条件(1) x+x+x0；(2) xx+ xx+ xx0；(3) xxx0中的次数依次增加，我的想法是把次数统一，不知是否可行。他的同桌则说：次数依次为1，2，3，我的想法是把次数统一2次。学生5：我开始觉得很难，后来想到“正难则反”的策略，你说能行吗？面对学生的种种想法既为我的学生有想法感到高兴，又为自己没有利用好学生的想法感到遗憾。后来经过讨论思考分别得出了漂亮的解法，这是我备课时所没有想到的。 回到办公室后，我确实意识到自己的课堂处理是不恰当的，甚至开始怀疑自己的教学方法。这个问题困扰了我很长一段时间，现在形成了一些想法，供同行参考。 二、教师我们的课堂有缺憾。1.深信每个学生都蕴藏着巨大的探究潜能。按照美国当代心理学家马斯洛的“成长动机说”理论，认为人都潜藏着“自我实现的创造力”。上述案例中，如学生3之类的“潜能生”在课堂情景的启发下也能完成此类难题（真是有巨大的潜能可挖掘），体现出非凡的创造性，本人执教的班级是学校的普通班，而学生3又是一个成绩中等的学生，说明创造性不是优秀学生独有的。从课后参与精彩讨论表现出非凡的创造性的学生中看出，只要我们有激发学生兴趣的措施和供他们操作的平台，学生无时不具有创造性，学生对问题的探究应该是无所不能的，只要教师相信他们，给他们自信，解决不了的问题毕竟很少，我们尽管放心的把问题给学生探究，学生的潜能真的很大。学生2的想法是这堂课的亮点，在他的启发下成功地探究出了多种解法，以及对问题的推广，得出了一般的解法。说明了只要我们的课堂能真正回归学生作为学习主人的地位，他们就会回报给你惊喜。2解题的根本目的是培养学生的思维能力 波利亚曾强调：“中学数学教育首要的任务就是加强解题训练。”可是目前中学数学解题教学的实际状况是，普遍重视解题的方法技巧，强调解题过程中具体的一招一式化的程式化训练，甚至套用题型，忽视了数学的思想、观念在解题中发挥的实质性作用，这样，对解题认识的视角只能永远停留在解题方法这一狭隘的、低层次的范围，站不高、看不远，只是埋头解题而不知道解题的真正用意，更不知道数学解题这一创造性思维活动的主旋律和操纵中心是什么。由于一招一式的方法和技巧训练在很大程度上是机械性的，只能靠重复训练来掌握以至提高解题能力，因而导致大运动量的机械练习和“题海战”，这实在是数学教学的一个误区。单教授曾经谈到：解题主要是培养思维能力，而不是套用现成的结论。所以知识并不需要非常之多，重要在于灵活应用。单教授在这里并没有否定许多定理与结论的有用性，只是认为“杀鸡用牛刀”“有点可笑”。当然上面课堂中的问题应用等差数列求和公式还算不上“用牛刀杀鸡”，但是就对学生的思维能力和培养而言，似乎生1的作用要比直接套用公式来得更有效些，如果学生遇到一个问题总想着直接套用公式，可能在面对一些没有公式可套或者需要自己推演“公式”的问题时就会茫然四顾、束手无策。我们经常在考试后听到学生类似的抱怨：某某题目老师没讲过：某某题目我们没见过等等。其实产生这个后果和教师平时的教学有较大关系，在日常教学中老师总是有意无意地过度强调套用现成公式或结论的重要，学生长期耳濡目染，也养成了遇到一个新问题就想找出一个可供直接套用现成公式的习惯。然而许多数学问题却要求学生能够自己推导出需要的“公式”，更不必说实际生活中找不到公式可套的许多新的问题情境了。3.解题要追求“自然”.所谓“自然”，就是抓住问题的实质，题目该怎么解就怎么解，不故弄玄虚，朴实自然。这里的“自然”。既有一个公认的标准，又有个体之间的差异性。在具体的教学当中，可能出现对同一个问题，师生之间的解法有较大差异或者说学生的解法与教师课前的教学设计大相径庭的情形，此时教师如何运用教学智慧迅速理解学生意图、采取相应对策就显得尤为重要。即使学生的解法是不完善的甚至是错误的，教师也不应简单否定、一带而过，而是要找出其中的合理性因素加以充分利用，拓展出新的解法，同时这对学生学习数学的情感和态度的培养也是有益的。倘若学生采取了一种“生僻”的、不常见的方法正确解决了问题，教师更不宜否定其解法，强加给学生自己的解法；对这个学生而言，可能他的解法就是“自然”，反而是教师强加的“解法”令他感到不“自然”。也就是说，这里的“自然”既有绝对意义，又有相对意义，在具体的教学实践中需要灵活把握，而不是图方便、“一刀切”。4.尊重学生个性化的解题经验.在数学课堂教学实践中，我们经常看到这样一种现象：教师或者简单否定或者不置可否，继续提问，直到有学生的答案与教师想要的答案，最后由教师告诉学生的情形。实际上，前一种情形也是一种告诉，只不过是由学生告诉学生，改换了一个表现形式，对某些学生来说甚至还不如由教师直接告诉更节约时间。这种现象普遍产生的原因之一正是教师对学生的富有个性色彩的解题经验没有给以足够的重视，只是盲目地追求“大一统”，将学生的解题思路统摄到自己的预设当中。这种做法的弊端之一就是忽视了学生数学学习的独特内心体验。高中学生的个性渐趋成熟，他们学习数学、进行数学解题是在一定程度的知识、生活经验和主观感受的基础上进行的，每个人的观察、思考和解决问题的方式都有着或多或少的差异。在此意义上，最有效的学习方式和解决问题的方法就应该是适合自身的、个性化的方式和方法。每个学生的解题方法可以不同，教师的任务不是消除差异，而是利用差异，将差异当作一种重要的教学资源，给学生以针对性的指导，为学生的个性化发展创造条件，追求“和而不同”。如今，那句“老师，我有想法”已深深地印在了我的脑海中，它将时刻鞭策着我前进。3