数学论文Euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广

Euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广（孝感学院数学系021114230 湖北孝感 432100）摘 要：本文在一般意义上讨论了Euclid空间上的线性泛函，寻找到了它能用内积来刻画的充要条件，并将结论进一步推广到双线性函数的情形，最后说明了本文的主要结论与F.Riesz定理关系.本文得到的主要结论是：是Euclid空间上的线性泛函，则下列条件是等价的：1）存在唯一的,使得,有；2）或；3）.关键词：Euclid空间；内积；线性泛函；双线性函数；零空间The depiction and further generalizition of linear function in Eucclid SpaceWang Peng(Department of Mathematics,Xiaogan University 021114230)Abstract: In this paper ,we generally discuss linear function in Euclid space,found out the necessary and sufficient conditions that can be depicted by inner-product.Further gerneralize those results to dobuble linear function.At last,we illustrate the relation between the results of the paper and theory of F.Riesz.The main result of this paper is :is linear function in Euclid space,then the conditions on the following are equal.1) there exists only ,let, we have 2) or ；3) .Keywords: Euclid space; Inner-product; Linear function; Dobuble linear function;Zero-space目 录0 引言 3-41 预备知识及引理 4-52 主要结果 5-132.1 Euclid空间上线性泛函的内积刻画 5-92.2 Euclid空间上不能用内积刻画的线性泛函的存在性 9-102.3 双线性函数的内积刻画 10-13参考文献 13致谢 130 引言 Cauchy曾用函数方程给出了实数域上的线性函数的公理化定义，该定义基于以下命题得到： 命题1 设是实数域到的一个连续函数，若对，有，则，这里为常数.美国数学家K.Gabriel在他的著作中取消了命题“是连续函数”这一假设，并利用连续函数的延拓原理进行了新的证明.把线性函数这一概念拓广到一般的线性空间上，就是如下：定义1 设是数域上的一个线性空间，映射称为上的线性函数，如果满足1）；2），式中是中任意元素，是中任意数.在上述定义中当为实数域或复数域时，我们也把称为上的线性泛函.在三维几何空间中，当为常向量，而为变向量时，数量积（内积）可视为函数，容易验证是一个线性泛函.推广到一般的内积空间，记是中任意向量，是中一固定向量，易证是上的一个线性泛函. F.Riesz考虑了以上问题在一般意义上的逆命题，对Hilbert空间上的连续线性泛函进行了一般性的刻画：F.Riesz定理 设是Hilbert空间上的一个连续线性泛函，则必存在唯一的，使得，有.本文将在一般意义上考虑内积空间上的线性泛函，研究在怎样的情形下，内积空间上的线性泛函才能用内积来刻画，这种刻画是否唯一，并将结论进一步推广到双线性函数的情形.在本文中用表示内积，表示实数域，表示正整数集，表示的维数，表示范数，表示正交，表示直和，表示生成子空间.1 预备知识及引理定义2 是数域上的线性空间，是上的线性函数，称为在上的零空间，简称的零空间.容易验证，是的子空间.定义3 和是数域上的两个线性空间，是的映射，如果满足1)；2)，其中是中任意向量，是中任意向量，是中任意数，则称是一个双线性函数.在定义3中，如果，我们在习惯上也称是上的双线性函数.定义4 和是数域上的两个线性空间，为到的映射，如果及数，有1) ；2) ，则称为到的线性算子.特别地，在定义4中，当时，就是定义中所说的上的线性函数；当时，就是的线性变换.引理1 是内积空间的闭子空间，则对每个，存在唯一的，使得，这里的范数是的内积导出的范数，是与的距离. 引理2 是内积空间的子空间，若，使得，那么，.引理1与引理2的证明在文献3中有详细的论述，为避免累赘，我们在这里省略掉这部分过程.2 主要结果2.1 Euclid空间上的线性泛函的内积刻画定理F.Riesz定理指出Hilbert空间上的连续线性泛函的内积刻画具有唯一性，下面引理说明了这种唯一性具有普遍性，不仅仅局限于Hilbert空间上的连续线性泛函. 引理3 设是Euclid空间上的线性泛函，若，使得,有，则. 证明 由于 ， ，有，取，则有， ， 即 .在三维几何空间上的线性泛函，其中是中常向量，是中任意向量.很明显，F.Riesz定理中要找的现在就是，它是平面的法向量，而平面就是的子空间，推广到一般的有限维Euclid空间，便有：定理1 设是维Euclid空间上的线性泛函，如果，则存在唯一的，使得，有.证明 由于，可设是的一组标准正交基，利用Schimidt正交方法将其扩充为的一组标准正交基，则，有，其中，再由引理3可知定理1结论成立.其实，在定理1中，不要条件，结论也是成立的，即有：定理2 设是Euclid空间上的线性泛函，且，则存在唯一的，使得，有.证明 设，1) 当时，这时取即可；2) 当时，设是的一组标准正交基，利用Schimidt正交方法将其扩充为的一组标准正交基则，有其中.再由引理3知唯一性成立，定理得证.通过定理2，我们知道，对于有限维的Euclid空间上的线性泛函都能用内积来刻画，而对于更一般的情形（对整个Euclid空间的维数不加限制），我们先从下面的引理开始探讨.引理4 设是Euclid空间，则由生成的子空间是的闭子空间.证明 当的聚点集时，结论显然成立，下面不妨设，这时，否则是孤立点集，从而，矛盾.现设，则有中的点列，有，则，对，有 ， （1）由于，故，使得，将此代入（1）得到， （2）所以根据Cauchy收敛准则知数列收敛，设，则，使得，有，于是，有，即，故，所以是的闭子空间.引理5 是Euclid空间的闭子空间，则.证明 ，有，则，所以，下面只须证即可.，由于是Euclid空间的闭子空间，故根据引理1和引理2知存在及，使得，由于是线性子空间，因此，从而，即，所以.这就证明了.经过前面的准备下，我们就可以得到以下定理.定理3 设是Euclid空间上的线性泛函，则下列条件是等价的：1）存在唯一的，使得，有；2）或；3）.证明 1）2）若，使得，有，则当时，下设.，有:，从而:，即，所以；反之 ，有:，即，于是.因此.再根据引理3和引理4知，由于，所以.2）3）当时，此时3）显然成立；当时，则，使.由于，故，所以，于是，令，则有，其中因此，而，所以.3）1）若，则令，结论自然成立.若，且，则，于是可设，对任何，令，则， 即 .，由于 ，所以 ，令，则 . 而的唯一性通过引理3是显然的.证毕.由定理2知道，维Euclid空间上的线性泛函都能用内积来刻画，再结合定理3知该泛函为零函数或者其零空间的维数为，这一点在几何空间中是有比较明确的几何意义的（前面已分析）.2.2 Euclid空间上不能用内积刻画的线性泛函的存在性在上一段我们得到定理3这个重要结论，下面利用定理3来说明Euclid空间上确实存在线性泛函不能用内积来刻画.设 ，则按多项式函数的加法和数乘构成实数域上的线性空间，对于，定义内积，易知按此内积构成一个Euclid空间，对于，我们再定义，不难验证是上的线性泛函，下面我们就来证明不能用内积来刻画.事实上，根据 的定义知，2，3，. 现设则有 ，2，3，. （3）由（3）我们可以得到关于的齐次线性方程组 （4）该齐次线性方程组的系数行列式为Cauchy行列式其值为，于是齐次线性方程组（4）只有零解，即有由此得到，所以.又由于，因此，从而根据定理3知不能用的内积来刻画.2.3 双线性函数的内积刻画 本文在上面探讨了用内积来刻画Euclid空间上的线性泛函的问题，下面我们对双线性函数也作类似的探讨.设是Euclid空间上的双线性函数，对于，我们定义：，. （5）易知是上的线性泛函，通过这一点，我们可以得到下面的定理.定理4 设是Euclid空间上的双线性函数，对于，是如（5）式所定义的上的线性泛函.若对，能用的内积来刻画，则存在的唯一线性变换，使得，有.证明 由于，能用的内积来刻画，结合引理3知，存在中唯一元素，使得，有，利用此我们可以定义： ，这样我们就有.下面我们证明是的线性变换.首先由的唯一性知是到的映射；而与，一方面有： ，另一方面有： ，所以 ，即 .取，代入上式得 ，同理可证 . 是的线性变换.下面我们来证明的唯一性.假如还有的线性变换，使得：，有. 则：，有，即 .令，则得到，即.再由的任意性可知.证毕.通过定理4，我们可以知道：要判断双线性函数是否也能用内积来刻画就转化为了判断或是否能用内积来刻画，而这个问题通过定理3已得到解决.同样，若是空间上的双线性函数，对于，定义：，. （6）则也是上的线性泛函.于是有完全类似于定理4的结论，从略.推论 设是有限维Euclid空间上的双线性函数，则存在的线性变换与，使得，有，并且这样的与是唯一的.该推论可由定理2、定理4直接推得.现设和都是上的线性空间，：是双线性函数.对于，定义：，. （7）同样易知是上的线性泛函，如果能用的内积来刻画的话，即存在，使得，有，则由引理3知是唯一的，于是定义 ，则是到的映射，进一步，我们用定理4中证明是线性变换的方法同样也可证明是到的线性算子.这样我们就可将定理4的结论推广为：定理5 是Euclid空间，是上的线性空间，：是双线性函数.对于，是如（7）所定义的上的线性泛函.若，能用的内积来刻画，则存在到的唯一线性算子，使得，有,这里的内积是中的内积.定理5的证明与定理4的证明是完全类似的.运用定理2、定理5立即可得到下面的推论：推论 和都是上的线性空间，：是双线性函数；1） 若是有限维Euclid空间，则存在到的唯一线性算子，使得与，有，这里的内积是中内积.2） 若是有限维Euclid空间，则存在到的唯一线性算子，使得与，有，这里的内积是中内积.最后我们指出，在本文中，将Euclid空间换成复内积空间，则相应的结论仍然成立，在证明中只须注意内积的变化即可.由于Hilbert空间是完备的复的或实的内积空间，而对于Hilbert上的连续线性泛函满足定理3的条件3）（这点在文献2中有详细的论述），由此可以看出在本文定理4的结论下，F.Riesz定理成立是自然的，即本文定理3是F.Riesz定理的推广.参考文献1 Klambauer,Gabriel.problems and propositions in analysisM.New York:Marcel Dekker,1979.2 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003：339-420.3 程其襄等.实变函数与泛函分析基础（第二版）M.北京：高等教育出版社，2003：218-265.4 张恭庆，林源渠.泛函分析讲义M.北京：高等教育出版社，1994.5 余湄傅，万涛，肖为胜. 关于端单调线性泛函的扩张和存在性J.南昌大学学报（理科版），1999，23（2）：164-167.6 张禾瑞.高等代数M.北京：高等教育出版社，2004.7 王金林. 关于对称与反对称双线性函数J.江西师范大学学报（自然科学版），2005，29（6）：538-540.8 周泽华.形式空间上的范数和线性算子J.武汉化工学院学报，1999，21（2）：77-80.9 傅小红.拓扑线性空间中不连续线性泛函的存在问题J.南开大学学报（自然科学版），2002，35（1）：127-128.10 李忠艳.关于不平行闭子空间的一个注记J.数学杂志，2004，24（2）：131-133.11 Beasley L B,Pullman N L.Linear operators preserving idempotent matrices over fieldJ. Lin,Alg.Appl.,1991,146:7-20.12 屠伯埙，徐诚浩，王芬.高等代数M.上海：上海科学技术出版社，1987：158-159.致 谢毕业论文终于顺利完成了，在此，要特别感谢我的指导老师胡付高副教授给予我的大力支持与悉心指导.13